Матрицы и их смысл. Часть 5 - Отступление о векторах
Что такое вектор? Отрезок, но с направлением. Обозначается стрелкой, указывающей направление, и эта самая стрелка делает концы вектора неравноценными. Один конец становится началом, другой - концом вектора.
На координатной плоскости надо бы обозначить вектор координатами начала вектора и координатами конца, вроде как этого достаточно для однозначного определения местонахождения и направления вектора. Но, поскольку координатную плоскость мы задаем сами, то, пока речь идет об одном векторе, удобнее совмещать начало координат и начало вектора.
Тогда координаты начала вектора (0,0), а координаты конца (х,у). Так как х-0=х, а у-0=у, то и координаты начала можно выкинуть, и обозначать вектор всего двумя циферками - х и у.
И вот этот подход - выкидывать координаты начала вектора - приводит к математиков и физиков к любопытной идее: что любые вектора (х,у) - это один и тот же вектор, просто перенесённый параллельным переносом в другое место. Даже если их два рядом, и мы своими глазами видим две разных стрелки!
Это одно из громких умолчаний (излюбленных математиками), противоречащих обычной житейской логике, который ставит в тупик простых смертных-нематематиков. Ну никак мы не можем понять, почему вектор - это две циферки, и почему две стрелки, пусть и одинаковых по длине и расположенных под одинаковым углом к осям, это одна и та же стрелка!
Нет, где-то там в учебниках мельком упоминается, что вот, все векторы нужно мысленно помещать в начало координат, но очень мельком, не заостряя внимание на следствиях.
Далее еще один странный постулат в учебниках
А почему именно так надо складывать вектора? Почему, если мы соединим начало одного вектора с началом другого, их суммой не будет вектор от одного конца к другому концу?
Вот такие вопросы, если школьник в состоянии их ясно сформулировать, можно задать учителю, но учитель, как правило, не ответит, и останется тот ясно думающий школьник с недоумением ("откуда что берется?"). Большинство же детей не может сформулировать такой вопрос осмысленно, но где-то в подсознании у них сомнения крутятся. И тогда дети демонстрируют "непонимание" темы.
А логика у математиков, по-видимому, была простая: если по таким правилам складывать вектора (х1, у1) и (х2, у2), то координаты итогового вектора будут (х1+х2, у1+у2).
Ага! Тогда вычитание векторов (х1, у1) и (х2,у2) должно приводить к вектору (х1-х2, у1-у2). Смотрим...
Так и есть!
Заметим, что итоговый вектор, полученный в результате такого "вычитания", может быть даже длиннее, чем полученный в результате "сложения", то есть, эти операции самой терминологией вгоняют в тупик людей, у которых твердо заучена только арифметика. Попросту операции на плоскости и операции на числовой прямой - это две большие разницы! Огромные разницы!! Мне кажется, правильнее было бы даже ввести для операций на плоскости другие названия, а потом аккуратно сопоставлять одно с другим...
Ну да ладно! Далее логика подсказывает, что результатом умножения векторов (х1, у1) и (х2,у2) математики должны считать вектор (х1x2, y1у2), типа так:
Ан нет!
Математики почему-то не стали следовать логике и придумали скалярное и векторное умножение векторов:
Мне кажется, здесь самое время воскликнуть: "Что?! Откуда вы это взяли?! С чего вдруг вот это считается умножением? И вот эти люди учат нас "логике"?!"
А про деление векторов и вовсе многозначительное молчание
P.S.: а еще для обозначения векторного и скалярного произведения используются разные значки - крестик для векторного и точка для скалярного (что отражено в английском языке и никак не отражено в русском)
Наверняка в этом есть смысл, который полностью ускользает от простых смертных