Магические квадраты и матрицы
Новая порция вопросов без ответов. Или - ответы очень трудно найти.
Магические квадраты, как мы выяснили - это матрицы с нулевым детерминантом. То есть те, к которым нет обратной матрицы, "вырожденные". А какой смысл у обратной матрицы?
В линейной алгебре матрица соответствует линейному преобразованию векторного пространства в конкретном базисе, а обратная матрица соответствует обратному преобразованию в этом же базисе.
И???
Сразу вспомнились квадратные уравнения в школе. Те самые, которые через дискриминант решаются. И вопрос, зависший в мозгах: "Ну, я поняла, как их решать, но в чем смысл?"
Зачем замысловатым способом ищем точки пересечения графика функции с осью Х? Да, если не находим, значит, график функции выше или ниже оси. И что? Потом в 11 классе искали точки перегиба функции, в которых производная равна нулю. Но зачем?! Что все это значит?
Крайне редко находится кто-то, кто готов сказать хоть что-то о смысле этих преобразований:
Ведь что такое в сущности каждое из уравнений системы? Это "связь", отбирающая у переменных одну из степеней свободы.
Если у нас есть N независимых переменных и каждая из них может принимать какие ей вздумается значения, то вся совокупность наборов их значений это фактически N-мерное пространство. (Если переменных только две - x и y - то совокупность их возможных значений - все точки плоскости.) Теперь если мы свяжем их одним уравнением, то окажется что переменные (чтобы уравнение так и оставалось равенством) могут принимать уже не любые значения, а только лежащие на N-1 мерной гиперплоскости. (Если переменных две - то это прямая. Ну или кривая, если уравнение нелинейное.) Еще одно уравнение - еще одна гиперплоскость. А если оба - то только точки лежащие на них обоих одновременно.
Т.е. их пересечение - множество точек размерности N-2. Спрашивается: могут ли эти две поверхности (или, для простоты - две линии на плоскости) не пересекаться? Кривые - запросто! Да и пересечься тоже могут в нескольких точках. А вот прямые - только в одной; а не пересечься - только если параллельны.
За сим наличие в системе уравнений таких, что описываемые ими поверхности параллельны (или в более сложном случае - линейно-зависимы) как раз и приводит к тому что решений у такой системы уравнений нет. Обнаружить это можно посчитав "определитель" матрицы коэффициентов уравнения - он как раз и определяет степень линейной независимости составляющих её строчек. (Или столбцов - без разницы.)
В общем, копать и копать еще до хоть какого-то смысла.
Магические квадраты, как мы выяснили - это матрицы с нулевым детерминантом. То есть те, к которым нет обратной матрицы, "вырожденные". А какой смысл у обратной матрицы?
В линейной алгебре матрица соответствует линейному преобразованию векторного пространства в конкретном базисе, а обратная матрица соответствует обратному преобразованию в этом же базисе.
И???
Сразу вспомнились квадратные уравнения в школе. Те самые, которые через дискриминант решаются. И вопрос, зависший в мозгах: "Ну, я поняла, как их решать, но в чем смысл?"
Зачем замысловатым способом ищем точки пересечения графика функции с осью Х? Да, если не находим, значит, график функции выше или ниже оси. И что? Потом в 11 классе искали точки перегиба функции, в которых производная равна нулю. Но зачем?! Что все это значит?
Крайне редко находится кто-то, кто готов сказать хоть что-то о смысле этих преобразований:
Ведь что такое в сущности каждое из уравнений системы? Это "связь", отбирающая у переменных одну из степеней свободы.
Если у нас есть N независимых переменных и каждая из них может принимать какие ей вздумается значения, то вся совокупность наборов их значений это фактически N-мерное пространство. (Если переменных только две - x и y - то совокупность их возможных значений - все точки плоскости.) Теперь если мы свяжем их одним уравнением, то окажется что переменные (чтобы уравнение так и оставалось равенством) могут принимать уже не любые значения, а только лежащие на N-1 мерной гиперплоскости. (Если переменных две - то это прямая. Ну или кривая, если уравнение нелинейное.) Еще одно уравнение - еще одна гиперплоскость. А если оба - то только точки лежащие на них обоих одновременно.
Т.е. их пересечение - множество точек размерности N-2. Спрашивается: могут ли эти две поверхности (или, для простоты - две линии на плоскости) не пересекаться? Кривые - запросто! Да и пересечься тоже могут в нескольких точках. А вот прямые - только в одной; а не пересечься - только если параллельны.
За сим наличие в системе уравнений таких, что описываемые ими поверхности параллельны (или в более сложном случае - линейно-зависимы) как раз и приводит к тому что решений у такой системы уравнений нет. Обнаружить это можно посчитав "определитель" матрицы коэффициентов уравнения - он как раз и определяет степень линейной независимости составляющих её строчек. (Или столбцов - без разницы.)
В общем, копать и копать еще до хоть какого-то смысла.