Вопрос про многообразия

[marina_p]

Есть ли какое-то простое объяснение того, что любое топологическое многообразие можно представить как объединение возрастающей последовательности компактных многообразий?

Я почему-то думала, что достаточно взять шары с центрами в фиксированной точке (выбрав какую-нибудь метрику), а тут до меня дошло, что они не обязательно будут многообразиями.

Comments

[sowa]

В топологической категории это, может быть, трудно (или даже очень трудно) доказать. В гладкой - взять собственное вложение в евклидово пространство (существует по теореме Уитни) и пересекать образ с большими шарами, края которых трансверсальны образу (существуют по теореме Сарда).

[marina_p]

Да, вот я и думала, что в гладкой-то это должно быть просто...

Но неужели такого уже давно не доказано? Это же совершенно естественный вопрос. (Мне-то он сейчас низачем не нужен, но просто интересно стало.) У Хирша в книжке какие-то вещи доказываются похоже, постепенным увеличением области, для которой доказываемое утверждение верно (только я давно уже читала, не помню).

Вот то утверждение, которое у меня в конце написано -- что любое компактное подмножество Х содержится в каком-то компактном подмногообразии Х, -- тоже ведь наверное про него всё известно? Вот про него, кстати, я меньше уверена, что это правда, чем про исходную формулировку...

[sowa]

Немного не понял вопрос. :-) В гладком случачая я привел доказательство. В топологическом - надо думать, что верно, но либо нужна трансверсальность - что трудно, либо есть какой-нибудь трюк, который никто, кроме специалистов, не знает.

[burcha]

Ну да, в гладком так, в PL есть теорема о регулярной окрестности, а в топологическом -- что-то я вообще сомневаюсь.

[sowa]

Если размерность не 4 и не 5, должно быть верно и в топологическом случае. Это для надежности. Может, верно и всегда. Есть же топологическая трансверсальность, хотя СП и пишет, что там не все доказано.

[marina_p]

А что такое топологическая трансверсальность?

[sowa]

Ну, надо определить трансверсальность в топологической категории (пересечение локально стандартно, например), и доказать такую же теорему, как в гладком случае.

[burcha]

Ну да, это Новиковская наука.

[marina_p]

А как в PL случае использовать эту теорему? Взять объединение регулярных окрестностей двух компактных подмногообразий, и там как-нибудь подразбить и уменьшить?

[burcha]

Добавлять замктнутые шары и брать регулярные окрестности полученных особых компактных подполиэдров.

[marina_p]

А если взять любой компактный полиэдр в PL-многообразии, то его регулярная окрестность всегда будет многообразием, да?

[burcha]

Да будет и, кроме того, деформационно ретрагируется на полиэдр (это уже лишнее вообще-то)

[marina_p]

Про деформационную ретракцию-то я вроде помню (из Рурка-Сандерсона), а вот что получится многообразие -- как-то не отложилось. Хотя сейчас, подумав, вроде поняла, что так и должно быть.

[marina_p]

Это не вопрос, это так... Вы же сказали, что трудно, так что глупо спрашивать, есть ли доказательство.

Я только про топологическую категорию интересуюсь, про гладкую понятно.

"надо думать, что верно" -- это вы про тот вопрос, который я задала первым, или про все три утверждения, которые сейчас в посте написаны?

[sowa]

Про все. Любой естественный способ увеличивать подмногобразия - шарами ли, или точками на данном расстоянии, приводит к одним и тем же проблемам - мы не знаем, что хоть когда-нибудь получится многообразие, если нет теорем трансверсальности.

Должны быть люди, которые это все наизусть знают - теория топологических многообразий проще усторена, чем любых других, после того, как построены "основания" (вот они-то и очень трудны), и потому специалисты работают именно в ней. А простые люди предпочитают гладкие или алгебраические многообразия. :-)

[marina_p]

А я алгебраические не предпочитаю, я про них не знаю ничего :-)