(no subject)
Journee de Rham оказалось интересным, особенно про экспандеры, оказалось, что я сам над этим думал, математика маленькая ( http://nikaan.livejournal.com/214639.html). Это был как раз классик этой науки, рассказал и про графы Рамануджана, и про билдинги Брухата-Титца, и вообще.
Я пополняю коллекцию задачек, над которыми можно думать. Вот что такое граф экспандер? Это если разделить его на два части произвольно, то между ними будет много рёбер. А ещё венгерские школьники придумали и решили задачку - на плоскости дано n точек, нарисуем все треугольники с вершинами в них, тогда будет точка плоскости, покрытая не менее 2/9 из них. какая связь спрашивается. А такая, Громов придумал: отобразим граф-экспандер на прямую. Возьмём точку, разделяющую образы вершин на две равные половины. Очевидно, это точка покрыта большим количеством рёбер.
Теперь давайте обобщим. Возьмём n точек в пространстве, и вклеим все тетрадры между ними. Тогда будет точка пространства, покрытая большим количеством тетраэдров. А теперь мы хотим обобщение экспандеров в таком стиле. То есть хотим придумать такой комплекс (точки, рёбра, думерные грани и тд), чтобы каждая вершина была не более чем в A клетках, а любой образ нашего комплекса в R^n какую-то точку покрывал B раз. В общем, для данного A хотим придумать пример для каждого B (взять полный граф не катит, там каждая вершина в слишком многих клетках)
Неизвестно как решать. Мужики умеют доказывать, что если взять двумерный скелет трёхмерного комплекса Рамануджана, то он таким свойством обладать будет. Это более-менее всё, что известно, и это передний край науки. Рамануджаны эти строятся красиво с помощью теории чисел, и можно формулировать через теорию представлений (это я не понял как и не понял нафига, какие-то tempered представления, они оценивают типа собственные числа матрицы смежности графа, ака скорость работы усреднения оператора усреднения и тд, опять мутные кокомпактности неясно зачем и тп)
Что касается пересечений вееров матроидов и обобщений многогранника Ньютона, то это есть, Хованский сотоварищи -
MIXED VOLUME AND AN ANALOGUE OF INTERSECTION THEORY OF DIVISORS FOR NON-COMPLETE VARIETIES , всякие тела Окунькова, да и по Макмюллену ощущение, что это всё типа каких-то неравенств Брунна-Минсковского, Фенхеля и так далее. Что, впрочем, опять подтверждает, что если мне в который раз интересны задачи, которые были интересны этим чувакам несколько лет назад, то в каком-нибудь обозримом будущем я такую задачу придумаю раньше них) Хотя, возможно, корреляция ровно наоборот - я придумываю задачи, где-то внутри переваривая пролистанные тонны статей, поэтому я просто придумываю то, что уже видел, но на что не обратил внимания сознательно, а оно застряло во снах.
Бонусом к математике - почитайте речь товарища Молотова по поводу разделения Польши http://doc20vek.ru/node/1397 кто не читал. поразительно совпадение деталей (Польша - образованная путём склейки разнонациональных земель, и нынешняя Украина, и пафос модного вокатора, и насколько он неправильно предсказал планы Советского союза и Германии на ближайшее время, что касается Прибалтики и Финки)
Я пополняю коллекцию задачек, над которыми можно думать. Вот что такое граф экспандер? Это если разделить его на два части произвольно, то между ними будет много рёбер. А ещё венгерские школьники придумали и решили задачку - на плоскости дано n точек, нарисуем все треугольники с вершинами в них, тогда будет точка плоскости, покрытая не менее 2/9 из них. какая связь спрашивается. А такая, Громов придумал: отобразим граф-экспандер на прямую. Возьмём точку, разделяющую образы вершин на две равные половины. Очевидно, это точка покрыта большим количеством рёбер.
Теперь давайте обобщим. Возьмём n точек в пространстве, и вклеим все тетрадры между ними. Тогда будет точка пространства, покрытая большим количеством тетраэдров. А теперь мы хотим обобщение экспандеров в таком стиле. То есть хотим придумать такой комплекс (точки, рёбра, думерные грани и тд), чтобы каждая вершина была не более чем в A клетках, а любой образ нашего комплекса в R^n какую-то точку покрывал B раз. В общем, для данного A хотим придумать пример для каждого B (взять полный граф не катит, там каждая вершина в слишком многих клетках)
Неизвестно как решать. Мужики умеют доказывать, что если взять двумерный скелет трёхмерного комплекса Рамануджана, то он таким свойством обладать будет. Это более-менее всё, что известно, и это передний край науки. Рамануджаны эти строятся красиво с помощью теории чисел, и можно формулировать через теорию представлений (это я не понял как и не понял нафига, какие-то tempered представления, они оценивают типа собственные числа матрицы смежности графа, ака скорость работы усреднения оператора усреднения и тд, опять мутные кокомпактности неясно зачем и тп)
Что касается пересечений вееров матроидов и обобщений многогранника Ньютона, то это есть, Хованский сотоварищи -
MIXED VOLUME AND AN ANALOGUE OF INTERSECTION THEORY OF DIVISORS FOR NON-COMPLETE VARIETIES , всякие тела Окунькова, да и по Макмюллену ощущение, что это всё типа каких-то неравенств Брунна-Минсковского, Фенхеля и так далее. Что, впрочем, опять подтверждает, что если мне в который раз интересны задачи, которые были интересны этим чувакам несколько лет назад, то в каком-нибудь обозримом будущем я такую задачу придумаю раньше них) Хотя, возможно, корреляция ровно наоборот - я придумываю задачи, где-то внутри переваривая пролистанные тонны статей, поэтому я просто придумываю то, что уже видел, но на что не обратил внимания сознательно, а оно застряло во снах.
Бонусом к математике - почитайте речь товарища Молотова по поводу разделения Польши http://doc20vek.ru/node/1397 кто не читал. поразительно совпадение деталей (Польша - образованная путём склейки разнонациональных земель, и нынешняя Украина, и пафос модного вокатора, и насколько он неправильно предсказал планы Советского союза и Германии на ближайшее время, что касается Прибалтики и Финки)