Интересный спор о вероятностях

[neveev]

Некоторое время назад ко мне обратился один мой подписчик и сообщил, что между ним и его коллегой возник интересный спор по поводу того, какая комбинация орлов и решек, возникающая при подбрасывании монеты, более вероятна, а какая - менее.

Этот спор шел вокруг вопроса о том, какая комбинация более вероятна, если при первом броске выпала решка: РР или РО. Коллега моего подписчика считал, что более вероятна вторая комбинация и объяснял это примерно так:

«Вероятность выпадения двух решек равна ½ * ½ = ¼. Значит, вероятность выпадение любой иной комбинации составляет 1 - ¼ = ¾. Следовательно, вероятность того, что если уже выпала решка, то при следующем броске снова выпадет решка составляет ¼, а вот вероятность того, что выпадет орел, составляет 1 - ¼ = ¾».

Другими словами, коллега моего подписчика утверждал, что если нам при первом броске выпала решка, то при втором броске нам с большей вероятностью выпадет орел, чем решка.

Мой подписчик, который прочитал много моих статей о когнитивных искажениях, эвристиках и об ошибках, которые мы делаем, когда пытаемся рассуждать о случайностях и о вероятности тех или событий, знал, что этот вывод неверен и пытался переубедить своего коллегу, показать ошибочность его рассуждений.

Дошло до того, что коллега моего подписчика предложил проверить его вывод эмпирически. Он предлагал сделать это следующим образом.

«Кидаем монету, если выпадает орел, то начинаем заново, если выпадает решка, то фиксируем, какой стороной выпадет монета при втором броске, а затем начинаем следующую попытку».

Всего предлагалось сделать сто таких попыток.

Поскольку мой подписчик был неопытен в сфере споров о теории вероятностей, он согласился на этот опыт, и они стали кидали монету. Они сделали сто попыток, и в итоге распределение получилось примерно 60 на 40, т.е. примерно в шестидесяти случаев из ста после того, как выпала решка, выпал орел, и только в примерно сорока случаях после решки снова выпала решка.

Эти данные коллега моего подписчика, естественно, обратил в свою пользу и сказал что-то вроде того, что 60 стремится к 75, и если бы было больше попыток, например, не сто, а тысяча, то соотношение РО/РР было бы еще ближе (!) к 75/25.

Как же обстоят дела на самом деле?

Да очень просто.

Какова вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты, она каждый раз упадет решкой? Тут коллега моего подписчика абсолютно прав. Эта вероятность составляет ¼ или 25%. Такова же и вероятность каждого из трех альтернативных исходов.
Действительно, всего существует четыре варианта исходов двукратного подбрасывания монеты:

• РР
• ОО
• РО
• ОР

И вероятность каждого из них составляет один шанс из четырех ¼ или 25%.

Но дело в том (и это ключевой момент!), что если нам уже выпала решка, то число возможных комбинаций сокращается с четырех до двух: РР и РО. Другими словами, если нам уже выпала решка, то при следующем подбрасывании нам выпадет или орел, или решка. Вариантов всего два, а значит вероятность каждого из них составляет ½ или 50%.

Учитывая вот это изменение ситуации после первого броска, которого человек не понял, не уловил, можно предположить, что механизм, лежащий в основе ошибочного вывода коллеги моего подписчика, примерно тот же, что лежит в основе знаменитого парадокса Монти Холла.

Кроме того, возможно, в основе того, что коллеге моего подписчика более вероятной казалась, так сказать, гетерогенная комбинация - РО - лежит и эвристика репрезентативности.

Не менее вероятно и то, что коллега моего подписчика просто не очень хорошо понимает теорию вероятностей, проще говоря, прорешал мало соответствующих учебных задач.

- Но почему же в процессе эмпирической проверки соотношение комбинаций РО к РР, - спросит кто-то,  -  не составило 50 на 50, как это должно было бы быть в соответствии с нашими расчетами?

Здесь мы можем вспомнить совершенно правильное утверждение коллеги моего подписчика о том, почему эмпирическое соотношение разошлось с теоретическим: попыток маловато.

Действительно, в случае, если бы они записали исходы тысячи попыток, соотношение еще сильнее приблизилось бы к 50/50.

Ну, а в заключение я бы хотел отметить, что описанный реальный случай не только интересен сам по себе, но и позволяет сделать несколько очень полезных выводов и сформулировать достаточно ценные рекомендации. Давайте же их перечислим.

Выводы:

• человек будет отстаивать свою позицию перед лицом сильных, разрушающих ее аргументов, даже в случае, если аргументы настолько же сильные, как математические расчеты;
• знание математической статистики и теории вероятностей (а коллега моего подписчика знал, что вероятность выпадения решки составляет ½, а также то, что вероятности в данном случае надо перемножать, и что надо вычитать полученную вероятность из единицы, чтобы получить вероятность альтернативного исхода) не является стопроцентной защитой от совершения ошибок в сфере случайностей и вероятностей.

Рекомендации:

• не думайте, что Ваши неотразимые аргументы и доводы переубедят человека, не впадайте в азарт от осознания того, что позиция Вашего оппонента смехотворно слаба, тогда как Ваша позиция сильна и научна;
• не пытайтесь проверять статистические закономерности и расчеты, выполненные в рамках теории вероятности, путем совершения слишком малого числа попыток, проб, испытаний, измерений. Помните, что в бытовых условиях достаточное число проверок осуществить просто невозможно;
• сто раз проверьте Ваши выводы, если Вы сделали их в сфере случайностей и вероятностей.

P.S. Если Вы можете рассказать мне о похожих случаях, имевших место в Вашей собственной жизни, обязательно сделайте это! J