Почему мы говорим "буду с нетерпением ждать (чего?) нашей встречи", а не "Буду с нетерпением ждать (что?) нашу встречу"?
Это особенность употребления глагола "ждать". Как правило, он требует после себя родительного падежа.
Вот информация с портала gramota.ru:
ждать управляет родительным (кого, чего) и винительным (кого, что) падежом. Родительный падеж - при сочетании с отвлеченными существительнми или конкректными, но употребленными с оттенком неопределенности: Я жду автобуса (любого, какой подойдет, на такой и сяду). Я жду любви, как позднего трамвая. Винительный падеж - при сочетании с одушевленными существительными или неодушевленными с оттенком определенности: Я жду сестру. Я жду автобус № 20 (именно этот, конкретный). Аналогично: Я жду свой кофе.
Ценные сведения по теме содержатся также в следующей статье:
http://www.gramma.ru/RUS/?id=13.21