Из истории математики
В древней Индии знали о потрясающе точной и простой формуле, дающей примерное значение косинуса: (π^2-4x^2)/(π^2+x^2), x в радианах.
Если нарисовать на графике косинус и эту функцию, на промежутке [-π/2,π/2], то невооруженным глазом не увидеть разницы, такая она хорошая.
Ошибка появляется в третьем знаке после запятой, да и там меньше 0.002
В 7-м веке нашей эры жил в Индии математик по имени Бхаскара.
Сейчас его называют Бхаскара-I, чтобы не путать с Бхаскара-II, который жил на 500 лет позже и был знаменитым средневековым индийским математиком.
Бхаскара-I оставил после себя сборник комментариев к Арьябхате, его предшественнику и основателю традиции индийской математик и астрономии. Арьябхата жил на 150 лет раньше
Вы будете смеяться, но его тоже долго путали с другим Арьябхатой, который жил на 400 лет позже, и которого сейчас называют Арьябхата-II
После книги комментариев к Арьябхате, Бхаскара-I написал сочинение, которое называют "Махабхаскария" (маха - большой), и в нем впервые появляется эта формула для вычисления синуса, Арьябхата о ней не знал
В его книге описано приближенное вычисление синуса в промежутках по 225 минут, так называемые синусо-вычеты (три градуса 45 минут; в 180 градусов укладываются 48 таких промежутков)
Для угла в 3°45' дается дробь, близкая к его синусу, а потом для каждого следующего - формула, позволяющая вычесть из предыдущих
Это красивое изобретение, но намного менее точное, чем формула Бхаскары
Вероятно, это значит, что Бхаскара ее придумал, хотя возможно и то, что он суммирует достижения других математиков, труды и имена которых не дошли до нас
Все эти древнеиндийские сочинения написано крайне сжатым языком, в виде стихов (!) на санскрите, которые дают только самое важную информацию, в максимально сокращенном виде
Там нет рассуждений о том, кто это на самом деле придумал и как
Синусы и косинусы нужны были Арьябхате, Бхаскаре и другим индийским математикам, чтобы вычислять движение планет по небосводу, и особенно период обращения вокруг Земли
Модель эпициклов - движения планет и Солнца по кругам, центры которых в свою очередь движутся по кругам - дошла до Арьябхаты скорее всего от древнегреческого астронома Птолемея (2-й век нашей эры)
Бхаскара пользовался градусами, а не радианами, и формула была для вычисления синуса, а не косинуса
Если x - это угол в градусах, то синус в этом приближении равен
4x(180-x) / (40500 - x(180-x))
Древнеиндийские математические сочинения были записаны в виде стихов на санскрите, обычно куплетами из двух строчек, по 16 слогов в каждой; каждый такой куплет называется "шлока"
Все, что есть в трактате Бхаскары про вычисление синуса, умещается всего в три шлоки, и вот они:
मख्यादिरहितं कर्मं वक्ष्यते तत्समासतः।
चक्रार्धांशकसमूहाद्विधोध्या ये भुजांशकाः॥१७॥
तच्छेषगुणिता द्विष्टाः शोध्याः खाभ्रेषुखाब्धितः।
चतुर्थांशेन शेषस्य द्विष्ठमन्त्य फलं हतम् ॥१८॥
बाहुकोट्योः फलं कृत्स्नं क्रमोत्क्रमगुणस्य वा।
लभ्यते चन्द्रतीक्ष्णांश्वोस्ताराणां वापि तत्त्वतः ॥१९॥
В каждой шлоке первая строка заканчивается символом ।, обозначающим паузу, а вторая двумя символами ॥, между которыми стоит номер шлоки (17,18,19 в данном случае; узнаете что-то похожее на обратную девятку в числе 19: १९?)
Это выглядит примерно так (не дословно, но близко к тексту):
"Берем угол в градусах, вычитаем из полукруга (т.е. 180 градусов), и умножаем на самое себя
То, что получилось, пишем дважды
Первую копию вычитаем из 40500, потом берем одну четвертую того, что получилось, и делим на это вторую копию"
В формуле косинуса с радианами, нет больших чисел, но в формуле оригинала есть число 40500
Как именно они описывают его в этих стихах, так и говорят скажем на санскрите "сорок тысяч пятьсот?" В книге (Kim Plofker, Mathematics in Ancient India), сказано, что в оригинале это число указано как "небо-облако-стрела-небо-океан", но не объясняется почему
Среди нескольких разных способов записывать числа, которыми пользовались в древнеиндийской математике, была система, в которой для каждой цифры можно было выбрать одно из примерно десятка слов, связанных с ней символически; например стрела это 5, потому что бог любви Кама-дева носит с собой колчан с пятью стрелами. Далее, цифры записывались в обратном порядке
Поэтому
небо-облако-стрела-небо-океан
0-0-5-0-4
Почему и небо и облако ноль тут?
Наверное, чтобы не говорить "небо" два раза подряд
Это стихи!
Это седьмой век, всего пару сотен лет назад развалилась Римская империя
За полмира от ее развалин, в Индии, ученый по имени Бхаскара записывает - словами, в стихах - число 40,500, используя *позиционную* запись, разряд за разрядом, и цифру 0 (хоть называет ее словом)
То есть те самые вещи, которых не хватало древним грекам и древним римлянам в их математике и астрономии
Еще через сотни лет эти открытия дойдут до исламского мира, а через него - до Европы, и в 12-м веке, как раз когда в Индии уже другой Бхаскара, второй, будет делать свои открытия, Фибоначчи в Европе познакомит ученых своего времени с "арабскими" цифрами
А еще через 500 лет после этого работы Ньютона приведут в конечном итоге к пониманию тригонометрии и математики вообще, позволяющем гораздо точнее вычислять синусы и находить приближенные формулы, превосходящие по точности гениальное озарение Бхаскары-первого
Oleg А Chagin
Если нарисовать на графике косинус и эту функцию, на промежутке [-π/2,π/2], то невооруженным глазом не увидеть разницы, такая она хорошая.
Ошибка появляется в третьем знаке после запятой, да и там меньше 0.002
В 7-м веке нашей эры жил в Индии математик по имени Бхаскара.
Сейчас его называют Бхаскара-I, чтобы не путать с Бхаскара-II, который жил на 500 лет позже и был знаменитым средневековым индийским математиком.
Бхаскара-I оставил после себя сборник комментариев к Арьябхате, его предшественнику и основателю традиции индийской математик и астрономии. Арьябхата жил на 150 лет раньше
Вы будете смеяться, но его тоже долго путали с другим Арьябхатой, который жил на 400 лет позже, и которого сейчас называют Арьябхата-II
После книги комментариев к Арьябхате, Бхаскара-I написал сочинение, которое называют "Махабхаскария" (маха - большой), и в нем впервые появляется эта формула для вычисления синуса, Арьябхата о ней не знал
В его книге описано приближенное вычисление синуса в промежутках по 225 минут, так называемые синусо-вычеты (три градуса 45 минут; в 180 градусов укладываются 48 таких промежутков)
Для угла в 3°45' дается дробь, близкая к его синусу, а потом для каждого следующего - формула, позволяющая вычесть из предыдущих
Это красивое изобретение, но намного менее точное, чем формула Бхаскары
Вероятно, это значит, что Бхаскара ее придумал, хотя возможно и то, что он суммирует достижения других математиков, труды и имена которых не дошли до нас
Все эти древнеиндийские сочинения написано крайне сжатым языком, в виде стихов (!) на санскрите, которые дают только самое важную информацию, в максимально сокращенном виде
Там нет рассуждений о том, кто это на самом деле придумал и как
Синусы и косинусы нужны были Арьябхате, Бхаскаре и другим индийским математикам, чтобы вычислять движение планет по небосводу, и особенно период обращения вокруг Земли
Модель эпициклов - движения планет и Солнца по кругам, центры которых в свою очередь движутся по кругам - дошла до Арьябхаты скорее всего от древнегреческого астронома Птолемея (2-й век нашей эры)
Бхаскара пользовался градусами, а не радианами, и формула была для вычисления синуса, а не косинуса
Если x - это угол в градусах, то синус в этом приближении равен
4x(180-x) / (40500 - x(180-x))
Древнеиндийские математические сочинения были записаны в виде стихов на санскрите, обычно куплетами из двух строчек, по 16 слогов в каждой; каждый такой куплет называется "шлока"
Все, что есть в трактате Бхаскары про вычисление синуса, умещается всего в три шлоки, и вот они:
मख्यादिरहितं कर्मं वक्ष्यते तत्समासतः।
चक्रार्धांशकसमूहाद्विधोध्या ये भुजांशकाः॥१७॥
तच्छेषगुणिता द्विष्टाः शोध्याः खाभ्रेषुखाब्धितः।
चतुर्थांशेन शेषस्य द्विष्ठमन्त्य फलं हतम् ॥१८॥
बाहुकोट्योः फलं कृत्स्नं क्रमोत्क्रमगुणस्य वा।
लभ्यते चन्द्रतीक्ष्णांश्वोस्ताराणां वापि तत्त्वतः ॥१९॥
В каждой шлоке первая строка заканчивается символом ।, обозначающим паузу, а вторая двумя символами ॥, между которыми стоит номер шлоки (17,18,19 в данном случае; узнаете что-то похожее на обратную девятку в числе 19: १९?)
Это выглядит примерно так (не дословно, но близко к тексту):
"Берем угол в градусах, вычитаем из полукруга (т.е. 180 градусов), и умножаем на самое себя
То, что получилось, пишем дважды
Первую копию вычитаем из 40500, потом берем одну четвертую того, что получилось, и делим на это вторую копию"
В формуле косинуса с радианами, нет больших чисел, но в формуле оригинала есть число 40500
Как именно они описывают его в этих стихах, так и говорят скажем на санскрите "сорок тысяч пятьсот?" В книге (Kim Plofker, Mathematics in Ancient India), сказано, что в оригинале это число указано как "небо-облако-стрела-небо-океан", но не объясняется почему
Среди нескольких разных способов записывать числа, которыми пользовались в древнеиндийской математике, была система, в которой для каждой цифры можно было выбрать одно из примерно десятка слов, связанных с ней символически; например стрела это 5, потому что бог любви Кама-дева носит с собой колчан с пятью стрелами. Далее, цифры записывались в обратном порядке
Поэтому
небо-облако-стрела-небо-океан
0-0-5-0-4
Почему и небо и облако ноль тут?
Наверное, чтобы не говорить "небо" два раза подряд
Это стихи!
Это седьмой век, всего пару сотен лет назад развалилась Римская империя
За полмира от ее развалин, в Индии, ученый по имени Бхаскара записывает - словами, в стихах - число 40,500, используя *позиционную* запись, разряд за разрядом, и цифру 0 (хоть называет ее словом)
То есть те самые вещи, которых не хватало древним грекам и древним римлянам в их математике и астрономии
Еще через сотни лет эти открытия дойдут до исламского мира, а через него - до Европы, и в 12-м веке, как раз когда в Индии уже другой Бхаскара, второй, будет делать свои открытия, Фибоначчи в Европе познакомит ученых своего времени с "арабскими" цифрами
А еще через 500 лет после этого работы Ньютона приведут в конечном итоге к пониманию тригонометрии и математики вообще, позволяющем гораздо точнее вычислять синусы и находить приближенные формулы, превосходящие по точности гениальное озарение Бхаскары-первого
Oleg А Chagin