А всё-таки есть польза от ковариаций
Вчера опробовал "сценарий", когда варьируем дальность от 1 метра до 11 метров. Получилось, что грамотное усреднение - это взять с огромными весами результаты на 1 метре, поскольку там картинка "во весь экран", измерения самые точные, а от 11 метров толку немного. От знания дисперсий выгода большая, а от знания ковариаций - добавляется лишь 2..4% к точности.
Сегодня так лень было писать документ, что всё-таки опробовал ещё один сценарий: оптическая мишень расположена в 2 метрах от прибора, и мы крутим её вокруг вертикальной оси на максимально допустимые углы, т.е от -30° до +30°. Это называется "пассивный курс", т.е курс пассивного аппарата (который не маневрирует, в отличие от активного), отклонение нормали стыковочного узла от линии визирования "по горизонтали".
Получил такие результирующие матрицы:
Параметры идут в следующем порядке: крен (1) - тангаж (2) - курс (3) - дальность (4) - горизонтальное смещение (5) - вертикальное смещение (6). По диагонали вместо дисперсий я привёл среднеквадратичные отклонения (взял квадратный корень из дисперсий), а вне её - коэффициенты корреляции (от -1 до +1) вместо ковариаций, так оно понятнее.
И что же: в этот раз знание дисперсии особенно не помогло, поскольку дальность одна и та же, картинка одного размера, точности от кадра к кадру не особенно плавали. А вот ковариации в кои-то веки пригодились: улучшили точность на 40% по нескольким параметрам!
Опять прокомментируем погрешности "в целом": они в этот раз заметно ниже, чем в прошлом сценарии, сказывается "крупное изображение" на всех кадрах, а не 1-2 из 11, как тогда. Хотя по дальности ошибка не особо-то снизилась при использовании "самых навороченных методов усреднения" - было 0,058 мм, стало 0,054. Ну да, там мы до 1 метра доходили, для измерения дальности это просто восторг, одно такое измерение стоит десятка на дальности в 2 метра :) Сейчас я тоже хотел все измерения "провести" на дальности в 1 метр, но тогда мишень очень сложно удержать целиком в поле зрения, а всё потому что фотоприёмная матрица неправильно стоит!
Вот веса, которые брались "с учётом дисперсии", без учёта ковариаций:
Такого зверского разброса, как в прошлый раз, нет. Интересно, что для некоторых параметров точнее оказываются измерения при большом пассивном курсе, для других - когда он ближе к нулю. Знание этой информации больше всего помогает в измерении дальности (улучшение на 10%) и крена (на 9%), а на остальные величины влияния почти никакого.
И теперь посмотрим простыню весов для усреднения с учётом ковариаций:
Жёлтым отмечены "родные" веса, сумма которых по каждому столбцу равна единице (здесь я округлил до 3 разрядов после запятой, из-за чего в последнем столбце явно единица не получается). Синим - "чужие" с очень приличной амплитудой.
Приведу также график коэффициентов корреляции, как они зависят от пассивного угла крена:
"Синие" коэффициенты появились "благодаря" двум наиболее размашистым коэффициентам, k12 (тёмно-синий, идёт от +0,8 до -0,8) и k34 (тёмно-рыжий, идёт от -0,8 до +0,8). Другие корреляции, резко меняющие свой знак, также привели к появлению соответствующих весов, но уже более мелких, еле влияющих на что-либо.
Подход, условно говоря, такой: в одном углу мы очень здорово можем измерить X+Y, т.к коррелированная часть шума взаимно уничтожится. В другом углу мы можем измерить X-Y, т.к корреляция поменяла знак. А теперь, сложив два этих значения и поделив на 2, мы получим X, а вычитая и поделив на 2 - значение Y гораздо точнее, чем "напрямую". Но понятно, в случае 6 параметров, а не 2, и не двух опытов, а десяти, всё немножко сложнее, но похоже, что формулы работают, что не может не радовать :)
Полный эффект от применения ковариационной матрицы (как дисперсий, так и ковариаций):
- повышение точности измерения вертикального смещения на 6% (поскольку мы по горизонтали двигались, тут сильно не помогли),
- горизонтального смещения на 20%,
- дальность и крен: 36%,
- пассивные курс и тангаж: 42%.
Вот такие результаты уже можно предъявить, и может, народ немножко задумается, что не зря прибор эту матрицу выдаёт, надо брать!
Сегодня так лень было писать документ, что всё-таки опробовал ещё один сценарий: оптическая мишень расположена в 2 метрах от прибора, и мы крутим её вокруг вертикальной оси на максимально допустимые углы, т.е от -30° до +30°. Это называется "пассивный курс", т.е курс пассивного аппарата (который не маневрирует, в отличие от активного), отклонение нормали стыковочного узла от линии визирования "по горизонтали".
Получил такие результирующие матрицы:
Параметры идут в следующем порядке: крен (1) - тангаж (2) - курс (3) - дальность (4) - горизонтальное смещение (5) - вертикальное смещение (6). По диагонали вместо дисперсий я привёл среднеквадратичные отклонения (взял квадратный корень из дисперсий), а вне её - коэффициенты корреляции (от -1 до +1) вместо ковариаций, так оно понятнее.
И что же: в этот раз знание дисперсии особенно не помогло, поскольку дальность одна и та же, картинка одного размера, точности от кадра к кадру не особенно плавали. А вот ковариации в кои-то веки пригодились: улучшили точность на 40% по нескольким параметрам!
Опять прокомментируем погрешности "в целом": они в этот раз заметно ниже, чем в прошлом сценарии, сказывается "крупное изображение" на всех кадрах, а не 1-2 из 11, как тогда. Хотя по дальности ошибка не особо-то снизилась при использовании "самых навороченных методов усреднения" - было 0,058 мм, стало 0,054. Ну да, там мы до 1 метра доходили, для измерения дальности это просто восторг, одно такое измерение стоит десятка на дальности в 2 метра :) Сейчас я тоже хотел все измерения "провести" на дальности в 1 метр, но тогда мишень очень сложно удержать целиком в поле зрения, а всё потому что фотоприёмная матрица неправильно стоит!
Вот веса, которые брались "с учётом дисперсии", без учёта ковариаций:
Такого зверского разброса, как в прошлый раз, нет. Интересно, что для некоторых параметров точнее оказываются измерения при большом пассивном курсе, для других - когда он ближе к нулю. Знание этой информации больше всего помогает в измерении дальности (улучшение на 10%) и крена (на 9%), а на остальные величины влияния почти никакого.
И теперь посмотрим простыню весов для усреднения с учётом ковариаций:
Жёлтым отмечены "родные" веса, сумма которых по каждому столбцу равна единице (здесь я округлил до 3 разрядов после запятой, из-за чего в последнем столбце явно единица не получается). Синим - "чужие" с очень приличной амплитудой.
Приведу также график коэффициентов корреляции, как они зависят от пассивного угла крена:
"Синие" коэффициенты появились "благодаря" двум наиболее размашистым коэффициентам, k12 (тёмно-синий, идёт от +0,8 до -0,8) и k34 (тёмно-рыжий, идёт от -0,8 до +0,8). Другие корреляции, резко меняющие свой знак, также привели к появлению соответствующих весов, но уже более мелких, еле влияющих на что-либо.
Подход, условно говоря, такой: в одном углу мы очень здорово можем измерить X+Y, т.к коррелированная часть шума взаимно уничтожится. В другом углу мы можем измерить X-Y, т.к корреляция поменяла знак. А теперь, сложив два этих значения и поделив на 2, мы получим X, а вычитая и поделив на 2 - значение Y гораздо точнее, чем "напрямую". Но понятно, в случае 6 параметров, а не 2, и не двух опытов, а десяти, всё немножко сложнее, но похоже, что формулы работают, что не может не радовать :)
Полный эффект от применения ковариационной матрицы (как дисперсий, так и ковариаций):
- повышение точности измерения вертикального смещения на 6% (поскольку мы по горизонтали двигались, тут сильно не помогли),
- горизонтального смещения на 20%,
- дальность и крен: 36%,
- пассивные курс и тангаж: 42%.
Вот такие результаты уже можно предъявить, и может, народ немножко задумается, что не зря прибор эту матрицу выдаёт, надо брать!