Решение задачи про береговую линию недозамёрзшего пруда
В ближайшие дни я собираюсь выложить здесь решения всех задач 11-ой Международной дистанционной математической олимпиады школьников "Третье тысячелетие" (а также списки призёров по классам и по регионам). Но начну с вызвавшей наибольший интерес общей для всех задачи №1. Напомню её формулировку (см. http://matholimp.livejournal.com/2011/01/29 ):
"Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее n, при котором это возможно."
Как и следовало ожидать, подавляющее большинство участников дало неверный ответ n=7. Таким ответ оказался бы в случае, если бы условие содержало дополнительное требование о связности береговой линии. Но его нет!
Хочу подчеркнуть, что хотя жюри предупреждает участников и кураторов олимпиады о возможной двусмысленности в тексте задач (см. http://matholimp.livejournal.com/567343.html ), именно в этой задаче двусмысленности нет. В её формулировке прямо говорится о связности оставшейся незамёрзшей части пруда, тогда как о связности береговой линии не сказано. В подобной ситуации умолчание должно быть истолковано единственным образом: связность береговой линии НЕ требуется (не обязательна).
В качестве основного верного ответа мы принимали n=6 с рисунком треугольного пруда с треугольным островом. Однако наравне с ним принималось и побочное решение: ответ n=5 с рисунком пруда в форме невыпуклого четырёхугольника с треугольным островом, две стороны которого служили продолжениями сторон четырёхугольника, угол между которыми больше 180° (вот здесь есть двусмысленность в подсчёте числа сторон береговой линии).
"Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее n, при котором это возможно."
Как и следовало ожидать, подавляющее большинство участников дало неверный ответ n=7. Таким ответ оказался бы в случае, если бы условие содержало дополнительное требование о связности береговой линии. Но его нет!
Хочу подчеркнуть, что хотя жюри предупреждает участников и кураторов олимпиады о возможной двусмысленности в тексте задач (см. http://matholimp.livejournal.com/567343.html ), именно в этой задаче двусмысленности нет. В её формулировке прямо говорится о связности оставшейся незамёрзшей части пруда, тогда как о связности береговой линии не сказано. В подобной ситуации умолчание должно быть истолковано единственным образом: связность береговой линии НЕ требуется (не обязательна).
В качестве основного верного ответа мы принимали n=6 с рисунком треугольного пруда с треугольным островом. Однако наравне с ним принималось и побочное решение: ответ n=5 с рисунком пруда в форме невыпуклого четырёхугольника с треугольным островом, две стороны которого служили продолжениями сторон четырёхугольника, угол между которыми больше 180° (вот здесь есть двусмысленность в подсчёте числа сторон береговой линии).