Занимательная математика: уравнение "Дэйли Ньюс"
Открываем новую рубрику.
В ежегоднике Брассея за 1894 г. (с. 161) есть фраза, которую я ошибочно приписывал лорду Бересфорду. На самом деле фраза эта - из статьи в "Дэйли Ньюс", и в переводе на русский звучит она так:
...мы должны закладывать броненосец [в ответ] на каждый броненосец, начатый любой из стран, которые могут действовать против нас совместно, и [в ответ] на каждый их строящийся крейсер мы должны строить два.
Фраза интересная. Во-первых, потому, что, как выясняется, довольно точно описывает реальную кораблестроительную политику Великобритании периода "двухдержавного стандарта". Вот результаты недавних подсчётов - данные о построенных в 1885-1907 гг. броненосцах и крейсерах:
Во-вторых, фраза эта представляет конкретное, количественное решение задачи "определения состава сил" (force planning) в сложном варианте - при наличии двух типов угроз, симметричной ("броненосцы") и асимметричной ("крейсера"). Решение получено для "сильного", т.е. для страны, бюджет которой по умолчанию больше бюджета противника.
Однако, на это решение можно посмотреть с другой стороны. Коль скоро любой, самый большой, бюджет ограничен - существует ли в этой постановке решение задачи для "слабого"? Может ли он добиться невыгодного для богатого соотношения сил - по крейсерам или броненосцам - соответствующим образом распределив свои средства? Ответ: в определённых условиях - может.
Для простоты и наглядности рассмотрим задачу в постановке "Дэйли Ньюс", для ценителей математики ниже будет дан более общий вариант решения. Итак, допустим, у нас есть "бедный" флот с бюджетом N, и флот богатый, с бюджетом K: K>N. Допустим, богатый стремится к описанным выше соотношениям. Вопрос: сколько денег бедный должен выделить на свои броненосцы (x1) и крейсера (у1), чтобы богатый не смог поддерживать хотя бы одну из желаемых пропорций (x2=x1; y2=2*x1)? Составим систему уравнений:
x1+y1=N
y2+x2=K
x2=x1
y2=2*y1
Решение этой системы выглядит так: y1=K-N, x1=2*N-K. Поскольку обе величины должны быть положительными, и нас интересует нарушение баланса в пользу бедного, итоговый ответ звучит так: если 2*N-K>0, иными словами - если бюджет богатого превышает бюджет бедного менее чем вдвое, то бедный должен потратить на свои крейсера сумму y1>K-N, а остаток пустить на броненосцы.
Например, если слабый может построить 30 броненосцев или больших крейсеров (N=30), а богатый - 50 (K=50), то соответствующий баланс сил сохранится в том случае, если слабый построит 10 броненосцев и 20 больших крейсеров (богатый, соответственно, может построить 10 и 40). А вот если бедняк построит лишний, 21-й крейсер - баланс нарушится, и богатый вынужден будет терпеть нужду либо в крейсерах, либо в броненосцах.
Всё это позволяет по-новому посмотреть на обсуждавшиеся недавно таблички:
Трипиц не просто был неправ, он был в корне неправ, когда решил, что для достижения заданного соотношения по броненосцам (2/3) бедный должен полностью отказаться от строительства крейсеров. Совсем напротив. Если у бедного есть асимметричное преимущество - его противник в большей степени зависит от морской торговли - то бедный может использовать это преимущество в том числе для изменения баланса линейных сил.
Таким образом, немудрёная математика выше имеет известную историческую ценность. Впрочем, имеет она ценность и чисто практическую, непреходящую. Вопрос о том, на что должен тратить деньги слабый - на симметрию, асимметрию? - относится к чиcлу вечных. И сегодня мы можем ответить на этот вопрос с математической точностью.
Допустим, асимметричное средство (подводная лодка, бомбардировщик, баллистическая противокорабельная ракета) вызывает лишние расходы противника с коэффициетом A>1 (в примере "Дэйли Ньюс" A=2 - число крейсеров, которые должны строить Британия). В таком случае, если K/N>A, то бедному ничто не поможет - противник превзойдёт его в любом варианте. Если же K/N
y1=(K-N)/(A-1)
x1=(A*N-K)/(A-1)
Понятно, что в логике гонки вооружений соответствующие решения слабого вызовут, скорее, рост расходов сильного - а не нарушение пропорций. Тем не менее, поскольку асимметричные средства обычно не позволяют добиться того, что позволяют средства симметричные, вопрос распределения расходов слабыми остаётся актуальным. И если слабый не очень слаб, то радикальные решения - будь то решение Тирпица строить только линкоры, или решение Оба/Шармэ культивировать "микробов" - являются ошибочными. Единственной проблемой в таком случае остаётся более или менее чёткое определение коэффициента А. В случае с Тирипицем коэффициент этот был установлен достаточно точно.