устный счет
У vita_colorata интересный пост Задачка с картины. Недавно перечитывал Ричарда Фейнмана ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман") - вот где первокласный устный счет.
Вот, например, Счастливые числа
Однажды в Принстоне я сидел в комнате отдыха и случайно услышал, как математики говорят о ряде для ex, который выглядит как 1+x+x2/2!+x3/3! Каждый последующий член ряда получается при умножении предыдущего члена на x и его делении на следующее порядковое число. Например, чтобы получить член, следующий за x4/4!, нужно умножить этот член на x и разделить на 5. Все очень просто.
Когда я был ребенком, я просто восхищался рядами и нередко забавлялся с ними. С помощью ряда, о котором шла речь, я вычислял e и видел, как быстро уменьшаются последующие члены.
Я пробормотал что-то вроде того, как легко можно вычислить любую степень e с помощью этого ряда (достаточно просто подставить эту степень вместо x).
- Да? - сказали они. "Отлично, чему равно e в степени 3, 3?" - спросил какой-то шутник. По-моему, это был Таки.
Я говорю: "Легко. 27,11".
Таки знает, что вычислить это в уме совсем нелегко. "Эй! Как тебе это удалось?"
Другой парень говорит: "Ну вы же знаете Фейнмана, он просто выдумал это число. На самом деле оно не правильное".
Они идут за таблицей, а я тем временем добавляю еще несколько цифр.
"27, 1126", - говорю я.
Они находят число в таблице. "Правильно! Но как ты это сделал?"
- Я просто суммировал ряд.
- Никто не умеет суммировать ряды так быстро. Ты, видимо, просто знал это число. А чему равно e в степени 3?
- Слушайте, - говорю я. - Это сложная работа! Я могу посчитать только одну степень в день!
- Ага! Это надувательство! - обрадовались они.
- О'кей, - говорю я. - 20,085.
Пока они ищут число в книжке, я добавляю еще несколько цифр. Теперь они возбуждаются, потому что я правильно назвал еще одно число.
Итак, все великие математики современности озадачены тем, как мне удается подсчитать любую степень e! Один из них говорит: "Не может быть, чтобы он просто подставлял это число и суммировал ряд - это слишком сложно. Тут есть какой-то трюк. Ты не сможешь вычислить какое угодно число, например, e в степени 1,4".
Я говорю: "Да, работа не из легких. Но для вас, так и быть. 4,05".
Пока они ищут ответ, я добавляю еще несколько цифр и говорю: "Все, на сегодня это последнее", и выхожу из комнаты.
Произошло же следующее. Я случайно знал три числа: натуральный логарифм 10 (который нужен, чтобы переводить числа от основания 10 к основанию e), который равен 2,3026 (поэтому я знал, что e в степени 2,3 примерно равно 10), а из-за радиоактивности (средняя продолжительность жизни и период полураспада) я знал натуральный логарифм 2, который равен 0,69315 (поэтому я также знал, что e в степени 0, 7 равно почти 2). Кроме того, я знал, что e
(в степени 1) равно 2,71828.
Сначала меня попросили возвести e в степень 3,3. Это все равно, что e в степени 2,3 (то есть 10), умноженное на e, то есть 27,18. Пока они старались понять, как мне это удалось, я внес поправку на лишние 0,0026: 2,3026 - слегка завышенное число.
Я знал, что не смогу вычислить следующее число. Мне просто повезло,когда парень назвал e в степени 3: это e в степени 2,3, умноженное на e в степени 0,7 (или 10, умноженное на 2). Итак, я знал, что это 20 с чем-то, а пока они раздумывали над тем, как мне это удалось, я внес поправку на 0,693.
Ну уж теперь-то я был уверен, что не смогу вычислить следующее число, но мне опять повезло. Парень попросил посчитать е в степени 1,4, а это e в степени 0,7, умноженное на само себя. Так что все, что мне пришлось сделать, так это чуть-чуть подкорректировать четверку!
Они так никогда и не поняли, как мне это удалось.
Там еще есть описание "трюков" устного счета. Так что, если кому интересно - очень рекомендую, причем не только из-за устного счета :)
Кстати, помню свой восторг, когда я в школе научился умножать в уме числа на 11. Ну это, наверное, все умеют :)
Вот, например, Счастливые числа
Однажды в Принстоне я сидел в комнате отдыха и случайно услышал, как математики говорят о ряде для ex, который выглядит как 1+x+x2/2!+x3/3! Каждый последующий член ряда получается при умножении предыдущего члена на x и его делении на следующее порядковое число. Например, чтобы получить член, следующий за x4/4!, нужно умножить этот член на x и разделить на 5. Все очень просто.
Когда я был ребенком, я просто восхищался рядами и нередко забавлялся с ними. С помощью ряда, о котором шла речь, я вычислял e и видел, как быстро уменьшаются последующие члены.
Я пробормотал что-то вроде того, как легко можно вычислить любую степень e с помощью этого ряда (достаточно просто подставить эту степень вместо x).
- Да? - сказали они. "Отлично, чему равно e в степени 3, 3?" - спросил какой-то шутник. По-моему, это был Таки.
Я говорю: "Легко. 27,11".
Таки знает, что вычислить это в уме совсем нелегко. "Эй! Как тебе это удалось?"
Другой парень говорит: "Ну вы же знаете Фейнмана, он просто выдумал это число. На самом деле оно не правильное".
Они идут за таблицей, а я тем временем добавляю еще несколько цифр.
"27, 1126", - говорю я.
Они находят число в таблице. "Правильно! Но как ты это сделал?"
- Я просто суммировал ряд.
- Никто не умеет суммировать ряды так быстро. Ты, видимо, просто знал это число. А чему равно e в степени 3?
- Слушайте, - говорю я. - Это сложная работа! Я могу посчитать только одну степень в день!
- Ага! Это надувательство! - обрадовались они.
- О'кей, - говорю я. - 20,085.
Пока они ищут число в книжке, я добавляю еще несколько цифр. Теперь они возбуждаются, потому что я правильно назвал еще одно число.
Итак, все великие математики современности озадачены тем, как мне удается подсчитать любую степень e! Один из них говорит: "Не может быть, чтобы он просто подставлял это число и суммировал ряд - это слишком сложно. Тут есть какой-то трюк. Ты не сможешь вычислить какое угодно число, например, e в степени 1,4".
Я говорю: "Да, работа не из легких. Но для вас, так и быть. 4,05".
Пока они ищут ответ, я добавляю еще несколько цифр и говорю: "Все, на сегодня это последнее", и выхожу из комнаты.
Произошло же следующее. Я случайно знал три числа: натуральный логарифм 10 (который нужен, чтобы переводить числа от основания 10 к основанию e), который равен 2,3026 (поэтому я знал, что e в степени 2,3 примерно равно 10), а из-за радиоактивности (средняя продолжительность жизни и период полураспада) я знал натуральный логарифм 2, который равен 0,69315 (поэтому я также знал, что e в степени 0, 7 равно почти 2). Кроме того, я знал, что e
(в степени 1) равно 2,71828.
Сначала меня попросили возвести e в степень 3,3. Это все равно, что e в степени 2,3 (то есть 10), умноженное на e, то есть 27,18. Пока они старались понять, как мне это удалось, я внес поправку на лишние 0,0026: 2,3026 - слегка завышенное число.
Я знал, что не смогу вычислить следующее число. Мне просто повезло,когда парень назвал e в степени 3: это e в степени 2,3, умноженное на e в степени 0,7 (или 10, умноженное на 2). Итак, я знал, что это 20 с чем-то, а пока они раздумывали над тем, как мне это удалось, я внес поправку на 0,693.
Ну уж теперь-то я был уверен, что не смогу вычислить следующее число, но мне опять повезло. Парень попросил посчитать е в степени 1,4, а это e в степени 0,7, умноженное на само себя. Так что все, что мне пришлось сделать, так это чуть-чуть подкорректировать четверку!
Они так никогда и не поняли, как мне это удалось.
Там еще есть описание "трюков" устного счета. Так что, если кому интересно - очень рекомендую, причем не только из-за устного счета :)
Кстати, помню свой восторг, когда я в школе научился умножать в уме числа на 11. Ну это, наверное, все умеют :)