Золотое сечение
Вот нашла недавно свою работу на МАН в 6ом классе. Забавно, однако, забавно.
Золотое сечение и золотой прямоугольник в литературе и кинофильмах
«Иррациональное число известно не так широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число » - так пишет о числе Мартин Гарднер [1]. Знакомство с этим числом полностью изменило мои представления о связи математики и искусства.
Э.К. Розенов, будучи не математиком, а музыковедом, очень доходчиво объясняет сущность золотого сечения: «Золотое сечение» представляет собой одно из тех замечательных математических соотношений, которое по существу и простоте идеи прямо вытекают из природы вещей. В самом деле: наименьшее число частей, на которое может быть разделено целое, есть два. При двух частях целое может находиться в бесконечно разнообразных отношениях (по величине) к одной из частей; точно так же одна часть может находиться в бесконечно разнообразных отношениях к другой части, лишь бы взятые вместе они образовывали данное целое. Единственный случай, когда все эти независимые условия совмещаются в одном, есть случай «золотого сечения», то есть когда целое разделено на две части так, что оно относится к большей части так же, как большая часть - к меньшей» [2].
Золотое сечение было хорошо известно древним грекам. По-моему, нельзя сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Самым известным примером является знаменитый Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом . Буква - первая греческая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который, по преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах. Одной из причин, по которой пифагорейцы избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в «золотом отношении» к наименьшему соседнему отрезку.
«В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к Ф*. А выбирая размеры самой картины, старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть “золотым”» [3].
Бывает и «золотой треугольник». Им воспользовался Леонардо да Винчи в композиции своей знаменитой «Джоконды».
По-видимому, золотое сечение пришло в искусство из наблюдений над природой. Э.К. Розенов пишет: «В природе золотое сечение находит себе весьма разнообразное применение. Тело человека во многих ясно различимых частях своих являет целые серии крупных и мелких подразделений по этому закону. В растительном царстве наблюдается то же; например, длина стеблевых колен у многих злаков и расстояние последовательных ходов спиральной линии, проводимой через точки прикрепления сучьев и листьев, у многих пород кустарников и деревьев строго подчиняются золотому сечению».
«Легко допустить, что золотое сечение, будучи часто наблюдаемым в природе, могло - хотя бы просто в силу привычки - перейти в те виды искусства, формы которых имеют протяжение в пространстве» - пишет далее Э.К.Розенов, имея в виду живопись и архитектуру.
«В этих искусствах пользование золотым сечением могло иметь двоякую цель:
1) установление соразмерного и изящного соотношения между целым и его частями или
2) сосредоточение внимания зрителя на главном пункте художественного произведения, помещаемого в точке или на линии “золотого сечения”».
Открытие Э.К. Розенова, о котором он впервые сделал доклад на заседании Московского музыкального кружка в 1903 году, состояло в том, что и такие виды искусства, как поэзия и музыка, которые «имеют протяженность во времени», тоже подчиняются закону золотого сечения.
В своей работе «Закон золотого сечения в поэзии и в музыке» Э.К.Розенов приводит примеры золотого сечения в стихах Лермонтова, в классической музыке И.С. Баха, Моцарта, Бетховена и Шопена. Оказывается, что золотое сечение во многих их произведениях часто приходится на кульминацию или делит произведение на две четко различающихся части.
Интересно, а в современной литературе, и в особенности в кинофильмах, проявляется ли в них закон золотого сечения?
1. Клайв Степелз Льюис. Хроники Нарнии
В произведении Клайва Степелза Льюиса «Племянник чародея» кульминации очень чётко совпадают с моментами золотого сечения. Эта книга есть у меня на английском и в переводе, и было интересно понаблюдать как перевод сохраняет совпадение золотого сечения и кульминации.
Произведем расчеты:
Оригинал (1) Перевод (2)
Длина текста 163 страниц 97 страниц
Золотое сечение отрезка текста до главного золотого сечения
100.734 * 0.618 62
60 * 0.618 37
Главное золотое сечение текста 163* 0.618 = 100.734 97* 0.618 60
Золотое сечение отрезка текста после главного золотого сечения
63 * 0.618 39
37 * 0.618 23
Вот что соответствует точкам золотого сечения в английском оригинале и в переводе:
Момент золотого сечения Оригинал (1) Перевод (2)
Золотое сечение отрезка текста до главного золотого сечения 2.1. Дигори и Поли случайно забирают Джадис из ее разрушающегося мира. 2.2. Дядя Эндрю знакомится с Джадис.
Главное золотое сечение текста 1.1. Эслан* созывает совет и говорит на нем о том, что в Нарнию занесено зло. 1.2. Диогори, Поли и другие попадают в Нарнию.
Золотое сечение отрезка текста после главного золотого сечения 3.1. Дигори и Поли попадают в сад с яблоками. 3.2. Дигори и Поли приносят яблоко Эслану
* - в некоторых переводах используется имя Аслан. Это имя близко к написанию имени, а Эслан - к его произношению. Я везде буду использовать имя Эслан.
Действительно ли это кульминации?
1.1 и 1.2. - Герои попадают в тот мир, про который и написана эта книга.
Но:
1.1 - впервые видят Эслана, а дальше мы видим, что вообще любое появление Эслана связано с кульминацией. Они понимают, что навредили этому миру и им придется что-то сделать, что бы загладить свою вину.
1.2 - они в Нарнии, но не знают ничего и даже не представляют, что будет происходить дальше.
2.1 и 2.2. - Появляется Джадис, что повлекло за собой цепочку событий, в результате которых они и оказались в Нарнии.
Но:
2.1 - если бы они оставили Джадис в ее мире, ни чего бы ни случилось, они бы продолжать жить так же, как и раньше.
2.2 - то, что дядя Эндрю знакомится с Джадис - только одно из последствий того, что дети забрали волшебницу из её мира.
И 3.1 и 3.2 можно считать кульминациями, но смысл у них довольно таки разный.
3.1 - Они, наконец-то добираются до заветного сада, достигают главную цель.
3.2 - Они приносят яблоки и получают награду, на которую даже не смели рассчитывать.
Итак, я сумела «доказать» то, о чем догадывалась и раньше - перевод хоть и не сильно, но отдаляет нас от оригинала.
В другой книге Льюиса из «Хроник Нарнии» тоже находим совпадение кульминации и золотого сечения. Это «Путешествие “Донтрейдера”». Здесь кульминация снова связана с появлением льва Эслана. Герои узнают, что Эслан на самом деле все время рядом с ними, и я думаю, что это даже подсознательно повлияло на их дальнейшие действия.
В еще одной книге Льюиса из той же серии книг о Нарнии - «Лев, ведьмарка и зеркальный гардероб» - кульминация также совпадает с золотым сечением. Но тут оно не приходится ни на одно из частых в этой книге появлений Эслана. Наверное, потому и не приходится, что эти появления слишком часты, и ни чем особо грандиозным не выделяются. В этой книге, как и кульминация, так и золотое сечения приходятся на то место, где план Бледной ведьмарки начинает рушиться, она ослабевает, и заклятье ее разрушается - наступает Рождество.
2. Гарри Поттер и философский камень
Режиссер David Heyman
Гарри Поттер Daniel Raceffe
Рон Уизли Oliver Phelps
Гермиона Гейнджер Emma Watson
Продолжительность фильма: 2 часа 26 минут.
Сюжет книг и фильмов о Гарри Поттере хорошо известен. Гарри Поттер - сын волшебников, но коварный маг Волан де Морт убил его родителей. Живя у тётушки, Гарри даже не подозревал о своих магических возможностях. Но ему пришло время ехать в школу чародейства и волшебства «Хогвартс». За Гарри приехал лесничий из этой школы - Хагрид, бывший другом родителей мальчика.
Вся дальнейшая история учебы Гарри Поттера в Хогвартсе насыщена барьбой с темными магическими силами, в первую очередь, с убийцей его родителей Волан де Мортом.
Главное золотое сечение фильма соответствует 1 часу 30 минут 14 секунд от начала. Золотое сечения для времени, оставшегося после момента главного золотого сечения, приходится на 2 часа 4 мин 40 сек от начала фильма.
Вот что происходит в эти моменты:
1 ч. 30 мин.
14 сек
( 0.618 * 2часа 26 минут).
Главное золотое сечение Гарри видит в зеркале своих родителей, а в этом зеркале видят свои самые сокровенные желания.
2 ч. 4 мин 40 сек
( 0.854 * 2 часа 26 минут).
Золотое сечение остатка Профессор Квиртлл развязывает чалму, из-под которой появляется голова Волан де Морта.
И в первом и во втором случае Гарри видит что-то через одно и то же волшебное зеркало. При этом мы видим изображение, не со стороны, как бы его глазами. Оба фрагмента фильма решены в одно и том же серо-голубом тоне.
Люди, которых Гарри видит в эти моменты, тесно связаны между собой - это родители Гарри и их убийца Волан де Морт. И родителей и Волан де Морта Гарри видит впервые. И в первом и во втором случае эпизод насыщен яркими переживаниями. Сокровенная мечта Гарри понимает - увидеть своих родителей. Борьба с их убийцей - долг жизни Гарри.
Отмеченные по золотому сечению моменты действительно можно считать кульминационными в развитии сюжета фильма.
3. День Сурка
Режиссер Harold Ramis
Фил Bill Murrey
Рита Andie MacDowell
Продолжительность фильма 1 час 41 минута
Герой фильма - Фил Конерс попадает в необыкновенную ситуацию - один и тот же день повторяется для него снова и снова, и не может наступить простое завтра. В этот день, день сурка Фил снимает ежегодно (уже 4-ый год подряд) снимает репортаж в Панцитонии, на родине сурка Фила. Для Конерса это, если не худшее, то уж точно далеко не лучшие дни.
Вот на какие эпизоды фильма с точностью до секунды приходятся
1ч. 2 мин. 24 с.
( 0.618 * 101 минуту)
Главное золотое сечение. Фил пытается покончить с этим. Он берет сурка и едет с ним на машине, а позже сорвется с обрыва.
1 час 26 минут
15 секунд
(0.854 *101 минуту)
Золотое сечение остатка. Рита воссторжено смотрит на Фила, который играет на вечеринке. Здесь все будут узнавать его и благодарить за разные добрые дела. Он нашел выход, он решил превратить этот день в лучший день своей жизни.
1час 35 минут
22 секунды
(0.944 * 101 минуту)
Золотое сечение второго остатка. Фил просыпается и понимает, что-то не так, как обычно (а для него это уже хорошо). Чуть позже он поймет, что наступило 3 февраля
Эти три момента являются каждый по-своему пиками развития сюжета кинофильма: первый эпизод - пик безумства, Фил решает любой ценой покончить с повторением Дня Сурка. Это один из самых ярких и запоминающихся эпизодов кинофильма. Второй эпизод - триумф Фила, кульминация того, как герой находит выход. Третий эпизод - конец «вечного» Дня Сурка.
Как и первый пример из К.С. Льюиса эти два примера интересны тем, что кульминация остатка времени также приходится на его золотое сечение. Это очень похоже на золотой прямоугольник. А тот в свою очередь очень похож на фракталы - ведь в нем каждая часть повторяет целое:
А фракталы часто похожи на живые растения. Может быть именно поэтому фильмы, которые имеют подобное строение, кажутся такими гармоничными, как живые растений?
Конечно, из тех произведений, в которых я пыталась найти проявление закона золотого сечения, были и такие, в которых его не было. Например, первой, второй и четвертой книгах о Гарри Поттере моменты золотого сечения не совпадали с каким-то значимым событием.
Тем не менее, те примеры, которые рассмотрены выше, показывают, что во многих современных произведениях искусства, в том числе в кинофильмах, золотое сечение играет важную роль. Оно расставляет акценты, делает произведение гармоничным.
Список литературы
1. М. Гарднер - Математические головоломки и развлечения. - М.: «Мир», 1971
2. Э.К. Розенов. Статьи о музыке. - М.: Музыка, 1982.
3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М.: Аванта+б 2002.
P.S. Жалко картинки из Worda не вставишь =(
Золотое сечение и золотой прямоугольник в литературе и кинофильмах
«Иррациональное число известно не так широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число » - так пишет о числе Мартин Гарднер [1]. Знакомство с этим числом полностью изменило мои представления о связи математики и искусства.
Э.К. Розенов, будучи не математиком, а музыковедом, очень доходчиво объясняет сущность золотого сечения: «Золотое сечение» представляет собой одно из тех замечательных математических соотношений, которое по существу и простоте идеи прямо вытекают из природы вещей. В самом деле: наименьшее число частей, на которое может быть разделено целое, есть два. При двух частях целое может находиться в бесконечно разнообразных отношениях (по величине) к одной из частей; точно так же одна часть может находиться в бесконечно разнообразных отношениях к другой части, лишь бы взятые вместе они образовывали данное целое. Единственный случай, когда все эти независимые условия совмещаются в одном, есть случай «золотого сечения», то есть когда целое разделено на две части так, что оно относится к большей части так же, как большая часть - к меньшей» [2].
Золотое сечение было хорошо известно древним грекам. По-моему, нельзя сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Самым известным примером является знаменитый Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом . Буква - первая греческая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который, по преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах. Одной из причин, по которой пифагорейцы избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в «золотом отношении» к наименьшему соседнему отрезку.
«В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к Ф*. А выбирая размеры самой картины, старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть “золотым”» [3].
Бывает и «золотой треугольник». Им воспользовался Леонардо да Винчи в композиции своей знаменитой «Джоконды».
По-видимому, золотое сечение пришло в искусство из наблюдений над природой. Э.К. Розенов пишет: «В природе золотое сечение находит себе весьма разнообразное применение. Тело человека во многих ясно различимых частях своих являет целые серии крупных и мелких подразделений по этому закону. В растительном царстве наблюдается то же; например, длина стеблевых колен у многих злаков и расстояние последовательных ходов спиральной линии, проводимой через точки прикрепления сучьев и листьев, у многих пород кустарников и деревьев строго подчиняются золотому сечению».
«Легко допустить, что золотое сечение, будучи часто наблюдаемым в природе, могло - хотя бы просто в силу привычки - перейти в те виды искусства, формы которых имеют протяжение в пространстве» - пишет далее Э.К.Розенов, имея в виду живопись и архитектуру.
«В этих искусствах пользование золотым сечением могло иметь двоякую цель:
1) установление соразмерного и изящного соотношения между целым и его частями или
2) сосредоточение внимания зрителя на главном пункте художественного произведения, помещаемого в точке или на линии “золотого сечения”».
Открытие Э.К. Розенова, о котором он впервые сделал доклад на заседании Московского музыкального кружка в 1903 году, состояло в том, что и такие виды искусства, как поэзия и музыка, которые «имеют протяженность во времени», тоже подчиняются закону золотого сечения.
В своей работе «Закон золотого сечения в поэзии и в музыке» Э.К.Розенов приводит примеры золотого сечения в стихах Лермонтова, в классической музыке И.С. Баха, Моцарта, Бетховена и Шопена. Оказывается, что золотое сечение во многих их произведениях часто приходится на кульминацию или делит произведение на две четко различающихся части.
Интересно, а в современной литературе, и в особенности в кинофильмах, проявляется ли в них закон золотого сечения?
1. Клайв Степелз Льюис. Хроники Нарнии
В произведении Клайва Степелза Льюиса «Племянник чародея» кульминации очень чётко совпадают с моментами золотого сечения. Эта книга есть у меня на английском и в переводе, и было интересно понаблюдать как перевод сохраняет совпадение золотого сечения и кульминации.
Произведем расчеты:
Оригинал (1) Перевод (2)
Длина текста 163 страниц 97 страниц
Золотое сечение отрезка текста до главного золотого сечения
100.734 * 0.618 62
60 * 0.618 37
Главное золотое сечение текста 163* 0.618 = 100.734 97* 0.618 60
Золотое сечение отрезка текста после главного золотого сечения
63 * 0.618 39
37 * 0.618 23
Вот что соответствует точкам золотого сечения в английском оригинале и в переводе:
Момент золотого сечения Оригинал (1) Перевод (2)
Золотое сечение отрезка текста до главного золотого сечения 2.1. Дигори и Поли случайно забирают Джадис из ее разрушающегося мира. 2.2. Дядя Эндрю знакомится с Джадис.
Главное золотое сечение текста 1.1. Эслан* созывает совет и говорит на нем о том, что в Нарнию занесено зло. 1.2. Диогори, Поли и другие попадают в Нарнию.
Золотое сечение отрезка текста после главного золотого сечения 3.1. Дигори и Поли попадают в сад с яблоками. 3.2. Дигори и Поли приносят яблоко Эслану
* - в некоторых переводах используется имя Аслан. Это имя близко к написанию имени, а Эслан - к его произношению. Я везде буду использовать имя Эслан.
Действительно ли это кульминации?
1.1 и 1.2. - Герои попадают в тот мир, про который и написана эта книга.
Но:
1.1 - впервые видят Эслана, а дальше мы видим, что вообще любое появление Эслана связано с кульминацией. Они понимают, что навредили этому миру и им придется что-то сделать, что бы загладить свою вину.
1.2 - они в Нарнии, но не знают ничего и даже не представляют, что будет происходить дальше.
2.1 и 2.2. - Появляется Джадис, что повлекло за собой цепочку событий, в результате которых они и оказались в Нарнии.
Но:
2.1 - если бы они оставили Джадис в ее мире, ни чего бы ни случилось, они бы продолжать жить так же, как и раньше.
2.2 - то, что дядя Эндрю знакомится с Джадис - только одно из последствий того, что дети забрали волшебницу из её мира.
И 3.1 и 3.2 можно считать кульминациями, но смысл у них довольно таки разный.
3.1 - Они, наконец-то добираются до заветного сада, достигают главную цель.
3.2 - Они приносят яблоки и получают награду, на которую даже не смели рассчитывать.
Итак, я сумела «доказать» то, о чем догадывалась и раньше - перевод хоть и не сильно, но отдаляет нас от оригинала.
В другой книге Льюиса из «Хроник Нарнии» тоже находим совпадение кульминации и золотого сечения. Это «Путешествие “Донтрейдера”». Здесь кульминация снова связана с появлением льва Эслана. Герои узнают, что Эслан на самом деле все время рядом с ними, и я думаю, что это даже подсознательно повлияло на их дальнейшие действия.
В еще одной книге Льюиса из той же серии книг о Нарнии - «Лев, ведьмарка и зеркальный гардероб» - кульминация также совпадает с золотым сечением. Но тут оно не приходится ни на одно из частых в этой книге появлений Эслана. Наверное, потому и не приходится, что эти появления слишком часты, и ни чем особо грандиозным не выделяются. В этой книге, как и кульминация, так и золотое сечения приходятся на то место, где план Бледной ведьмарки начинает рушиться, она ослабевает, и заклятье ее разрушается - наступает Рождество.
2. Гарри Поттер и философский камень
Режиссер David Heyman
Гарри Поттер Daniel Raceffe
Рон Уизли Oliver Phelps
Гермиона Гейнджер Emma Watson
Продолжительность фильма: 2 часа 26 минут.
Сюжет книг и фильмов о Гарри Поттере хорошо известен. Гарри Поттер - сын волшебников, но коварный маг Волан де Морт убил его родителей. Живя у тётушки, Гарри даже не подозревал о своих магических возможностях. Но ему пришло время ехать в школу чародейства и волшебства «Хогвартс». За Гарри приехал лесничий из этой школы - Хагрид, бывший другом родителей мальчика.
Вся дальнейшая история учебы Гарри Поттера в Хогвартсе насыщена барьбой с темными магическими силами, в первую очередь, с убийцей его родителей Волан де Мортом.
Главное золотое сечение фильма соответствует 1 часу 30 минут 14 секунд от начала. Золотое сечения для времени, оставшегося после момента главного золотого сечения, приходится на 2 часа 4 мин 40 сек от начала фильма.
Вот что происходит в эти моменты:
1 ч. 30 мин.
14 сек
( 0.618 * 2часа 26 минут).
Главное золотое сечение Гарри видит в зеркале своих родителей, а в этом зеркале видят свои самые сокровенные желания.
2 ч. 4 мин 40 сек
( 0.854 * 2 часа 26 минут).
Золотое сечение остатка Профессор Квиртлл развязывает чалму, из-под которой появляется голова Волан де Морта.
И в первом и во втором случае Гарри видит что-то через одно и то же волшебное зеркало. При этом мы видим изображение, не со стороны, как бы его глазами. Оба фрагмента фильма решены в одно и том же серо-голубом тоне.
Люди, которых Гарри видит в эти моменты, тесно связаны между собой - это родители Гарри и их убийца Волан де Морт. И родителей и Волан де Морта Гарри видит впервые. И в первом и во втором случае эпизод насыщен яркими переживаниями. Сокровенная мечта Гарри понимает - увидеть своих родителей. Борьба с их убийцей - долг жизни Гарри.
Отмеченные по золотому сечению моменты действительно можно считать кульминационными в развитии сюжета фильма.
3. День Сурка
Режиссер Harold Ramis
Фил Bill Murrey
Рита Andie MacDowell
Продолжительность фильма 1 час 41 минута
Герой фильма - Фил Конерс попадает в необыкновенную ситуацию - один и тот же день повторяется для него снова и снова, и не может наступить простое завтра. В этот день, день сурка Фил снимает ежегодно (уже 4-ый год подряд) снимает репортаж в Панцитонии, на родине сурка Фила. Для Конерса это, если не худшее, то уж точно далеко не лучшие дни.
Вот на какие эпизоды фильма с точностью до секунды приходятся
1ч. 2 мин. 24 с.
( 0.618 * 101 минуту)
Главное золотое сечение. Фил пытается покончить с этим. Он берет сурка и едет с ним на машине, а позже сорвется с обрыва.
1 час 26 минут
15 секунд
(0.854 *101 минуту)
Золотое сечение остатка. Рита воссторжено смотрит на Фила, который играет на вечеринке. Здесь все будут узнавать его и благодарить за разные добрые дела. Он нашел выход, он решил превратить этот день в лучший день своей жизни.
1час 35 минут
22 секунды
(0.944 * 101 минуту)
Золотое сечение второго остатка. Фил просыпается и понимает, что-то не так, как обычно (а для него это уже хорошо). Чуть позже он поймет, что наступило 3 февраля
Эти три момента являются каждый по-своему пиками развития сюжета кинофильма: первый эпизод - пик безумства, Фил решает любой ценой покончить с повторением Дня Сурка. Это один из самых ярких и запоминающихся эпизодов кинофильма. Второй эпизод - триумф Фила, кульминация того, как герой находит выход. Третий эпизод - конец «вечного» Дня Сурка.
Как и первый пример из К.С. Льюиса эти два примера интересны тем, что кульминация остатка времени также приходится на его золотое сечение. Это очень похоже на золотой прямоугольник. А тот в свою очередь очень похож на фракталы - ведь в нем каждая часть повторяет целое:
А фракталы часто похожи на живые растения. Может быть именно поэтому фильмы, которые имеют подобное строение, кажутся такими гармоничными, как живые растений?
Конечно, из тех произведений, в которых я пыталась найти проявление закона золотого сечения, были и такие, в которых его не было. Например, первой, второй и четвертой книгах о Гарри Поттере моменты золотого сечения не совпадали с каким-то значимым событием.
Тем не менее, те примеры, которые рассмотрены выше, показывают, что во многих современных произведениях искусства, в том числе в кинофильмах, золотое сечение играет важную роль. Оно расставляет акценты, делает произведение гармоничным.
Список литературы
1. М. Гарднер - Математические головоломки и развлечения. - М.: «Мир», 1971
2. Э.К. Розенов. Статьи о музыке. - М.: Музыка, 1982.
3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М.: Аванта+б 2002.
P.S. Жалко картинки из Worda не вставишь =(