Немножко подробнее о том, что было сказано раньше (2)
Про масштаб или уровень измерения
Представьте себе, что нам нужно нарисовать карту чего-то.
Чтобы выбрать способ, как рисовать, мы должны знать, что именно нам нужно на карте изображать, чтобы выбрать способ не слишком сложный, если изображение простое, но достаточный, чтобы изобразить всё необходимое.
Мы долго-долго идём по ровной дороге. И ничего, кроме этой дороги в нашей реальности пока нет.
Какой способ будет достаточным, чтобы представить эту реальность на бумаге?
Если дорога ровная и прямая и подобна ровной прямой линии, всё, что мы видим на этой дороге мы можем нанести на прямую линию. Ничего, кроме этой линии нам не понадобится.
Выбираем ноль (точку отсчёта), выбираем масштаб (единицу измерения, или просто единицу), и наносим объекты на карту-прямую. Тут у нас на дороге лежит камень (его нужно нанести), тут лежит кем-то потерянная шляпа, а там куча рассыпанного зерна, а там бензиновая лужа. Предположим задача состоит в том, чтобы все эти объекты нанести на карту дороги с указанием расстояния между ними.
Камень
Шляпа
Зерно
Лужа
Поскольку размер самих объектов для нас значения не имеет (допустим), мы можем нанести объекты на прямую в виде точек, измерив единицей расстояние между точками.
Мы начинаем идти от точки 0, измеряя расстояние до камня. Интересно, что для того, чтобы обозначить на карте-прямой точки, где лежат шляпа, зерно или лужа, нам не нужно для возвращаться каждый раз в точку отсчёта 0, мы вполне можем от камня идти дальше, измерить расстояние от камня до шляпы, и снова нанести на прямую, потом от шляпы до зерна, от зерна до лужи. И мы совершенно уверены, что сумма расстояний между объектами даст нам расстояние от нуля до последнего объекта - лужи.
Почему мы в этом так уверены? Потому что мы знаем, что мы находимся всё время на одном уровне измерения (в одном масштабе), и в таком масштабе ни кривизна земли, ни повороты дороги, для нас значения не имеют, потому что их пока нет. Но это не значит, что земля плоская, а дорога идеально ровная - нет, не значит. Но в данном масштабе на наши расчеты эти две кривизны не влияют.
Появляется плоскость
Теперь представим себе, что наша дорога закончилась и от её конца, но уже в другую сторону (под углом к первой) начинается дорога номер два, такая же ровная, как и первая. Если для нас не имеет значения связь между дорогами, мы можем нарисовать новую прямую на отдельном листе бумаги и откладывать объекты на ней. И тогда наши две дороги - это две отдельные системы, лежащие в разных системах измерения.
Вы можете возразить, ну как же, система измерения одна, всё та же единица измерения (метры, например), та же ровная земля, почему другая система? А потому что, сделав поворот, мы перешли в другое пространство. Да, оно тоже одномерное, но оно другое. Две дороги имеют между собой лишь одну общую точку - точку, в которой первая дорога повернула на вторую.
Мы можем поместить эти два пространства в одну систему.
Для этого нам придётся добавить ещё одно измерение. Находясь на одной прямой, мы были в одномерном пространстве, теперь, когда мы добавим ещё один параметр, мы получим двухмерное пространство - плоскость. Теперь мы можем изобразить две дороги как две прямые на плоскости.
Такое изображение будет более наглядно и будет совершенно очевидно, что две дороги - это разные прямые. Параметр Y на карте даёт нам возможность точно определить положение второй дороги относительно первой, определить, под каким углом первая дорога лежит по отношению ко второй. На плоскости мы можем измерять не только расстояния между объектами, лежащими на одной из двух дорог, мы теперь можем измерять расстояния между любым объектом первой и любым объектом второй дороги. Вот что нам даёт добавление нового измерения.
Плоскость поворачивается в пространстве
Теперь представим себе, что местность перестала быть ровной, началась гора, и вторая дорога пошла ровно, но уже под углом в гору. Если в нашу задачу входит только собрать сведения о расстояниях между объектами на этой дороге, нам достаточно нарисовать эту дорогу в виде прямой Х, не учитывая наклон горы. Но если нам нужно знать положение объектов на дороге по отношению к уровню земли, нам будет необходимо добавить ось У, чтобы показать угол на плоскости. Только теперь плоскость, взятая нами за основу карты, будет не параллельна поверхности земли, а перпендикулярна ей.
Все эти размышления нужны для того, чтобы показать, как мы можем поворачивать плоскости и прямые в пространстве для нашего удобства. Ещё на этих примерах видно, что прямая - это самое простое изображение некоего явления, некой системы, и это пространство минимальной размерности, в которой только можно производить измерения.
Сравнение
Как только появляется вторая система, которую нам нужно сравнить с первой, не всегда достаточно наложить одну систему на другую. Даже если системы подобные. Очень часто в сравнении двух подобных систем нам нужно учитывать кривизну, а то и не одну (параметры Y и Z) - положение первой системы относительно второй. Для сравнения двух одномерных пространств (двух прямых) нам нужно перейти в двухмерное (на плоскость), для сравнения двух двухмерных пространств - перейти в трёхмерное и т.д.
Система РТС как прямая
В нашем равномерно темперированном строе (РТС), который у нас на роялях, мы имеем систему звуков, которая графически может быть представлена как прямая линия. В этой системе есть точка отсчёта - Ля 440 Гц. И есть единица измерения - полутон. Мы можем считать расстояния между любыми нотами, начиная с любого места, как мы это делали на первой дороге с камнем, шляпой, зерном и лужей.
Мы точно знаем, что частота Ля1 = 440, а частота Ля2 = 880, а частота Ля3 = 1660, и так же вниз от Ля1. Частоты между Ля1 и Ля2 - равномерно распределены между 12 полутонами.
Нужно сказать, что система ТАКАЯ, потому что такой она была создана.
Могла быть система Ля = 400 Гц, и тогда Ля2 было бы равно 800, Ля3 = 1600. и тд., и частоты между октавами по-прежнему были бы распределены равномерно между 12 полутонами внутри каждой октавы.
Чем система Ля = 400 будет отличаться от существующей системы Ля - 440?
Если Система Ля 400 существовала бы для всего мира, как стандарт, а система Ля 440 перестала бы существовать совсем, то - можно сказать, что ничем. Система Ля400 - это та же самая система (в принципе), та же прямая, только сдвинутая относительно Системы Ля440. Точка отсчёта Системы Ля400 сдвинута вдоль Оси Х на 40 герц влево.
А если бы в мире существовали бы такие две системы одновременно, мы должны были бы учитывать их обе. Для сравнения этих двух систем нам необходимо (но и достаточно) учитывать этот сдвиг на 40 Гц и всё. Потому что обе системы - прямые, обе имеют одинаковую единицу, а 40 Гц - это второй параметр У, который мы просто условно игнорируем, мы просто переходим по оси У на 40 Гц вверх или вниз, и продолжаем оперировать значениями на оси Х - на прямой.
Если быть точными, то звукоряд современного равномерно-темперированного строя - это не прямая, это множество точек, лежащих на прямой. У нас не бесконечное множество звуков. Мы же имеем только 12 звуков в одной октаве, то есть внутри отрезка Ля1 Ля2 не бесконечное число точек, а всего 12.
*******
А теперь представьте, что мы должны сравнить две звуковые системы, одна из которых - это множество точек на прямой, а вторая - это множество точек на кривой линии.
Система натуральных обертонов - это множество точек, лежащих на кривой.
Для сравнения звуковой системы равномерно-темперированного строя и системы натурального строя (НС) нам придётся нашу прямую (РТС) положить на плоскость, на которой лежит графическое изображение системы НС.
И вот что мы увидим....
Представьте себе, что нам нужно нарисовать карту чего-то.
Чтобы выбрать способ, как рисовать, мы должны знать, что именно нам нужно на карте изображать, чтобы выбрать способ не слишком сложный, если изображение простое, но достаточный, чтобы изобразить всё необходимое.
Мы долго-долго идём по ровной дороге. И ничего, кроме этой дороги в нашей реальности пока нет.
Какой способ будет достаточным, чтобы представить эту реальность на бумаге?
Если дорога ровная и прямая и подобна ровной прямой линии, всё, что мы видим на этой дороге мы можем нанести на прямую линию. Ничего, кроме этой линии нам не понадобится.
Выбираем ноль (точку отсчёта), выбираем масштаб (единицу измерения, или просто единицу), и наносим объекты на карту-прямую. Тут у нас на дороге лежит камень (его нужно нанести), тут лежит кем-то потерянная шляпа, а там куча рассыпанного зерна, а там бензиновая лужа. Предположим задача состоит в том, чтобы все эти объекты нанести на карту дороги с указанием расстояния между ними.
Камень
Шляпа
Зерно
Лужа
Поскольку размер самих объектов для нас значения не имеет (допустим), мы можем нанести объекты на прямую в виде точек, измерив единицей расстояние между точками.
Мы начинаем идти от точки 0, измеряя расстояние до камня. Интересно, что для того, чтобы обозначить на карте-прямой точки, где лежат шляпа, зерно или лужа, нам не нужно для возвращаться каждый раз в точку отсчёта 0, мы вполне можем от камня идти дальше, измерить расстояние от камня до шляпы, и снова нанести на прямую, потом от шляпы до зерна, от зерна до лужи. И мы совершенно уверены, что сумма расстояний между объектами даст нам расстояние от нуля до последнего объекта - лужи.
Почему мы в этом так уверены? Потому что мы знаем, что мы находимся всё время на одном уровне измерения (в одном масштабе), и в таком масштабе ни кривизна земли, ни повороты дороги, для нас значения не имеют, потому что их пока нет. Но это не значит, что земля плоская, а дорога идеально ровная - нет, не значит. Но в данном масштабе на наши расчеты эти две кривизны не влияют.
Появляется плоскость
Теперь представим себе, что наша дорога закончилась и от её конца, но уже в другую сторону (под углом к первой) начинается дорога номер два, такая же ровная, как и первая. Если для нас не имеет значения связь между дорогами, мы можем нарисовать новую прямую на отдельном листе бумаги и откладывать объекты на ней. И тогда наши две дороги - это две отдельные системы, лежащие в разных системах измерения.
Вы можете возразить, ну как же, система измерения одна, всё та же единица измерения (метры, например), та же ровная земля, почему другая система? А потому что, сделав поворот, мы перешли в другое пространство. Да, оно тоже одномерное, но оно другое. Две дороги имеют между собой лишь одну общую точку - точку, в которой первая дорога повернула на вторую.
Мы можем поместить эти два пространства в одну систему.
Для этого нам придётся добавить ещё одно измерение. Находясь на одной прямой, мы были в одномерном пространстве, теперь, когда мы добавим ещё один параметр, мы получим двухмерное пространство - плоскость. Теперь мы можем изобразить две дороги как две прямые на плоскости.
Такое изображение будет более наглядно и будет совершенно очевидно, что две дороги - это разные прямые. Параметр Y на карте даёт нам возможность точно определить положение второй дороги относительно первой, определить, под каким углом первая дорога лежит по отношению ко второй. На плоскости мы можем измерять не только расстояния между объектами, лежащими на одной из двух дорог, мы теперь можем измерять расстояния между любым объектом первой и любым объектом второй дороги. Вот что нам даёт добавление нового измерения.
Плоскость поворачивается в пространстве
Теперь представим себе, что местность перестала быть ровной, началась гора, и вторая дорога пошла ровно, но уже под углом в гору. Если в нашу задачу входит только собрать сведения о расстояниях между объектами на этой дороге, нам достаточно нарисовать эту дорогу в виде прямой Х, не учитывая наклон горы. Но если нам нужно знать положение объектов на дороге по отношению к уровню земли, нам будет необходимо добавить ось У, чтобы показать угол на плоскости. Только теперь плоскость, взятая нами за основу карты, будет не параллельна поверхности земли, а перпендикулярна ей.
Все эти размышления нужны для того, чтобы показать, как мы можем поворачивать плоскости и прямые в пространстве для нашего удобства. Ещё на этих примерах видно, что прямая - это самое простое изображение некоего явления, некой системы, и это пространство минимальной размерности, в которой только можно производить измерения.
Сравнение
Как только появляется вторая система, которую нам нужно сравнить с первой, не всегда достаточно наложить одну систему на другую. Даже если системы подобные. Очень часто в сравнении двух подобных систем нам нужно учитывать кривизну, а то и не одну (параметры Y и Z) - положение первой системы относительно второй. Для сравнения двух одномерных пространств (двух прямых) нам нужно перейти в двухмерное (на плоскость), для сравнения двух двухмерных пространств - перейти в трёхмерное и т.д.
Система РТС как прямая
В нашем равномерно темперированном строе (РТС), который у нас на роялях, мы имеем систему звуков, которая графически может быть представлена как прямая линия. В этой системе есть точка отсчёта - Ля 440 Гц. И есть единица измерения - полутон. Мы можем считать расстояния между любыми нотами, начиная с любого места, как мы это делали на первой дороге с камнем, шляпой, зерном и лужей.
Мы точно знаем, что частота Ля1 = 440, а частота Ля2 = 880, а частота Ля3 = 1660, и так же вниз от Ля1. Частоты между Ля1 и Ля2 - равномерно распределены между 12 полутонами.
Нужно сказать, что система ТАКАЯ, потому что такой она была создана.
Могла быть система Ля = 400 Гц, и тогда Ля2 было бы равно 800, Ля3 = 1600. и тд., и частоты между октавами по-прежнему были бы распределены равномерно между 12 полутонами внутри каждой октавы.
Чем система Ля = 400 будет отличаться от существующей системы Ля - 440?
Если Система Ля 400 существовала бы для всего мира, как стандарт, а система Ля 440 перестала бы существовать совсем, то - можно сказать, что ничем. Система Ля400 - это та же самая система (в принципе), та же прямая, только сдвинутая относительно Системы Ля440. Точка отсчёта Системы Ля400 сдвинута вдоль Оси Х на 40 герц влево.
А если бы в мире существовали бы такие две системы одновременно, мы должны были бы учитывать их обе. Для сравнения этих двух систем нам необходимо (но и достаточно) учитывать этот сдвиг на 40 Гц и всё. Потому что обе системы - прямые, обе имеют одинаковую единицу, а 40 Гц - это второй параметр У, который мы просто условно игнорируем, мы просто переходим по оси У на 40 Гц вверх или вниз, и продолжаем оперировать значениями на оси Х - на прямой.
Если быть точными, то звукоряд современного равномерно-темперированного строя - это не прямая, это множество точек, лежащих на прямой. У нас не бесконечное множество звуков. Мы же имеем только 12 звуков в одной октаве, то есть внутри отрезка Ля1 Ля2 не бесконечное число точек, а всего 12.
*******
А теперь представьте, что мы должны сравнить две звуковые системы, одна из которых - это множество точек на прямой, а вторая - это множество точек на кривой линии.
Система натуральных обертонов - это множество точек, лежащих на кривой.
Для сравнения звуковой системы равномерно-темперированного строя и системы натурального строя (НС) нам придётся нашу прямую (РТС) положить на плоскость, на которой лежит графическое изображение системы НС.
И вот что мы увидим....