Дуальные числа рулят!

[nabbla1]

Наверное, все знают о комплексных числах с их "мнимой единицей" i (а у электронщиков: j, чтобы никто не догадался), "корнем из минус единицы", и о том, как здорово они "прижились" во всех областях физики.

Ваш покорный слуга немножечко рассказал и о кватернионах (и ещё расскажет, когда немного освободится) с тремя "мнимыми единицами", которые очень

Comments

[nemoi_vahter]

А для чего подходят паракомплексные числа? В вики только краткая математическая выжимка.

[nabbla1]

Я слышал такую аналогию:
- комплексные числа описывают обычную действительную плоскость, т.е действительная и мнимая часть - два направления В ПРОСТРАНСТВЕ. Разумеется, там возможно вращение, сохраняющее модуль вектора, оно описывается как умножение на exp(iω)

- дуальные числа описывают одну пространственную ось и одну временнУю ось (действительная часть - это время, дуальная часть - пространство) в Ньютоновской механике, где время абсолютно. Преобразования Галилея, переход в систему координат, движущуюся со скоростью v относительно исходной, описывается как умножение на exp(sv),

- двойные, они же паракомплексные числа описывают "плоскость Минковского" - также действительная часть - это время, "мнимая" часть - пространство. Преобразования Лоренца, переход в систему координат движущуюся со скоростью β (доля от скорости света) описываются умножением на exp(βj).

Вот хорошая видюшка по этому поводу: https://www.youtube.com/watch?v=R3pGBdZ1cB8

[nemoi_vahter]

Мало что понятно, но спасибо. :)

[nemoi_vahter]

Возник такой вопрос. Вы не в курсе: Минковский знал про паракомплексные числа, когда описал плоскость имени себя, т.е. применил уже известный математический аппарат или вывел заново?

Спрашиваю это поскольку в "Истине и красоте" Стюарта прочитал, что октонионы, открытые Грейвзом, и E8, открытая среди прочих исключительных простых алгебр Ли Киллингом, а также связь между ними, нашли применение в физике совсем недавно, а до этого были забавным математическими курьезами, интересными только математикам.

[nabbla1]

К сожалению, не в курсе, сходу найти не удаётся, видимо, надо труды самого Минковского поднимать и вчитываться в них.

И ещё меня давно занимает вопрос - знал ли Паули о кватернионах? Потому как его матрицы Паули - это по сути и есть 3 "мнимых" компоненты кватерниона, но в достаточно произвольной и малость "уродской" записи. Пенроуз считает, что используй Паули кватернионы в "явном виде" - и понять кванты стало бы хоть самую малость попроще :)

[grumbler]

> матрицы Паули - это по сути и есть 3 "мнимых" компоненты кватерниона

кватернионы - часть геометрической алгебры, наиболее общего представления https://geometricalgebra.org/quaternions.html