Художественно о математике 1 Учебник
Мой отец был писателем. У него есть один отрывок, который, на мой взгляд, заслуживает общего внимания из-за необычного содержания. В этом отрывке описывается специфический опыт взаимодействия с математикой. Сколько я знаю, в художественной литературе никогда подобного описания не было. Я думаю это интересно и для тех, кто имел сходный опыт (всегда приятно посмотреть на себя в зеркале литературы), и для тех, кто не имел (интересно же узнать что-то новое о мире).
Отрывок я разобью на три части, для удобства. Для контекста: в повести, из которой я взял отрывок, рассказывается о ребенке из интеллигентной семьи, который считал себя очень одаренным, а ничего интересного сделать не смог и на этой почве тронулся кукухой. В частности, он поступил на ленинградский МатМех, но учиться там оказалось очень тяжело и герой стал всё больше и больше «забивать» на учёбу. И вот:
На военной кафедре, на перерыве он сидел в аудитории почти один. Он только что покурил и теперь ждал. На переднем столе лежала открытая книга, которую читал Крайслер - на предыдущем перерыве он видел ее у него. Крайслера пока не было. Делать было нечего, и он подошел к переднему столу и стал рассматривать книгу - стоя, сидя было бы уж совсем неудобно. Книга, конечно, была по математике - это еще и раньше было видно по обложке, к тому же, он почему-то и не ожидал от Крайслера, что тот будет читать что-то еще. Ну и формулищи! Так, страница 227. Посмотрим, сколько всего страниц - 459. Вверху страницы номер главы - двадцатая. Посмотрел на корешок книги - второй том. Бывают же люди… Первый раз он почувствовал невольное уважение к Крайслеру - когда воочию увидел, чем он занят. Сколько надо пройти, чтобы читать такие книги. До этого он чувствовал, скорее, смутную зависть, в которой, разумеется, он не хотел себе признаваться. Но перед лицом двести двадцать седьмой страницы с могучими формулами-дредноутами зависть исчезла, появилось уважение. И что же тут написано, в этой книге? Он вгляделся в страницу повнимательнее: незнакомых слов было предостаточно, но в общем текст показался ему не вовсе непонятным. Как-никак он сдавал на четверки сессии, и какое-то общее представление о математике у него было. Впрочем, он быстро убедился, что читать второй том с середины и рассчитывать получить даже поверхностное представление - легкомысленно. По крайней мере, его квалификации явно недостаточно. Ну хорошо, хотя бы в самых-самых общих чертах? Что-то такое:
«Для начала увидим, что можно получить совсем простыми рассуждениями».
Далее страницы две формул, формул, формул. Одна формула влекла другую. Скупые словесные комментарии: «очевидно, что…», «заметив, что .... получаем:», «отсюда:», «тем самым мы находим», «наконец», «что и требовалось доказать». Он подробнее остановился на одном «очевидно, что», попытался понять, почему оно очевидно. Формулы вроде состоят из понятных элементов. Силился, силился, бросил. А это еще «очевидно»! И, кстати, относится к «совсем простым рассуждениям».
Ну и так далее:
«Теперь мы убедились, что для решения поставленной в начале главы задачи нужны новые идеи. Как вскоре увидит читатель, они далеки от тривиальности».
Полстраницы неких пояснений. Снова в бой.
«Для начала докажем ряд предварительных утверждений».
Первое утверждение. Полторы страницы.
Второе утверждение. Столько же.
Третье утверждение. Страница.
«Теперь мы можем приступить к доказательству следующей основной леммы. Существует много различных ее доказательств, но приведенное ниже остается самым изящным. Оно принадлежит (незнакомая фамилия)».
«Доказательство проведем в три этапа».
Первый этап. Две страницы.
Второй этап. Три страницы.
Третий этап. Три страницы.
Формулы, формулы, формулы. Изредка мелькнет «следовательно», «очевидно», «вспомним», «заметим». Самое простое изящное доказательство.
Еще несколько «подготовительных» лемм, примерно по полторы страницы каждая. Наконец, «Основная теорема».
«Здесь есть три возможных случая».
«Наиболее прост первый случай.» Полторы страницы.
«Рассмотрим второй случай. Здесь предыдущие рассуждения неприменимы, так как… и т.д. и т.д. и т.д. Нам придется воспользоваться тем, что… (см. следствие 3 теоремы 5 из главы XVI)» Две с половиной страницы.
«Третий случай наиболее сложен. Для доказательства теоремы и в этом случае нам понадобится основная лемма этой главы, где мы уже преодолели наиболее существенные трудности».
Две страницы.
«Таким образом, обещание, данное в начале этой главы, выполнено. Хотелось бы однако (все им мало) узнать что-нибудь о поведении (какой-то фигни, до этого она мелькала). Очевидно, что предыдущие рассуждения никак не проливают свет на этот вопрос, на который, к моменту написания нашей книги (1976) не было дано сколько-нибудь полного ответа. Однако мы приведем следующий основной результат. Здесь нам понадобятся совершенно иные соображения, которые мы до сих пор приводили лишь вкратце (см. Примечания к главе X)».
Ну ладно, давай, не задерживай.
«Доказательство разобьем на ряд лемм».
Лемма 6. Пальцам уже надоело переворачивать страницы.
Лемма 7. Переворачиванье.
Лемма 8. «Эта лемма - «гвоздь» нашего доказательства. Она представляет и самостоятельный интерес».
Лемма 9.
Следствие 1.
Следствие 2.
Следствие 3
Следствие 4. Совсем немного понаписано, и - «отсюда и следует утверждение теоремы».
Кто хочет знать историю вопроса подробнее - отсылаем к исторической справке в конце главы.
Историческая справка… В 1936 году такой-то доказал. В 1944 такой-то (уже другой) высказал гипотезу… Сильный результат этого рода был получен (еще одним), когда он доказал, что (какая-то хреновина) не может превышать 15/26. Стали выяснять, насколько эту хреновину можно снизить. Дальнейшее серьезное продвижение было достигнуто лишь в 1963, когда Шульман (что-то знакомое?) доказал, что она не может быть снижена до 1/3. В 1969 году он же показал, что любая теорема типа (чего-то там) заведомо неверна, из чего, в частности, следовало отрицательное решение гипотезы (такого-то, 1944 года). Шульман заметил связь между поведением (этой фигни, о которой речь) и «весьма тонкими» свойствами какой-то другой фигни. Результаты Шульмана получены на совсем другом пути… Их рассмотрение выходит за рамки нашей книги… Отсылаем к монографии Шульмана (1972)…
Глава двадцать первая.
«Теперь попробуем взглянуть на проблему, так сказать, с другого конца. Очевидно, что нам потребуется ввести в рассмотрение…»
Х-х-у-х, пожалуй довольно.
- Ну как, интересно?
Это спросил Крайслер. Он зачитался, задумался и даже не заметил, как тот подошел.
- М-да, впечатляет…
Странно как-то Крайслер спросил «ну как, интересно?». Как будто желал его одобрения. Как будто ему было неловко, что он занимается такой ерундой. Что-то такое ему почудилось… Странно…
- У Шульмана очень интересный семинар, кстати. Мы с мужиками к нему ездим. Задачи интересные.
И опять как будто оправдывался. Ну, дела. Такой небожитель, и так запросто. «Мы с мужиками…»
Шульман. Точно. То-то ему показалось знакомым. На факультете до него доносилось: Шульман, Шульман. У Шульмана, к Шульману. С этаким важным видом. Или со снисходительным. С некой лакейской снисходительностью. То, что такой великий человек и совсем рядом с ним, его таки взбудоражило.
<...>
Разговор этот так просто не кончился. Он и раньше чувствовал какие-то смутные призывы, позывы. После каждой сессии, уже сдав ее, перечитывал уже сданный материал - и не только из практических соображений - с лучше усвоенным предыдущим материалом, следующую сессию сдавать будет легче. Если бы дело было только в этом, он бы не притронулся к уже сданному, спихнутому. Экзамены пробуждали в нем какой-то математический аппетит. Насыщался он довольно быстро, но за это время успевал узнать то, что учил, гораздо покрепче, чем до экзамена. Иногда он думал, что, доведись сейчас сдавать, он имел бы шанс получить и пятерку. В сущности, математика давалась ему не слишком тяжело. Как-то он понимал ее. Непонятно - так подумай хорошенько и поймешь. Ну, нашла коса на камень - спросил. Дальше опять можно долго самому. Отец, правда, недоумевал: что теперь пошли за студенты, если такому лоботрясу ставят четверки. Раньше бы такие еле-еле влачили существование, постоянно что-то пересдавая. Что ж, времена меняются. А какую-то математическую суть он все равно понимал. И какая-то охота до математики в нем жила.
<...>
И книга Крайслера, разговор с ним, сработали как детонатор. Так или иначе, он ударился в математику. Отдался ей со страстью.
Особенно первые дни после разговора с Крайслером. Восторг и какая-то легкость, невесомость. Пульс жизни, наконец, опять забился по-настоящему, так, как и должен был биться. Он любил захаживать на четвертый этаж, где располагались кафедры, и читать там темы курсовых работ, вывешенные на листочках. Смутно, только в общих чертах понятные названия. Он читал и опьянялся ими. Жаль, что он этого пока не знает, ему не терпелось в бой. Он там себя покажет, мать-перемать! Лучше гор могут быть только горы… Он взберется на одну вершину, потом еще на одну, еще выше, потом еще, и конца этому не будет, эти вершины уходят в бесконечность. Со стороны это был просто студентик, от нечего делать забредший сюда, от нечего делать читающий темы курсовых, но мысленно он уже стоял на вершине, и от высоты у него перехватывало дыханье. Экстаз на высоте. Неземная красота формул, вписанных ручкой в машинописный текст, сами термины - прекрасные, божественные. На других кафедрах - другие термины, другие формулы, но божественность - та же самая. Пожалуй, он бывал здесь слишком часто. Он уже побаивался, что преподаватели, время от времени появляющиеся в коридорах, его уже запомнили. Какой-то странный тип постоянно здесь толчется и читает названия курсовых. Поэтому он старался все-таки не слишком часто здесь появляться. Насколько это было для него возможно… Он шел домой, весь пребывая в экстатических грезах. Он чувствовал, что - вот он, вот этот момент, когда начинается для него настоящая жизнь, вот он конец детства и начало его великого пути - конечно, великого! - великого, прямого, окончательного. Кончилось то, старое, и теперь - в путь. Собственно, рано или поздно это и должно было случиться, ведь он всегда, в сущности, это знал. И наконец, час настал.