Более тяжёлые тела падают быстрее!
Увидел не так давно видео от Flammable Maths с таким заголовком, и подумал поначалу - он опять нас троллит. Это немецкий препод математики (насколько я знаю), и чувство юмора у него очень специфическое, особенно любит над инженерами издеваться, дескать e=π=3, cos(x) = 1, sin(x) = x.
Но нет, всё корректно: в безвоздушном пространстве, согласно законам Ньютона, тяжёлые тела действительно будут падать быстрее!
Быстренько изложу своими словами. Есть объект массой m и Земля массой M. На объект со стороны Земли действует сила
И согласно 2-му закону Ньютона она придаёт ему ускорение:
Тут можно вставить несколько страниц дискуссии, почему "инерционная масса" (слева) оказалась равна "гравитационной массе" (справа) и причём тут Эйнштейн, но сейчас мы о другом. Сокращаем их с чистой совестью, и получаем:
Ускорение зависит лишь от массы Земли и расстояния до неё, и не зависит от массы самого объекта, что как бы говорит все тела падают одинаково.
Вот только мы кое-чего забыли!
Ведь та же сила, только с противоположным знаком, действует на Землю! И придаёт ускорение
И вот оно ЕЩЁ КАК ЗАВИСИТ ОТ МАССЫ ОБЪЕКТА!
Земля ускоряется навстречу этому объекту, и чем лучше она ускоряется - тем быстрее объект коснётся поверхности земли, то есть УПАДЁТ.
Разумеется, пока масса объекта пренебрежимо мала по сравнению с массой Земли, этим "эффектом" можно пренебречь, но если взять что-то сравнимое по массе, разница станет очевидна! К примеру, про Луну мы ещё можем сколько-нибудь говорить, будто она вращается вокруг Земли, хотя и это не совсем верно - и Луна, и Земля вращаются вокруг центра масс системы. Ну а если размер Луны увеличить до ещё одной Земли, то они явно будут весело ходить кругами вокруг общего центра масс, сидящего строго посередине, притом делать оборот гораздо быстрее, чем делает Луна.
Не думаю, что сообщил чего-то новое, когда речь заходит об орбитальной механике, про это сразу же "вспоминают", и о поиске экзопланет по "дрожанию" звезды, вокруг которой эти планеты обращаются, знают многие. Но фраза, что более тяжёлые тела падают быстрее, тем не менее, вызывает когнитивный диссонанс :)
Моё наибольшее удивление связано с тем, как же нас в школе умудрялись убедить, что все тела падают одинаково, не путём экспериментов, а чисто на логических противоречиях!
Самое частое такое: хорошо, чем тяжелее тело - тем быстрее оно падает. А теперь возьмём лёгкое и тяжёлое, и свяжем их веревочкой. Тяжёлое будет падать быстрее, лёгкое - медленнее, верёвочка натянется, причём лёгкое тело будет ЗАМЕДЛЯТЬ тяжёлого, тянуть его назад! Но с другой стороны, они вместе образуют ЕЩЁ БОЛЕЕ ТЯЖЁЛОЕ ТЕЛО, которое должно упасть ЕЩЁ БЫСТРЕЕ!
Из этого делался вывод: они просто ОБЯЗАНЫ падать одинаково, ничего другого не остаётся. (если бы более тяжёлое падало МЕДЛЕННЕЕ - получился бы в точности такой же парадокс). Но как мы видим, это верно лишь как очень хорошее приближение. Где же здесь ошибка?
Если взять тела массой, к примеру, 1/10 от массы Земли и 1/20 от массы Земли, то первое по отдельности будет сближаться с Землёй с ускорением 1,1g (то есть 0,1g добавляется за счёт ускорения Земли в сторону тела). Второе по отдельности будет сближаться с Землёй с ускорением 1,05g, то есть медленнее.
А если они будут представлены оба, то каждый получит ускорение 1g в сторону Земли, Земля получит ускорение 0,15g в их сторону, и они ещё и будут довольно заметно притягиваться друг к другу! Если мы их таки слепим в одно большое тело, так что их силы друг на друга уравновесятся реакцией опоры, мы обнаружим, что получившееся тело упадёт ЕЩЁ БЫСТРЕЕ. Если же их связать "верёвочкой", пока они сидят на некотором расстоянии друг от друга, натягиваться она уж точно не будет, ведь со стороны Земли ускорение они получили одинаковое, но ещё и притягиваются друг к другу впридачу!
Вот так и верь после этого физике за 7-й класс...
Но нет, всё корректно: в безвоздушном пространстве, согласно законам Ньютона, тяжёлые тела действительно будут падать быстрее!
Быстренько изложу своими словами. Есть объект массой m и Земля массой M. На объект со стороны Земли действует сила
И согласно 2-му закону Ньютона она придаёт ему ускорение:
Тут можно вставить несколько страниц дискуссии, почему "инерционная масса" (слева) оказалась равна "гравитационной массе" (справа) и причём тут Эйнштейн, но сейчас мы о другом. Сокращаем их с чистой совестью, и получаем:
Ускорение зависит лишь от массы Земли и расстояния до неё, и не зависит от массы самого объекта, что как бы говорит все тела падают одинаково.
Вот только мы кое-чего забыли!
Ведь та же сила, только с противоположным знаком, действует на Землю! И придаёт ускорение
И вот оно ЕЩЁ КАК ЗАВИСИТ ОТ МАССЫ ОБЪЕКТА!
Земля ускоряется навстречу этому объекту, и чем лучше она ускоряется - тем быстрее объект коснётся поверхности земли, то есть УПАДЁТ.
Разумеется, пока масса объекта пренебрежимо мала по сравнению с массой Земли, этим "эффектом" можно пренебречь, но если взять что-то сравнимое по массе, разница станет очевидна! К примеру, про Луну мы ещё можем сколько-нибудь говорить, будто она вращается вокруг Земли, хотя и это не совсем верно - и Луна, и Земля вращаются вокруг центра масс системы. Ну а если размер Луны увеличить до ещё одной Земли, то они явно будут весело ходить кругами вокруг общего центра масс, сидящего строго посередине, притом делать оборот гораздо быстрее, чем делает Луна.
Не думаю, что сообщил чего-то новое, когда речь заходит об орбитальной механике, про это сразу же "вспоминают", и о поиске экзопланет по "дрожанию" звезды, вокруг которой эти планеты обращаются, знают многие. Но фраза, что более тяжёлые тела падают быстрее, тем не менее, вызывает когнитивный диссонанс :)
Моё наибольшее удивление связано с тем, как же нас в школе умудрялись убедить, что все тела падают одинаково, не путём экспериментов, а чисто на логических противоречиях!
Самое частое такое: хорошо, чем тяжелее тело - тем быстрее оно падает. А теперь возьмём лёгкое и тяжёлое, и свяжем их веревочкой. Тяжёлое будет падать быстрее, лёгкое - медленнее, верёвочка натянется, причём лёгкое тело будет ЗАМЕДЛЯТЬ тяжёлого, тянуть его назад! Но с другой стороны, они вместе образуют ЕЩЁ БОЛЕЕ ТЯЖЁЛОЕ ТЕЛО, которое должно упасть ЕЩЁ БЫСТРЕЕ!
Из этого делался вывод: они просто ОБЯЗАНЫ падать одинаково, ничего другого не остаётся. (если бы более тяжёлое падало МЕДЛЕННЕЕ - получился бы в точности такой же парадокс). Но как мы видим, это верно лишь как очень хорошее приближение. Где же здесь ошибка?
Если взять тела массой, к примеру, 1/10 от массы Земли и 1/20 от массы Земли, то первое по отдельности будет сближаться с Землёй с ускорением 1,1g (то есть 0,1g добавляется за счёт ускорения Земли в сторону тела). Второе по отдельности будет сближаться с Землёй с ускорением 1,05g, то есть медленнее.
А если они будут представлены оба, то каждый получит ускорение 1g в сторону Земли, Земля получит ускорение 0,15g в их сторону, и они ещё и будут довольно заметно притягиваться друг к другу! Если мы их таки слепим в одно большое тело, так что их силы друг на друга уравновесятся реакцией опоры, мы обнаружим, что получившееся тело упадёт ЕЩЁ БЫСТРЕЕ. Если же их связать "верёвочкой", пока они сидят на некотором расстоянии друг от друга, натягиваться она уж точно не будет, ведь со стороны Земли ускорение они получили одинаковое, но ещё и притягиваются друг к другу впридачу!
Вот так и верь после этого физике за 7-й класс...