Хочу задачи
Учу детей индукции. Один ребенок спрашивает: "А задачи, которые вы нам даёте, точно для 7 класса? А то мы недавно ходили на малый мехмат, там тоже была индукция, а задача повторяется только одна".
Я хочу проиллюстрировать мысль, что индукция в некотором роде "убирание", а не "добавление". Вообще, кажется, добавление нигде не работает, но, например, в тождествах это не видно, а в более сложных задачах индукция теряется за идеями и техникой.
Пример простой задачи, где легко объяснить, почему добавление столбика не сработает:В прямоугольнике 3xN стоят фишки трех цветов, по N штук каждого цвета. Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в любом столбце были фишки всех цветов.
Также забавны неверные доказательства. Например, это:Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти. Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы - это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти. Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?
С индукцией перекликается и парадокс неожиданной казни. Он до сих кажется мне чем-то странным.
Другая тема, по которой мне периодически хочется составить подборку задач: радикальные оси. Но обычно вместо этого находятся задачи про счёт степеней точек, а не про свойства радикальных осей. А нужно примерно такое, но сложнее:
В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки E и F, на стороне BC -- M и N, на стороне AC -- K и L. Известно, что EFMN, MNKL, KLEF -- вписанные. Докажите, что все 6 точек E, F, M, N, K, L лежат на одной окружности.
Я хочу проиллюстрировать мысль, что индукция в некотором роде "убирание", а не "добавление". Вообще, кажется, добавление нигде не работает, но, например, в тождествах это не видно, а в более сложных задачах индукция теряется за идеями и техникой.
Пример простой задачи, где легко объяснить, почему добавление столбика не сработает:В прямоугольнике 3xN стоят фишки трех цветов, по N штук каждого цвета. Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в любом столбце были фишки всех цветов.
Также забавны неверные доказательства. Например, это:Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти. Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы - это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти. Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?
С индукцией перекликается и парадокс неожиданной казни. Он до сих кажется мне чем-то странным.
Другая тема, по которой мне периодически хочется составить подборку задач: радикальные оси. Но обычно вместо этого находятся задачи про счёт степеней точек, а не про свойства радикальных осей. А нужно примерно такое, но сложнее:
В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки E и F, на стороне BC -- M и N, на стороне AC -- K и L. Известно, что EFMN, MNKL, KLEF -- вписанные. Докажите, что все 6 точек E, F, M, N, K, L лежат на одной окружности.