Парадокс Бертрана
Не того, который Рассел, про брадобрея и диагональный аргумент, а того, который Жозеф Луи Франсуа. Состоит в следующем.
Задача: есть окружность, там случайным образом проводим хорду. Какова вероятность события
А={хорда получилась длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность}?
Ответ зависит от того, как именно мы будем эту хорду выбирать. А именно, есть такие три метода (можно и больше, но хватит и этого пока):
Метод 1: Хорда - это что? Отрезок, соединяющий две точки на окружности. Не мудрствуя лукаво, возьмем на сей окружности две случайные точки (независимым образом), и проведем хорду между ними. Поскольку всё тут у нас симметрично, БООМС[0] первая точка попадет прямо на северный полюс, а событие А произойдет когда вторая точка попадет на красную дугу на картинке (все хорды в данном посте имеют синий цвет):
Т.е., очевидно, искомая вероятность получается 1/3.
Метод 2. А вот теперь возьмем, и проведем хорду так. Выберем сначала случайный радиус (т.е., соединим центр со случайной точкой на окружности), потом на нем выберем случайную точку, проведем перпендикуляр, и получим хорду. Опять, БООМС этот радиус ведет на северный полюс (и чего меня так на северный полюс потянуло...), а сторона равностороннего треугольника (который с вершиной на южном полюсе) делит этот радиус строго пополам, и опять же из созерцания картинки
(надо, чтобы случайная точка на радиусе попала на красный отрезок) ясно, что искомая вероятность равна 1/2.
Метод 3. Вообще просто выберем одну случайную точку внутри круга. Ясно, что строго в центр нам попасть не светит, а значит существует единственная хорда, чья центральная точка совпадает с выбранной. Её и рассмотрим. Вернее, рассмотрим картинку
и со всей очевидностью получим, что искомая вероятность равна 1/4 (радиус внутреннего круга, куда должна попасть выбранная точка, в два раза меньше исходного).
Вот. Одна задача, три разных ответа, 1/3, 1/2, 1/4. И тут на этом месте обычно делается вывод, что задача сформулирована некорректно, требуется обязательно указать, что именно мы понимаем под "выбрать случайную хорду", а иначе нельзя. Так?
А вот не так! Точнее, не совсем так. Здесь такое дело: если мы захотим непременно формулировать все вероятностные задачки абсолютно строгим и точным образом, то вместо, к примеру "из десяти человек выбираем двоих случайным образом" придется писать что-то вроде "из множества всех неупорядоченных пар различных элементов множества {1,...,10} выбираем одну пару с равномерным распределением вероятностей". Ну его нафиг, я считаю, обычно и так понятно, что когда говорят "выберем случайным образом" без дальнейших уточнений, то это означает, что выбор равновероятный, т.е., делается с равномерным распределением.
ОК. Хорошо. Но тут мне возразят в том смысле, что
- понятно, как равновероятно выбрать случайный элемент множества из N элементов (каждый берется с вероятностью 1/N)
- тоже интуитивно понятно, что такое равномерное распределение в какой-либо области, скажем, на плоскости (круг, квадрат, ...).
Но что делать для более сложных объектов?
А мы ответим на это так. Основное, я бы даже сказал, характеристическое свойство равномерного распределения такое. Пусть H - некоторое подмножество множества G, и выберем один объект из G равновероятным образом. Так вот, при условии, что результат попал в H - он имеет там равномерное распределение, такая вот инвариантность получается. Например, если из группы 5 мужчин / 5 женщин случайно выбрать одного человека, и известно, что это - женщина, то тогда любая из тех пяти имеет равные шансы (1/5) оказаться избранницей. Да и к равномерному выбору точки из области все это тоже относится.
Ну и что мы хотим от случайной хорды тогда? В свете вышеизложенного, представляется мне разумным, что хотим мы следующего:
при условии, что случайная хорда АВ пересекает мелкую окружность (порождая там хорду А'В'), эта хорда А'В' имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто "случайная хорда" (что бы сие не значило, пока) в маленькой окружности.
Так вот, оказывается, что из трех вышеуказанных методов построения случайной хорды, этим свойством обладает лишь метод 2! И никто кроме него; все другие не годятся. Всё это давно известно, см. статью [1], очень рекомендую.
То, что мы тут уже обсудили, однако же, наводит на такие мысли. Хорошо, мы знаем теперь, что есть случайная хорда окружности. Как истинные математики, мы желаем это обобщить, с окружностей на эллипсы, квадраты, гиперкубы, и всё-что-угодно. Ну, давайте попробуем.
Значится, повторяя пройденное, хорда - это отрезок, соединяющий две точки на границе нашей области. (Тут, правда, надо уточнить: хотим ли мы, чтобы внутренние точки хорды находились строго внутри области. Ну, скажем, хотим.) Вместо того, чтоб сразу выбирать эти две точки, попытаемся сделать иначе: выберем сначала одну точку на границе (каким-нибудь образом), а потом выберем направление (еще каким-нибудь образом), куда пойдет хорда из этой точки. И пойдет она до пересечения с границей, уж куда придет - там второй точке и быть.
Только лишь в качестве простого упражнения на знание школьной планиметрии, докажите, что метод 1 эквивалентен такой процедуре: сначала берем одну точку равномерно на окружности, а потом направление хорды тоже выбирается с равномерным распределением, как-бы все направления равновероятны.
А с нашим драгоценным методом 2 ситуация такая: направление хорды выбирается по закону косинуса, т.е. плотность распределения этого направления пропорциональна косинусу угла между ним и радиусом (докажите!). Что же будет, если подобную процедуру проделать с более-менее произвольной областью (нудные комментарии про достаточную гладкость её границы мы здесь писать не будем), а именно
(а) сначала выберем точку равномерно на границе
(б) выберем направление оттуда по закону косинуса (угол - с нормалью к границе в этой точке), и хорда пошла.
Оказывается, это все действительно работает, да еще и в любой размерности к тому же! Можно доказать, что
(почти copy-paste, обратите внимание) при условии, что случайная хорда АВ пересекает внутреннюю область (порождая там хорду А'В'), эта хорда А'В' имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто cлучайная хорда во внутренней областисти (внешняя область тут более-менее произвольная, а вот внутренняя - выпуклая, чтоб "индуцированная" хорда всегда была определена однозначно). Воспользуюсь случаем и порекламирую тут статью [2], хоть мы там кое-где и изобрели велосипед. Надо было предварительно хотя бы книжку [3] прочесть (и её очень рекомендую, да).
_____________________________________________________________________________
[0] без ограничения общности можно считать
[1] Jaynes, E.T. (1973). "The Well-Posed Problem". Found. Phys. 3 (4): 477-492.
[2] F. Comets, S. Popov, G.M. Schütz, M. Vachkovskaia (2009)
Billiards in a general domain with random reflections.
Archive for Rational Mechanics and Analysis, 193 (3), pp. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
См. также Erratum вот здесь: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, ибо накосячили.
А лучше всего читать здесь: http://arxiv.org/abs/math/0612799, там уже всё исправлено, и доступ свободный.
[3] Кендалл, Моран. (1972)
Геометрические вероятности.
Думаю, каждый найдет, где скачать :)
Задача: есть окружность, там случайным образом проводим хорду. Какова вероятность события
А={хорда получилась длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность}?
Ответ зависит от того, как именно мы будем эту хорду выбирать. А именно, есть такие три метода (можно и больше, но хватит и этого пока):
Метод 1: Хорда - это что? Отрезок, соединяющий две точки на окружности. Не мудрствуя лукаво, возьмем на сей окружности две случайные точки (независимым образом), и проведем хорду между ними. Поскольку всё тут у нас симметрично, БООМС[0] первая точка попадет прямо на северный полюс, а событие А произойдет когда вторая точка попадет на красную дугу на картинке (все хорды в данном посте имеют синий цвет):
Т.е., очевидно, искомая вероятность получается 1/3.
Метод 2. А вот теперь возьмем, и проведем хорду так. Выберем сначала случайный радиус (т.е., соединим центр со случайной точкой на окружности), потом на нем выберем случайную точку, проведем перпендикуляр, и получим хорду. Опять, БООМС этот радиус ведет на северный полюс (и чего меня так на северный полюс потянуло...), а сторона равностороннего треугольника (который с вершиной на южном полюсе) делит этот радиус строго пополам, и опять же из созерцания картинки
(надо, чтобы случайная точка на радиусе попала на красный отрезок) ясно, что искомая вероятность равна 1/2.
Метод 3. Вообще просто выберем одну случайную точку внутри круга. Ясно, что строго в центр нам попасть не светит, а значит существует единственная хорда, чья центральная точка совпадает с выбранной. Её и рассмотрим. Вернее, рассмотрим картинку
и со всей очевидностью получим, что искомая вероятность равна 1/4 (радиус внутреннего круга, куда должна попасть выбранная точка, в два раза меньше исходного).
Вот. Одна задача, три разных ответа, 1/3, 1/2, 1/4. И тут на этом месте обычно делается вывод, что задача сформулирована некорректно, требуется обязательно указать, что именно мы понимаем под "выбрать случайную хорду", а иначе нельзя. Так?
А вот не так! Точнее, не совсем так. Здесь такое дело: если мы захотим непременно формулировать все вероятностные задачки абсолютно строгим и точным образом, то вместо, к примеру "из десяти человек выбираем двоих случайным образом" придется писать что-то вроде "из множества всех неупорядоченных пар различных элементов множества {1,...,10} выбираем одну пару с равномерным распределением вероятностей". Ну его нафиг, я считаю, обычно и так понятно, что когда говорят "выберем случайным образом" без дальнейших уточнений, то это означает, что выбор равновероятный, т.е., делается с равномерным распределением.
ОК. Хорошо. Но тут мне возразят в том смысле, что
- понятно, как равновероятно выбрать случайный элемент множества из N элементов (каждый берется с вероятностью 1/N)
- тоже интуитивно понятно, что такое равномерное распределение в какой-либо области, скажем, на плоскости (круг, квадрат, ...).
Но что делать для более сложных объектов?
А мы ответим на это так. Основное, я бы даже сказал, характеристическое свойство равномерного распределения такое. Пусть H - некоторое подмножество множества G, и выберем один объект из G равновероятным образом. Так вот, при условии, что результат попал в H - он имеет там равномерное распределение, такая вот инвариантность получается. Например, если из группы 5 мужчин / 5 женщин случайно выбрать одного человека, и известно, что это - женщина, то тогда любая из тех пяти имеет равные шансы (1/5) оказаться избранницей. Да и к равномерному выбору точки из области все это тоже относится.
Ну и что мы хотим от случайной хорды тогда? В свете вышеизложенного, представляется мне разумным, что хотим мы следующего:
при условии, что случайная хорда АВ пересекает мелкую окружность (порождая там хорду А'В'), эта хорда А'В' имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто "случайная хорда" (что бы сие не значило, пока) в маленькой окружности.
Так вот, оказывается, что из трех вышеуказанных методов построения случайной хорды, этим свойством обладает лишь метод 2! И никто кроме него; все другие не годятся. Всё это давно известно, см. статью [1], очень рекомендую.
То, что мы тут уже обсудили, однако же, наводит на такие мысли. Хорошо, мы знаем теперь, что есть случайная хорда окружности. Как истинные математики, мы желаем это обобщить, с окружностей на эллипсы, квадраты, гиперкубы, и всё-что-угодно. Ну, давайте попробуем.
Значится, повторяя пройденное, хорда - это отрезок, соединяющий две точки на границе нашей области. (Тут, правда, надо уточнить: хотим ли мы, чтобы внутренние точки хорды находились строго внутри области. Ну, скажем, хотим.) Вместо того, чтоб сразу выбирать эти две точки, попытаемся сделать иначе: выберем сначала одну точку на границе (каким-нибудь образом), а потом выберем направление (еще каким-нибудь образом), куда пойдет хорда из этой точки. И пойдет она до пересечения с границей, уж куда придет - там второй точке и быть.
Только лишь в качестве простого упражнения на знание школьной планиметрии, докажите, что метод 1 эквивалентен такой процедуре: сначала берем одну точку равномерно на окружности, а потом направление хорды тоже выбирается с равномерным распределением, как-бы все направления равновероятны.
А с нашим драгоценным методом 2 ситуация такая: направление хорды выбирается по закону косинуса, т.е. плотность распределения этого направления пропорциональна косинусу угла между ним и радиусом (докажите!). Что же будет, если подобную процедуру проделать с более-менее произвольной областью (нудные комментарии про достаточную гладкость её границы мы здесь писать не будем), а именно
(а) сначала выберем точку равномерно на границе
(б) выберем направление оттуда по закону косинуса (угол - с нормалью к границе в этой точке), и хорда пошла.
Оказывается, это все действительно работает, да еще и в любой размерности к тому же! Можно доказать, что
(почти copy-paste, обратите внимание) при условии, что случайная хорда АВ пересекает внутреннюю область (порождая там хорду А'В'), эта хорда А'В' имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто cлучайная хорда во внутренней областисти (внешняя область тут более-менее произвольная, а вот внутренняя - выпуклая, чтоб "индуцированная" хорда всегда была определена однозначно). Воспользуюсь случаем и порекламирую тут статью [2], хоть мы там кое-где и изобрели велосипед. Надо было предварительно хотя бы книжку [3] прочесть (и её очень рекомендую, да).
_____________________________________________________________________________
[0] без ограничения общности можно считать
[1] Jaynes, E.T. (1973). "The Well-Posed Problem". Found. Phys. 3 (4): 477-492.
[2] F. Comets, S. Popov, G.M. Schütz, M. Vachkovskaia (2009)
Billiards in a general domain with random reflections.
Archive for Rational Mechanics and Analysis, 193 (3), pp. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
См. также Erratum вот здесь: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, ибо накосячили.
А лучше всего читать здесь: http://arxiv.org/abs/math/0612799, там уже всё исправлено, и доступ свободный.
[3] Кендалл, Моран. (1972)
Геометрические вероятности.
Думаю, каждый найдет, где скачать :)