О национальности в контексте двойственности Галуа
В связи с https://ingria-art.livejournal.com/700206.html , возникла необходимость уточнить, какое отношение двойственность Галуа имеет к задачам классификации. Об этом можно прочесть в моих (и не только) научных публикациях, но популярного изложения пока нет. Попытаюсь отчасти восполнить этот пробел.
Главное достижение Галуа - носящая его имя теория, финальным результатом которой является решение (чаще, доказательство неразрешимости в радикалах) алгебраических уравнений высших степеней. А как бы «между делом» Галуа построил теорию двойственности, играющую важнейшую роль в задачах классификации.
Работа Галуа была адресована математикам высшей квалификации, что и помешало её широкому распространению. Однако круг понятий, связанных с двойственностью Галуа, не только вполне доступен гуманитариям, но заслуживает включения в качестве обязательного пункта программ подготовки специалистов в естественных или гуманитарных науках. Дело в том, что любая «правильная» классификация должна базироваться на замкнутых (в смысле Галуа) множествах объектов и двойственных им множествах свойств этих объектов.
Например, каждому биологическому виду (равно как и любой другой единице классификации), с одной стороны, должно соответствовать замкнутое в смысле Галуа множество организмов, а с другой − двойственное ему множество их свойств (характеристических признаков; оно тоже замкнуто).
Разберём конкретную ситуацию. Допустим, у фермера есть лошади и коровы. Как их различить? Конечно, сам фермер умеет это делать чисто визуально. Но он не сможет ни с кем поделиться навыком с интуитивно-подсознательного уровня. Значит, задача состоит в том, чтобы сформулировать формальные правила, пользуясь которыми то же самое смог бы сделать человек, абсолютно несведущий в животноводстве. На первый взгляд, потребность в правилах выглядит надуманной. Но без правил невозможно запрограммировать искусственный интеллект робота-погонщика, одной из обязанностей которого станет разделение общего стада по «своим» стойлам.
Легко понять, что цвет здесь не имеет отношения к делу. Как лошади, так и коровы могут быть белыми, чёрными, рыжими, пятнистыми и пр. Значит, нужно искать иное свойство. Учёные биологи нашли подходящий критерий: количество пальцев (копыт). У лошадей только одно копыто, а у коров - два. Так как числа 1 и 2 имеют разную чётность, то лошадей отнесли к отряду непарнокопытных, а коров - к отряду парнокопытных.
Итак, нашёлся признак, успешно отделяющий лошадей от коров. Правда, если применить его к обезьянам (у которых 5 пальцев), то их пришлось бы зачислить в один отряд с лошадьми. Чтобы такого не случилось, вместо одного свойства нужно рассматривать некоторую их последовательность или совокупность.
Другой пример - работа натуралиста в экспедиции. Обнаружив новое для себя растение, он пытается найти его место в каталоге. С этой целью он сверяет признаки найденного растения с представленными в каталоге. Здесь возможны три принципиально различных случая.
Первый, когда найденное растение уже присутствует в каталоге. Учёный находит его и устраняет пробел лишь в собственных знаниях.
Во втором случае наступает момент, когда очередной проверяемый признак может принимать разные значения. При этом несколько из них зафиксированы в каталоге, но все они существенно отличаются от значения этого же признака у найденного растения. Прежде всего, учёный должен убедиться в неслучайности отличия (например, цвет мог резко измениться из-за наличия в почве аномального количества какого-либо металла и т.п.). За этим исключением, скорее всего, речь пойдёт об открытии нового вида.
Интереснее всего третий случай. Он отличается от первого лишь тем, что, найдя нужное место в каталоге, учёный не соглашается с рекомендованным выводом. Тогда учёный сам должен будет сформулировать недостающий в каталоге признак: чем именно найденное растение отличается от представленного в каталоге, с которым оно совпало по всей цепочке признаков.
Рассмотрим теперь множество животных (растений или иных объектов), для которых мы хотим построить «хорошую» классификацию. Выделив какое-либо их подмножество, мы можем составить список всех их общих свойств.
Затем мы можем найти новое множество, содержащее все объекты с выписанными свойствами. Так как все прежние объекты обладали нужными свойствами, то они обязательно войдут в новое множество. Однако, к нему могут добавиться и какие-то другие объекты. Если это случится, то считаем прежнее множество незамкнутым, а новое множество назовём его замыканием. А если ничего не добавилось (т.е. новое множество совпадает с прежним), то считаем прежнее множество замкнутым (так как его замыкание совпадает с ним самим).
Аналогичным образом можно поступить и с множествами свойств. «Чудо» состоит в том, что верна теорема Галуа: двойственное к любому множеству заведомо является замкнутым. Поэтому нет никакого смысла применять переход к двойственному множеству более двух раз подряд, а операцию замыкания - более одного раза.
Некоторые из свойств, характеризующих тот или иной биологический вид, выражаются числовыми значениями. Например, у «идеальной девушки» три параметра должны принять значения (90;60;90). Их можно считать координатами точки в трёхмерном пространстве. В отличие от идеальной, у другой девушки те же три параметра примут какие-то другие значения, определяющие другую точку в том же пространстве. Множеству всех девушек соответствует какое-то конечное множество точек в трёхмерном арифметическом (координатном) пространстве.
Аналогично, можно рассматривать многомерное пространство параметров, отвечающее какому угодно виду. Скорее всего, разным организмам в нём соответствуют разные точки. Множество всех таких точек конечно (дискретно). Но так как свойства точек в координатном пространстве обычно задаются системой неравенств, то его замыкание Галуа будет представлять собой телесную область, точкам которой могут соответствовать виртуальные организмы («приемлемые» наборы параметров, не нашедшие реализации).
Увы, математику невозможно излагать совсем без формул. Перейдём теперь от примеров к формальному изложению оригинальной конструкции Галуа в терминах теории множеств Кантора, появившейся значительно позднее.
Пусть U - некий универсум объектов (элементов), а V - (двойственный ему) универсум признаков (свойств) этих объектов. Отношение двойственности между U и V устанавливает булева функция В(u,v), принимающая значение «ИСТИНА», если элемент uϵU обладает свойством vϵV, и значение «ЛОЖЬ» в противном случае. Для любого элемента uϵU обозначим через Г(u) множество всех свойств этого элемента: Г(u) ={vϵV : В(u,v)=«ИСТИНА»}. Для любого множества XϵU определим двойственное ему множество Г(Х)=∩{Г(х) : хϵХ}. Оно состоит из всех общих свойств всех элементов из множества Х. Легко заметить, что с чисто формальной точки зрения ситуация абсолютно симметрична. Поэтому для любого свойства vϵV можно ввести множество Г(v) = {uϵU : В(u,v)=«ИСТИНА»} всех объектов, обладающих свойством v. А для любого множества YϵV можно ввести двойственное ему множество Г(Y)=∩{Г(y) : yϵY} всех объек- тов, обладающих всеми свойствами из Y. Повторять это замечание мы больше не будем, но считаем по умолчанию, что все сделанные ниже утверждения об элементах зеркально дублируются для свойств (и наоборот).
Рассмотрим теперь Г(Г(Х)). Так как Г(Х) - множество всех общих свойств всех элементов из Х, то любой элемент хϵХ обладает всеми свойствами из Г(Х). Поэтому XϵГ(Г(Х)). Легко понять, что равенства здесь может не быть. Нельзя исключать возможность, что всеми теми же самыми свойствами обладает ещё и какой-либо элемент, не принадлежащий Х.
Уже было сказано, что верна теорема Галуа: Г(Г(Г(Х)))=Г(Х). Этот факт побуждает ввести понятие замыкания Галуа С(Х) = Г(Г(Х)). Если С(Х)=Х, то Х называется замкнутым (по Галуа). Для замкнутых множеств соответствие Галуа Г превращается в «чистую» двойственность: если Y = Г(Х), то Х = Г(Y) (и наоборот). При этом все множества вида Г(Х) или Г(Y) заведомо замкнуты. Многочисленные реализации описанной конструкции присутствуют в математических дисциплинах. А корректное изложение естественных и гуманитарных наук требует, чтобы всем их понятиям соответствовали замкнутые множества как объектов, так и признаков.
В случае же с понятием национальности добиться этого не удастся. Как бы кто бы ни попытался сформулировать общие свойства всех людей одной и той же национальности, множества всех людей с этими свойствами окажутся уже другими. Это ясно из контекстного требования наследования детьми национальности родителей. Замкнутости Галуа можно добиться лишь для замкнутых в обыденном смысле сообществ. В прежние века такое было возможно лишь на весьма изолированных от остального мира островах. Но современная глобализация исключила даже эту лазейку.
Главное достижение Галуа - носящая его имя теория, финальным результатом которой является решение (чаще, доказательство неразрешимости в радикалах) алгебраических уравнений высших степеней. А как бы «между делом» Галуа построил теорию двойственности, играющую важнейшую роль в задачах классификации.
Работа Галуа была адресована математикам высшей квалификации, что и помешало её широкому распространению. Однако круг понятий, связанных с двойственностью Галуа, не только вполне доступен гуманитариям, но заслуживает включения в качестве обязательного пункта программ подготовки специалистов в естественных или гуманитарных науках. Дело в том, что любая «правильная» классификация должна базироваться на замкнутых (в смысле Галуа) множествах объектов и двойственных им множествах свойств этих объектов.
Например, каждому биологическому виду (равно как и любой другой единице классификации), с одной стороны, должно соответствовать замкнутое в смысле Галуа множество организмов, а с другой − двойственное ему множество их свойств (характеристических признаков; оно тоже замкнуто).
Разберём конкретную ситуацию. Допустим, у фермера есть лошади и коровы. Как их различить? Конечно, сам фермер умеет это делать чисто визуально. Но он не сможет ни с кем поделиться навыком с интуитивно-подсознательного уровня. Значит, задача состоит в том, чтобы сформулировать формальные правила, пользуясь которыми то же самое смог бы сделать человек, абсолютно несведущий в животноводстве. На первый взгляд, потребность в правилах выглядит надуманной. Но без правил невозможно запрограммировать искусственный интеллект робота-погонщика, одной из обязанностей которого станет разделение общего стада по «своим» стойлам.
Легко понять, что цвет здесь не имеет отношения к делу. Как лошади, так и коровы могут быть белыми, чёрными, рыжими, пятнистыми и пр. Значит, нужно искать иное свойство. Учёные биологи нашли подходящий критерий: количество пальцев (копыт). У лошадей только одно копыто, а у коров - два. Так как числа 1 и 2 имеют разную чётность, то лошадей отнесли к отряду непарнокопытных, а коров - к отряду парнокопытных.
Итак, нашёлся признак, успешно отделяющий лошадей от коров. Правда, если применить его к обезьянам (у которых 5 пальцев), то их пришлось бы зачислить в один отряд с лошадьми. Чтобы такого не случилось, вместо одного свойства нужно рассматривать некоторую их последовательность или совокупность.
Другой пример - работа натуралиста в экспедиции. Обнаружив новое для себя растение, он пытается найти его место в каталоге. С этой целью он сверяет признаки найденного растения с представленными в каталоге. Здесь возможны три принципиально различных случая.
Первый, когда найденное растение уже присутствует в каталоге. Учёный находит его и устраняет пробел лишь в собственных знаниях.
Во втором случае наступает момент, когда очередной проверяемый признак может принимать разные значения. При этом несколько из них зафиксированы в каталоге, но все они существенно отличаются от значения этого же признака у найденного растения. Прежде всего, учёный должен убедиться в неслучайности отличия (например, цвет мог резко измениться из-за наличия в почве аномального количества какого-либо металла и т.п.). За этим исключением, скорее всего, речь пойдёт об открытии нового вида.
Интереснее всего третий случай. Он отличается от первого лишь тем, что, найдя нужное место в каталоге, учёный не соглашается с рекомендованным выводом. Тогда учёный сам должен будет сформулировать недостающий в каталоге признак: чем именно найденное растение отличается от представленного в каталоге, с которым оно совпало по всей цепочке признаков.
Рассмотрим теперь множество животных (растений или иных объектов), для которых мы хотим построить «хорошую» классификацию. Выделив какое-либо их подмножество, мы можем составить список всех их общих свойств.
Затем мы можем найти новое множество, содержащее все объекты с выписанными свойствами. Так как все прежние объекты обладали нужными свойствами, то они обязательно войдут в новое множество. Однако, к нему могут добавиться и какие-то другие объекты. Если это случится, то считаем прежнее множество незамкнутым, а новое множество назовём его замыканием. А если ничего не добавилось (т.е. новое множество совпадает с прежним), то считаем прежнее множество замкнутым (так как его замыкание совпадает с ним самим).
Аналогичным образом можно поступить и с множествами свойств. «Чудо» состоит в том, что верна теорема Галуа: двойственное к любому множеству заведомо является замкнутым. Поэтому нет никакого смысла применять переход к двойственному множеству более двух раз подряд, а операцию замыкания - более одного раза.
Некоторые из свойств, характеризующих тот или иной биологический вид, выражаются числовыми значениями. Например, у «идеальной девушки» три параметра должны принять значения (90;60;90). Их можно считать координатами точки в трёхмерном пространстве. В отличие от идеальной, у другой девушки те же три параметра примут какие-то другие значения, определяющие другую точку в том же пространстве. Множеству всех девушек соответствует какое-то конечное множество точек в трёхмерном арифметическом (координатном) пространстве.
Аналогично, можно рассматривать многомерное пространство параметров, отвечающее какому угодно виду. Скорее всего, разным организмам в нём соответствуют разные точки. Множество всех таких точек конечно (дискретно). Но так как свойства точек в координатном пространстве обычно задаются системой неравенств, то его замыкание Галуа будет представлять собой телесную область, точкам которой могут соответствовать виртуальные организмы («приемлемые» наборы параметров, не нашедшие реализации).
Увы, математику невозможно излагать совсем без формул. Перейдём теперь от примеров к формальному изложению оригинальной конструкции Галуа в терминах теории множеств Кантора, появившейся значительно позднее.
Пусть U - некий универсум объектов (элементов), а V - (двойственный ему) универсум признаков (свойств) этих объектов. Отношение двойственности между U и V устанавливает булева функция В(u,v), принимающая значение «ИСТИНА», если элемент uϵU обладает свойством vϵV, и значение «ЛОЖЬ» в противном случае. Для любого элемента uϵU обозначим через Г(u) множество всех свойств этого элемента: Г(u) ={vϵV : В(u,v)=«ИСТИНА»}. Для любого множества XϵU определим двойственное ему множество Г(Х)=∩{Г(х) : хϵХ}. Оно состоит из всех общих свойств всех элементов из множества Х. Легко заметить, что с чисто формальной точки зрения ситуация абсолютно симметрична. Поэтому для любого свойства vϵV можно ввести множество Г(v) = {uϵU : В(u,v)=«ИСТИНА»} всех объектов, обладающих свойством v. А для любого множества YϵV можно ввести двойственное ему множество Г(Y)=∩{Г(y) : yϵY} всех объек- тов, обладающих всеми свойствами из Y. Повторять это замечание мы больше не будем, но считаем по умолчанию, что все сделанные ниже утверждения об элементах зеркально дублируются для свойств (и наоборот).
Рассмотрим теперь Г(Г(Х)). Так как Г(Х) - множество всех общих свойств всех элементов из Х, то любой элемент хϵХ обладает всеми свойствами из Г(Х). Поэтому XϵГ(Г(Х)). Легко понять, что равенства здесь может не быть. Нельзя исключать возможность, что всеми теми же самыми свойствами обладает ещё и какой-либо элемент, не принадлежащий Х.
Уже было сказано, что верна теорема Галуа: Г(Г(Г(Х)))=Г(Х). Этот факт побуждает ввести понятие замыкания Галуа С(Х) = Г(Г(Х)). Если С(Х)=Х, то Х называется замкнутым (по Галуа). Для замкнутых множеств соответствие Галуа Г превращается в «чистую» двойственность: если Y = Г(Х), то Х = Г(Y) (и наоборот). При этом все множества вида Г(Х) или Г(Y) заведомо замкнуты. Многочисленные реализации описанной конструкции присутствуют в математических дисциплинах. А корректное изложение естественных и гуманитарных наук требует, чтобы всем их понятиям соответствовали замкнутые множества как объектов, так и признаков.
В случае же с понятием национальности добиться этого не удастся. Как бы кто бы ни попытался сформулировать общие свойства всех людей одной и той же национальности, множества всех людей с этими свойствами окажутся уже другими. Это ясно из контекстного требования наследования детьми национальности родителей. Замкнутости Галуа можно добиться лишь для замкнутых в обыденном смысле сообществ. В прежние века такое было возможно лишь на весьма изолированных от остального мира островах. Но современная глобализация исключила даже эту лазейку.