центральные расширения метабелевых групп имеют кручение
Довольно-таки невероятно, но оказывается, что конечно порождённая группа G вида
1 --> C --> G --> M --> 1
где C лежит в центре G, а M метабелева (т.е. разрешимая ступени 2), обязательно имеет кручение, если ранг G по крайней мере 4. Другими словами, свободная группа многообразия, задаваемого словом
[[x1,x2],[x3,x4],x5] = 1,
имеет кручение. Это доказала Chander Kanta Gupta в 1973 году:
Gupta, Chander Kanta
The free centre-by-metabelian groups.
Collection of articles dedicated to the memory of Hanna Neumann, III.
J. Austral. Math. Soc. 16 (1973), 294-299.
Подробностей пока не знаю. Было бы интересно посмотреть на явных представителей элементов конечного порядка в фактор-группе свободной группы F(4).
Update 19.03.2009:
Гомологическое доказательство этого результата приведено в книге Кузьмина "Гомологическая теория групп", пар 8, гл.4. Конкретно, на с. 236 указано, что подгруппа кручения есть элементарная 2-группа ранга binomial(r,4), где r - число свободных образующих группы F(r). Также приводится явный вид образующего элемента группы кручения, полученного Гуптой для случая r=4:
П [[x1, xs(2)], [xs(3)-1,xs(4)-1]] [[xs(3), xs(4)], [x1-1,xs(2)-1]],
где x1, x2, x3, x4 - свободные образующие группы F(4), суммирование производится по всем перестановкам s, порожденным циклом (2,3,4), а коммутатор понимается в смысле [x,y] = x-1y-1xy.
1 --> C --> G --> M --> 1
где C лежит в центре G, а M метабелева (т.е. разрешимая ступени 2), обязательно имеет кручение, если ранг G по крайней мере 4. Другими словами, свободная группа многообразия, задаваемого словом
[[x1,x2],[x3,x4],x5] = 1,
имеет кручение. Это доказала Chander Kanta Gupta в 1973 году:
Gupta, Chander Kanta
The free centre-by-metabelian groups.
Collection of articles dedicated to the memory of Hanna Neumann, III.
J. Austral. Math. Soc. 16 (1973), 294-299.
Подробностей пока не знаю. Было бы интересно посмотреть на явных представителей элементов конечного порядка в фактор-группе свободной группы F(4).
Update 19.03.2009:
Гомологическое доказательство этого результата приведено в книге Кузьмина "Гомологическая теория групп", пар 8, гл.4. Конкретно, на с. 236 указано, что подгруппа кручения есть элементарная 2-группа ранга binomial(r,4), где r - число свободных образующих группы F(r). Также приводится явный вид образующего элемента группы кручения, полученного Гуптой для случая r=4:
П [[x1, xs(2)], [xs(3)-1,xs(4)-1]] [[xs(3), xs(4)], [x1-1,xs(2)-1]],
где x1, x2, x3, x4 - свободные образующие группы F(4), суммирование производится по всем перестановкам s, порожденным циклом (2,3,4), а коммутатор понимается в смысле [x,y] = x-1y-1xy.