Задачка с бусинами - часть 2
Как показал опрос, из выбранных вариантов преобладает правильный, т.е. "одновременно". Примерно каждый четвёртый решил/угадал или просто вспомнил "занимательную механику" Перельмана.
Кто-то просто сказал "не верю", кто-то потребовал доказательств, поэтому приведу парочку решений.
1. Первое решение получилось от нежелания связываться с синусами, косинусами и тригонометрией вообще. Зачастую они перегружают задачи, не такие примитивные, правда, как эта. Для начала примем во внимание, что движение бусин равноускоренное и начальная скорость нулевая. Выразим время скольжения бусины через пройденный путь и конечную скорость бусины:
T = 2S/V
Конечную скорость найдём из закона сохранения энергии. Зависеть она будет от высоты, с которой опустилась бусина на окружность, и от ускорения свободного падения.
V = (2gh)1/2
Остаётся найти путь S, выраженный через высоту. Но это проще простого, понадобится только теорема о Пифагоровых штанах, не более. Расписывать не буду.
S = (2Rh)1/2
Готово. Делим одно на другое и находим время, которое не зависит от высоты, а значит все бусины достигают окружности одновременно :)
T = 2(R/g)1/2
2. Второе решение с тригонометрией. Как оказалось, оно требует ещё меньше умственных усилий и времени. Запишу только цепочку действий без комментариев.
T = (2S/a)1/2
a = g cos(α)
S = 2R cos(α)
_____________
T = 2(R/g)1/2
Очевидно также, что при наличии трения первая пришла та, у которой угол с вертикалью меньше, так как с ростом угла увеличивается и время.
T = 2(R/g)1/2(cos(α)/(cos(α) - k sin(α)))1/2
Вот, собственно, и всё.