Начала физики. 7. Сохранение энергии и идеология потенциала.
В нашей жизни отдельные слова - лишь элементы языка общения между людьми. Но их совокупности могут создавать смыслы и образы в сознании общающихся. Математика - тоже язык. Непривычный для большинства из нас. И потому слабо пригодный для создания смыслов и образов.
Но есть еще один понятный многим язык - язык изображений. Графиков, рисунков, фотоснимков и даже художественных полотен. И потому физики нередко используют этот язык для понимания явлений и процессов. Создавая у себя в мозгах достаточно адекватные и потому легко запоминающиеся образы. Одним из эффективных примеров такого подхода является идеология потенциала. О чем и пойдет речь на этом уроке.
Закон сохранения энергии, как факт постоянства суммы кинетической и потенциальной энергий частицы, на которую не действуют диссипативные силы (силы трения), хорошо известен всем со школьных времен. Поэтому доказывать его я не буду. Опровергать - тем более. Но использую сей факт для обоснования идеи потенциала и его связи с консервативными силами. Консервативными называют силы, зависящие только от координат F = F (r) (работа таких сил не зависит от траектории, по которой частица движется из одной точки пространства в другую).
Из определения кинетической энергии T = mv²/2 и второго закона Ньютона (mdv/dt = F) следует:
dT/dt = d(mv²/2)/dt = mvdv/dt = vF, (1)
где (vF) - скалярное произведение векторов скорости частицы и действующей на нее силы. Дифференцируя теперь по времени потенциальную энергию U(r), напрямую от времени не зависящую, но зависящую опосредованно через зависимость r = r(t), получаем:
dU/dt = dU/dr*dr/dt = (vdU/dr) = (v∇U), (2)
где для обозначения производной по координатам (как вектора) скалярной потенциальной энергии используем обозначение ∇ (набла; векторную производную скаляра по координатам называют также градиентом скаляра). Дифференцируя теперь по времени сохраняющуюся энергию частицы E = T + U = const, видим:
dT/dt = - dU/dt = vF = - v∇U, (3)
откуда следует, что:
F = - ∇U. (4)
То есть, вектор действующей на частицу силы можно представить как минус градиент скаляра (потенциальной энергии частицы). В задачах с одномерным движением частицы такая замена не дает никаких преимуществ. Но в случаях двумерного или трехмерного движения операции со скаляром U вместо операций с вектором F нередко ведут к заметному упрощению математических выкладок и вдобавок к весьма наглядному представлению задач.
На практике часто используют понятие потенциала, как потенциальной энергии, приходящейся на единицу массы (U/m). Это удобно, поскольку не приходится лишний раз писать букву, обозначающую массу частицы. Поэтому потенциал часто обозначают той же буквой U, что и потенциальную энергию. Мы тоже будем так поступать.
Расмотрим теперь ряд примеров потенциала:
1. Одномерное движение массы на пружинке жесткости k вдоль оси х при условии, что х = 0 соответствует недеформированной пружинке (F = - kx, U = kx²/ 2m). Пропорциональность смещения силе характерна для малых смещений и называется законом Гука. Потенциал и потенциальная энергия в этом случае представляют собой квадратичную (параболическую) яму:
Движение частицы в которой при заланной энергии Е осуществляется от одной точки поворота ао (в которой кинетическая энергия обращается в нуль) до другой и затем обратно.
2. Колебания математического маятника (см. рисунок, F = - mgsinφ, U = - glcosφ). Потенциал в этом случае представляет собой не совсем параболическую яму. Но весьма близкую к параболической при малых φ << 1 (угол φ измеряется в радианах) - вспомните график перевернутого косинуса и обратите внимание на уменьшение градиента потенциала и, следовательно, возвращающей силы при росте угла φ от φ << 1 до φ ~ 1).
3. Движение в гравитационном поле (F = - GmM(r/r)/r², U = - GM/r). Потенциал в этом случае имеет бесконечно глубокую яму в центре поля при r = 0. И не имеет ям при r ≠ 0. Поэтому, казалось бы, движение в таком поле должно представлять собой только падение частицы на центр поля. Но мы знаем, что именно в таком поле планеты вращаются вокруг Солнца. То есть, их движение в радиальном направлении никогда не достигает центра поля - Солнца. Что мы в этом случае не учитываем в потенциале - увидим на одном из следующих уроков.
Но есть еще один понятный многим язык - язык изображений. Графиков, рисунков, фотоснимков и даже художественных полотен. И потому физики нередко используют этот язык для понимания явлений и процессов. Создавая у себя в мозгах достаточно адекватные и потому легко запоминающиеся образы. Одним из эффективных примеров такого подхода является идеология потенциала. О чем и пойдет речь на этом уроке.
Закон сохранения энергии, как факт постоянства суммы кинетической и потенциальной энергий частицы, на которую не действуют диссипативные силы (силы трения), хорошо известен всем со школьных времен. Поэтому доказывать его я не буду. Опровергать - тем более. Но использую сей факт для обоснования идеи потенциала и его связи с консервативными силами. Консервативными называют силы, зависящие только от координат F = F (r) (работа таких сил не зависит от траектории, по которой частица движется из одной точки пространства в другую).
Из определения кинетической энергии T = mv²/2 и второго закона Ньютона (mdv/dt = F) следует:
dT/dt = d(mv²/2)/dt = mvdv/dt = vF, (1)
где (vF) - скалярное произведение векторов скорости частицы и действующей на нее силы. Дифференцируя теперь по времени потенциальную энергию U(r), напрямую от времени не зависящую, но зависящую опосредованно через зависимость r = r(t), получаем:
dU/dt = dU/dr*dr/dt = (vdU/dr) = (v∇U), (2)
где для обозначения производной по координатам (как вектора) скалярной потенциальной энергии используем обозначение ∇ (набла; векторную производную скаляра по координатам называют также градиентом скаляра). Дифференцируя теперь по времени сохраняющуюся энергию частицы E = T + U = const, видим:
dT/dt = - dU/dt = vF = - v∇U, (3)
откуда следует, что:
F = - ∇U. (4)
То есть, вектор действующей на частицу силы можно представить как минус градиент скаляра (потенциальной энергии частицы). В задачах с одномерным движением частицы такая замена не дает никаких преимуществ. Но в случаях двумерного или трехмерного движения операции со скаляром U вместо операций с вектором F нередко ведут к заметному упрощению математических выкладок и вдобавок к весьма наглядному представлению задач.
На практике часто используют понятие потенциала, как потенциальной энергии, приходящейся на единицу массы (U/m). Это удобно, поскольку не приходится лишний раз писать букву, обозначающую массу частицы. Поэтому потенциал часто обозначают той же буквой U, что и потенциальную энергию. Мы тоже будем так поступать.
Расмотрим теперь ряд примеров потенциала:
1. Одномерное движение массы на пружинке жесткости k вдоль оси х при условии, что х = 0 соответствует недеформированной пружинке (F = - kx, U = kx²/ 2m). Пропорциональность смещения силе характерна для малых смещений и называется законом Гука. Потенциал и потенциальная энергия в этом случае представляют собой квадратичную (параболическую) яму:
Движение частицы в которой при заланной энергии Е осуществляется от одной точки поворота ао (в которой кинетическая энергия обращается в нуль) до другой и затем обратно.
2. Колебания математического маятника (см. рисунок, F = - mgsinφ, U = - glcosφ). Потенциал в этом случае представляет собой не совсем параболическую яму. Но весьма близкую к параболической при малых φ << 1 (угол φ измеряется в радианах) - вспомните график перевернутого косинуса и обратите внимание на уменьшение градиента потенциала и, следовательно, возвращающей силы при росте угла φ от φ << 1 до φ ~ 1).
3. Движение в гравитационном поле (F = - GmM(r/r)/r², U = - GM/r). Потенциал в этом случае имеет бесконечно глубокую яму в центре поля при r = 0. И не имеет ям при r ≠ 0. Поэтому, казалось бы, движение в таком поле должно представлять собой только падение частицы на центр поля. Но мы знаем, что именно в таком поле планеты вращаются вокруг Солнца. То есть, их движение в радиальном направлении никогда не достигает центра поля - Солнца. Что мы в этом случае не учитываем в потенциале - увидим на одном из следующих уроков.