Парадокс Бертрана
Решил я посмотреть на Полит.ру лекцию проф.Сосинского о теореме Гёделя. Обнаружил, что профессор - никудышный лектор, он мог бы всё сделать гораздо интереснее. Но это не относится к делу. Там звучало много разных слов, в том числе про парадокс Бертрана.
Изучение статьи на Википедии меня несколько озадачило. Надеюсь, уважаемый nikolenko развеет мои сомнения. ( Read more... )
В варианте 1 предлагается наугад выбрать две различные точки на окружности. Для простоты, сначала поставим одну из точек в угол треугольника. Очевидно, что вероятность того, что вторая точка попадает в дугу длиной А будет одинаковой, вне зависимости от местонахождения дуги (именно это имеется в виду, когда говорят, что на отрезке выбирается случайная точка, а дуга это тот же отрезок). Значит, вероятность того, что хорда длиннее стороны равна отношению длины дуги, в которую для этого должна попасть точка к длине окружности. А это действительно 1/3.
Троллинг не удался :(
Reply
Миша, это очевидно.
//Значит, вероятность того, что хорда длиннее стороны равна отношению длины дуги, в которую для этого должна попасть точка к длине окружности.//
А в этом месте, как мне представляется, и происходит подтасовка.
Reply
Reply
Я полагаю, что некорректно определять искомую вероятность как отношение длин дуг. Ещё раз: используя подтасовку из Варианта 3 в методе с дугами, вероятность того, что хорда короче стороны, определяется как отношение площади суммы двух сегментов, отделяемых сторонами треугольника, к площади круга. Эта подтасовка более явная, понятно, почему её никто не использовал.
Reply
Если случайную хорду выбирать путем бросания двух точек на окружность, то задача легко сводится к следующему: какова вероятность, что кратчайшая дуга между этими точками больше трети окружности. Ответ: 1/3.
Некорректно так определять случайную хорду? В конечном итоге, возможно, но именно оттуда и возник парадокс.
Но дальше все чисто - если длина дуги меньше трети окружности, то хорда меньше стороны. Если больше - то больше. Вы с этим собираетесь спорить?
Или с тем, что вероятность того, что длина дуги больше трети окружности равна 1/3?
Reply
Я пытаюсь указать на следующее: мне представляется некорректным преобразование выражении "вероятность того, что длина хорды больше длины стороны вписанного треугольника" ->"вероятность, что кратчайшая дуга между этими точками больше трети окружности".
Мне кажется, что парадокс возник из-за ложного допущения. Это требует формальной проверки, которую лично я провести не смогу (ну или мне потребуется много времени).
Есть следующее предположение: топологически две дуги, на которых хорды короче стороны треугольника, идентичны. Я допускаю, что существует преобразование, которое делает эти две дуги одной, таким образом одна дуг просто выкидывается из рассмотрения, и искомая вероятность, что и ожидалось, становится равной 1/2.
Это требует подтверждения формальными выводами, которые, как я уже говорил, я проделать не могу. Только они могут подтвердить или опровергнуть эти соображения.
PS И почему всё время из рассмотрения выпадает Вариант 3?
Reply
вариант 1 совершенно понятный, непонятно только, что вам непонятно. скажите это так: хорда АБ, испущенная из вершины треугольника А, попадает внутрь треугольника (и, стало быть, длинее его сторон), если и только если она приходит в дугу между противоположными его углами (точка Б). если вероятность считать, как вероятность выбора точки Б, то это 1/3, потому что между его углами - 1/3 всех возможностей.
вариант 2 вами признается. результат 1/2.
таким образом, парадокс уже не надуман.
Reply
Из этой же серии «Задача о двух конвертах» - там формулировка такова, что опосредованно предполагает равномерное распределение случайной величины на всем множестве действительных чисел, что математически невозможно (хотя на словах звучит нормально).
Парадокс Рассела о том же - он начинается с построения множества всех множеств, удовлетворяющих некоему условию. На словах естественного языка в этом нет ничего плохого, но попытка перевести это на язык математики приводит к проблемам.
Короче - человеческий язык плохо подходит для описания математических понятий, факт.
Reply
потом математики, видимо, плюнули, и ушли общаться друг с другом. для нормальных людей (тм) это по-прежнему парадокс.
все как с динозаврами и другими жизненными ситуациями. вы, как будущий гражданин соединенных американских штатов, что-нибудь знаете про запрещенные в вашей стране числа? если нет, осторожно, это может быть опасно для вашего мозга математика, но не можете же вы игнорировать реальность:
http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Запрещённое_число
Reply
Reply
Leave a comment