Случайная Канторова лестница
Конечно, все знают про Канторову лестницу, она непрерывная функция, неубывающая, в нуле - ноль, в единице - единица. Тем не менее, её производная равна нулю почти всюду.
А что будет, если мы захотим построить функцию с подобными свойствами, но не просто неубывающую, а строго возрастающую?
Рассмотрим такую конструкцию:
1) берем единичный квадрат, в нем берем случайную (равномерную) точку
2) в левом нижнем и правом верхнем прямоугольниках тоже выбираем случайные точки независимо
3) в четырех "диагональных" прямоугольниках выбираем по случайной точке независимо
4) и т.д., см. картинку:
Получающиеся точки определяют единственную непрерывную всюду возрастающую функцию f(x). Можно показать, что у нее есть такое свойство, как и у Канторовой лесницы: производная почти всюду существует и равна нулю (хотя функция строго возрастает во всех точках).
Это конструкция давно известна (Дубинс и Фридман обнаружили её в шестидесятых годах прошлого века), но несколько подзабыта.
Однако, вопрос: а знает ли кто-нибудь неслучайную конструкцию подобной функции (т.е., надо чтоб g(0)=0, g(1)=1, строго возрастает, но производная равна нулю почти всюду)?
А что будет, если мы захотим построить функцию с подобными свойствами, но не просто неубывающую, а строго возрастающую?
Рассмотрим такую конструкцию:
1) берем единичный квадрат, в нем берем случайную (равномерную) точку
2) в левом нижнем и правом верхнем прямоугольниках тоже выбираем случайные точки независимо
3) в четырех "диагональных" прямоугольниках выбираем по случайной точке независимо
4) и т.д., см. картинку:
Получающиеся точки определяют единственную непрерывную всюду возрастающую функцию f(x). Можно показать, что у нее есть такое свойство, как и у Канторовой лесницы: производная почти всюду существует и равна нулю (хотя функция строго возрастает во всех точках).
Это конструкция давно известна (Дубинс и Фридман обнаружили её в шестидесятых годах прошлого века), но несколько подзабыта.
Однако, вопрос: а знает ли кто-нибудь неслучайную конструкцию подобной функции (т.е., надо чтоб g(0)=0, g(1)=1, строго возрастает, но производная равна нулю почти всюду)?