Вопрос про многообразия

[marina_p]

Есть ли какое-то простое объяснение того, что любое топологическое многообразие можно представить как объединение возрастающей последовательности компактных многообразий?

Я почему-то думала, что достаточно взять шары с центрами в фиксированной точке (выбрав какую-нибудь метрику), а тут до меня дошло, что они не обязательно будут многообразиями.

Comments

[dimpas]

У топологического многообразия всегда есть счетная база {Bi} из регулярных шаров (Lemma 4.31 из J.Lee, Introduction to topological manifolds). Возьмем последовательность объединений замыканий Bi, вот и получится то, что требуется.

(мог и наврать, поскольку не тополог, хотя в этом семестере и читаю по ней курс...)

[marina_p]

Но объединение замыканий двух шаров совсем не обязательно будет многообразием. То есть там как-то аккуратнее надо.

[dimpas]

гм, замыкания тут ни при чем, и вправду...

Будет ли объединение конечного числа регулярных (открытых) шаров многообразием? Казалось бы да.
То есть если взять B1, B1∪B2, B1∪B2∪B3,...
как раз и будет то что нужно.

[dimpas]

ну да, теперь компактность пропала. Что-то я туплю сегодня.

[marina_p]

Открытое подмножество многообразия всегда само является многообразием, это неинтересно :-)

[burcha]

В такой конструкции с замктнутыми шарами нужна теорема о регулярной окрестности, а ее нет в топологической категории