Часто, при обсуждении скорости и пропускной способности дорог ссылаются на подобный график зависимости пропускной способности автодорог от скорости:
Кривая сообщает, что максимальная пропускная способность достигается при скорости движения около 60 км/ч.
Хотелось бы математическими рассуждениями проверить, а так ли это?
Перво-наперво необходимо знать следующие величины:
а) длину автомобиля la;
б) дистанцию между автомобилями lд.
В сумме эти два понятия они составляют «габаритную длину» x.
Про безопасную дистанцию известно следующее:
При движении по сухому асфальту - Д (м) = 0.5 на скорость движения (км/ч); например при скорости движения 60 км/ч Д = 30 м.
Зависимость габаритной длины (м) от скорости будет такая:
x = la + V * 0.5 / 1000.
Значит, интервал между следующими друг за другом автомобилями равен (ч):
t = x / (1000 * V)
И пропускная способность:
N = 1 / t
В итоге, пропускная способность характеризуется следующей кривой:
Пропускная способность растет с увеличением скорости!
Как бы ни так!
Коварство крылось в определении габаритной длины автомобиля. Если с непосредственной длиной автомобиля вопросов нет, то дистанция рассчитана излишне поверхностно.
Габаритную длину можно представить как совокупность трех составляющих: la - длину автомобиля, lр - расстояние, проходимое с той же скоростью за время реакции водителя, lт - дистанция торможения:
Расстояние, пройденное автомобилем за время реакции водителя будет равным (м):
lр = (1000 / 3600) * tр,
где tр - время реакции, обычно 0.5-1 секунда.
Дистанция торможения lт вычисляется исходя из энергии, накопленной автомобилем в начале движения и полностью погашаемой к моменту остановки:
где M - масса автомобиля,
Q - вес автомобиля при условии полностью заторможенных колес,
μ - коэффициент трения скольжения колес по дороге (для сухого полотна - 0,5-0,7, для обледеневшей - 0,1).
Т.к. M = Q / g, где g - ускорение свободного падения, происходят нехитрые преобразования:
Именно эти данные вставляются в исходную формулу пропускной способности автодороги, после чего имеем следующий график зависимости:
Как видите, в идеальных условиях максимум пропускной способности находится в районе 25 км/ч.
Примерно такую картину с учетом поправки на диффузию автомобилей мы и видим в пробках - поток самоуплотняется до максимального значения, после чего движется с максимально возможной скоростью.
Вы можете самостоятельно «поиграть» с графиком кривой в зависимости от длины автомобиля, качества сцепления с дорогой и прочих параметров, скачав
файл с расчетами.