Занимательная математика: залповая модель и новая тактика
На прошлом заседании математического кружка мы сравнивали модель Ленчестера с залповой моделью Фиске. При этом для последней мы приняли, вслед за её автором, два важных допущения. Во-первых, число залпов для уничтожения цели не могло быть меньше одного - или, другими словами, один корабль мог дать залп только по одной цели. Во-вторых, стороны - сильнейшая А и слабейшая В - обменивались залпами одновременно. Что изменится, если мы последовательно откажемся от этих допущений?
Для начала - разобрался со вторым. Рассчитал результаты боя между стороной А, имеющей 15 кораблей, и стороной В, у которой кораблей всего 10, для трёх случаев: стороны обмениваются залпами одновременно, первой стреляет А, первой стреляет В. Результаты приведены на рис. 1.
Рисунок 1 - Остаток сил стороны А (15 кораблей) после уничтожения сил стороны В (10 кораблей) для случаев, когда корабли А стреляют первыми (зелёная линия), корабли А стреляют вторыми (красная линия) и корабли обеих сторон стреляют одновременно (синяя линия). Решение по Ленчестеру - черный пунктир
Видно, что очерёдность залпов - при данных условиях - влияет на ход, но не на исход боя. Во всех случаях побеждает А, меняется только масштаб потерь сильнейшей стороны. При этом для "варианта Фиске" - когда на уничтожение цели требуется 10 залпов - для лучшего, "честного" и худшего случаев результаты отличаются не радикально: 11.8, 10.7 и 10.5. Существенная разница наблюдается при небольшом числе залпов.
Теперь "отменим" первую посылку - о том, что число залпов для уничтожения одной цели меньше 1. На рис. 2 приведены результаты состязания того же А с тем же Б для случая, когда число залпов на уничтожение цели меняется от 0.33 (или, иными словами, один корабль может одновременно атаковать и уничтожить 3 цели) до 3.
Рисунок 2. Остаток сил стороны А (15 кораблей) в бою со стороной В для случаев, когда корабли А стреляют первыми (зелёная линия), корабли А стреляют вторыми (красная линия) и корабли обеих сторон стреляют одновременно (синяя линия). Остаток сил стороны B для случая, когда её корабли стреляют первыми - чёрная линия
Результат меняется радикально. Сторона А, имеющая превосходство в силах, теперь может проиграть - если противник атакует первым. Более того, в определённых ситуациях слабейшая сторона побеждает без потерь - полочка в начале чёрной кривой на графике. С другой стороны, без потерь может победить и сильнейший - если, в свою очередь, найдёт и атакует противника первым. Возникает возможность взаимного уничтожения - это "нулевая" часть синей кривой. И, наконец, потери сильнейшего, даже в случае победы, могут быть тяжелее, чем потери проигравшего.
Для решения в общем случае можно ввести коэффициент K - число целей, которые один корабль может уничтожить одним залпом. Тогда - для K>1 - имеем:
слабейший победит, если атакует первым и если B>KA/(1+K^2);
сильнейший гарантированно победит противника в том случае, если А>B(K+1/K).
Например, если K=2 и А=5, то при B>2 слабейший выиграет - если успеет атаковать первым. С другой стороны, при K=2 сильнейший, для того, чтобы быть уверенным в победе, должен иметь превосходство в силах в 2,5 (!) раза. При этом, в случае "честного" боя - обмена одноврменными залпами - при соотношении сил 5:2 потери будут относиться как 4:2. Или, в общем виде, в честном бою потери сильнейшего будут в К раз больше потерь слабейшего.
Переход от классической - см. первый абзац - модели Фиске к типичной залповой модели примерно соответствует переходу от боя линейных кораблей к бою авианосцев или кораблей ракетных. Именно последние, в определённых ситуациях, способны уничтожить несколько целей одним залпом. И именно в этом контексте развивал залповую модель Уэйн Хьюз. Главным достижением автора известного учебника в итоге стала максима attack effectively first. Это можно переформулировать так: в бою разведывательные усилия должны быть столь же интенсивными, как и усилия огневые.
Сам Хьюз, немного увлекшись, считал, что его максима всегда была справедлива. Рис. 1 должен был показать, что это не совсем так - в "ленчестеровом мире" куда как важнее было "наиболее общее правило победы" Клаузевица, численное (материальное) превосходство. Удачное начало "медленного" ("непрерывного") боя отнюдь не гарантировало триумфального завершения оного - в качестве примера можно привести и Ютланд, и - даже - Цусиму, и, скажем, бой у Кокосовых островов. Впрочем, это спор терминологический, и тут многое зависит от силы смыслового акцента на слове "effectively" в формулировке Хьюза.
Так или иначе, в мире "залпового боя" с тактикой происходит удивительные превращения. Правило Клаузевица перестаёт быть главным. Возможность ударить первым оказывается фактором не менее важным, чем превосходство в силах. Возникает широкий диапазон соотношения сил, при котором имеет место "тактическая неопределённость" - победить, в зависимости от хода событий, может любая, в том числе слабейшая, сторона.
С другой стороны, наращивание превосходства в силах имеет чёткий предел. Величина А=B(K+1/K) является необходимой и достаточной, дальнейший рост превосходства в огневой мощи никак не влияет ни на вероятность победы, ни на исход боя.
Предыдущие два азаца, в свою очередь, позволяют утверждать, что "инвестиции" в разведку должны быть сравнимы с "инвестициями" в огневую мощь. Эти инвестиции могут быть техническими - например, разработка новых методов разведки - и тактическими - например, при решении командиром авианосца вопроса о том, сколько самолётов он может отправить на поиск противника, а сколько ему стоит включить в состав ударной группы. На современном уровне это может означать, что ангар для разведывательного беспилотника на борту фрегата или корвета столь же ценен, как УВП на 16 ячеек. При этом сильнейший должен пускать на разведку весь избыток ресурсов, превышающий магический уровень А=B(K+1/K).
Не менее затейливым образом трансформируется стратегия. Хотя модель Ленчестера описывает тактическое "истощение", а модель Хьюза - тактическое "сокрушение" - на уровне стратегическом ситуация может меняться на обратную. Поскольку "честный" бой, обмен одновременными залпами, является ожидаемым сценарием боя сравнимых соперников, то наиболее вероятным исходом таких боёв является взаимное истребление. Удивительный, практически невозможный в мире Ленчестера сценарий нерешительного сражения с тяжёлыми потерями. Цепочка таких боёв есть борьба на истощение на стратегическом уровне. Между тем, Ленчестер обещал нам стратегическое сокрушение.
Под вопросом - внезапно - оказывается и принцип концентрации сил. Собственно, математическое обоснование этого принципа - а не попытка создать метод предсказания исхода боя - и было целью Ленчестера. В залповой модели этот принцип как минимум модифицируется. Рассмотрим на примере. Допустим, А=10, В=7 и К=2. И, допустим, А в полном составе поймал отряд стороны В1 в составе 3 кораблей. Удача? Не факт. Итогом "честного боя" в такой ситуации будет А=4, B1=0. И следующее столкновение А и В2 состоится при равенстве сил, 4:4. Иными словами, слабейший в таком сценарии уравнивает силы, подставив часть своих сил под удар сосредоточенных сил превосходящего в силах противника..
Рассмотренная выше модель, очевидно, страдает всеми недостатками любой детерминистской модели. Более того, она не учитывает возможности "активной защиты" - в отличие от классического уравнения Хьюза. И, тем не менее, выводы из это модели в целом соответствуют ходу "авианосной борьбы" в 1942 г. Сам Хьюз считает, что в 1942 г. сила "залпа" авианосца обеспечивала уничтожение 1 цели. Вообще говоря, ситуация была хуже - фактически, для вывода из строя авианосца противника было достаточно 1 эскадрильи пикировщиков (или японских торпедоносцев), причём почти вне зависимости от силы боевого воздушного патруля. Доказательством этого были в первую очередь атаки при Мидуэе (в первой американской атаке две эскадрильи пикировщиков "Энтерпрайза" вывели из строя два авианосца, ударные эскадрильи "Хирю" последовательно выполнили две успешные атаки против "Йорктауна", решающий удар по "Хирю" нанесли 24 пикировщика - 1,3 штатной эскадрильи), хотя можно вспомнить, например, и американский удар по "Сёкаку" при Санта-Крус. Теоретически идеально организованная атака авиагруппы авианосца могла стоить противнику 2-3 кораблей.
Практически же "честные бои" заканчивались тяжёлыми потерями и уходом сторон с поля боя - хотя, безусловно, потери в самолётах были так же важны, как и повреждения кораблей. Единственный же "нечестный" бой - Мидуэй - оказался единственной безусловной победой. По итогам которой победившая сторона осталась на поле боя и даже пыталась развивать успех. И победившей оказалась сторона, уступавшая противнику в числе авианосцев.