(no subject)
Лирическое отступление:
сижу, ботаю линал, никого не трогаю. и тут вспоминается задачка, рассказанная мне братом в каком-то далеком классе (7ом плюс-минус 2). задачка формулировалась примерно так:
"есть Вовочка, он сидит перед конвейером. в начальный момент времени на его конвейере есть 0 конфет. в начале каждой минуты на ленту конвейера падают 2 конфеты. в конце минуты он съедает первую (т.е. самую старую) из всех присутствующих на данный момент на ленте конфет. сколько в пределе у него останется конфет?
эта задачка сначала показалась не очень сложной: вроде бы , каждую минуту у него прибавляется по 1 конфете, так что их будет бесконечно много... но тут брат, хитро улыбаясь, задал мне дополнительный вопрос: "укажи мне несъеденную конфету?", - чем благополучно вогнал меня в ступор.
ну так вот, надо было случиться такому, чтобы задачка вспомнилась именно сейчас (когда я должен бы сидеть ботать линал). правда, теперь я же не в 7(?)ом классе... так что, получились кое-какие результаты
думаю, стандартный метод решения подобных задач - для начала свести ее к более математической формулировке.
у меня получилось так:
есть последовательность полуинтервалов {An}: (0,2],(1,4],(2,6]...(n,2n+2]...
отождествим An со всеми целыми точками на каждом из этих интервалов (ведь точки соответствуют конфетам на конвейере в середине соответствующей минуты).
вопрос задачи: чему равен предел последовательности {An}?
ну, тут можно вспомнить курс матана, более того, самое его начало... получить какой-то результат. а потом вспомнить 1 из определений предела последовательности вещественных чисел. да-да, вещественных чисел. а у нас элементы последовательности - множества. но все же:
{Xn} - последовательность вещественных чисел. говорят, что A - предел этой последовательности при n->00 [при n стремящемся к бесконечности], если для любого eps>0 существует такое N, что для любого n>N имеем: |Xn-A|00) Xn = A
стало быть, хочется ввести что-нибудь подобное и для множеств, ведь задачка-то у нас про множества! сказано - сделано:
{An} - последовательность множеств А1, А2, ... Аn...
|A| - мощность мн-ва А
A#B - симметрическая разность (объединение без пересечения) [обозначу так, не знаю как просто обозначить в ЖЖ]
буду говорить, что lim_(n->00) An=A , если для любого eps >0 есть такое N, что для любого n>N |An#A|/|A|< eps
соответственно, если B,C,D - множества, B - конечное, С - счетное, D - равномощно континууму, то буду считать |B|/|C|=|C|/|D|=0; |C|/|C|=|D|/|D|=1 (можно и другой константе, отличной от 0, все равно она > eps)
почему я выбрал именно такое (|An#A|/|A|< eps) условие? по смыслу оно соответсвует тому, что |An#A|=о(|A|) (хотя это и не корректно). а в обычном определении предела (|Xn-A|< eps) по сути |Xn-A|=o(1) (уже чуть лучше, т.к. Xn=A+an, где {an} - бесконечно малая последовательность). а понятие "сколь угодно малого множества" довольно забавное; на мой взгляд, на такую роль претендует только пустое мн-во, а это уже очень жесткое ограничение.
теперь снова вернемся к задачке про Вовочку. если бы искомый предел A был конечным, то понятно, что начиная с некоторого момента и впредьзначение |An#A| должно быть равным 0. что-то непохоже, не находите?
опять-таки, А не равномощно континууму, ведь А - подмножество множества целых чисел, а их всего лишь счетное количество.
получается, что если предел А и существует, то А - счетное множество. вспомним, что Аn - конечное множество для любого конечного n. поэтому A#An - счетное, соответственно |An#A|/|A|=1> eps.
вроде как получилось, что такого предела А просто не существует...
... ну и ладно! подумаем, что такое такое предел последовательности в своей сути: начиная с какого-то момента, все элементы последовательности отличаются от ее предела незначительно (собственно, почти никак). а для ответа на изначальный вопрос ("укажи мне несъеденную конфету?") нам этого и не надо! то есть этого безусловно достаточно, но...)
итак, нам надо указать такую "конфету" (целую точку), что она начиная с какого-то момента входит во все члены последовательности. а еще лучше, не 1 точку, а множество всех таких точек. мне, почему-то, это напоминает идею с предельными точками последовательности действительных чисел; пожалуй, тем, что это, так сказать, ослабленный вариант предела. итак, запишем:
1) An - последовательность действительных чисел, А - предельная точка: для любого eps>0 существует бесконечно много таких An, что |An-A|0 существует бесконечно много таких An, что |An#A|/|A|(из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность; + из неограниченной - б.б. последовательность).
2) для любого eps>0 существует такое N, что для любого n>N |A\An|/|A|А\В - разность множеств
соответственно, существует последовательность {Bn} такая, что для любого n имеем: Bn - подмножество множества An; {Bn} сходится к предельному множеству А.
упс... получилось 2 совершенно разных определения, причем оба не лишены смысла. правда, для задачи скорее нужно второе)
если А конечно, тогда начиная с некоторого момента А/Аn=A, что не годится.
опять же, А не может быть равномощно континууму.
если А счетное, то |A\An| - тоже счетное, и |A\An|/|A|=1>eps...
остается добавить, что в таком случае кажется логичным считать А - пустым множеством. но тогда надо сделать 1 замечание: доопределить равенство |пустое мн-во|/|пустое мн-во|=1... которое, опять же, не противоречит всему написанному выше.
PS: раз уж Вы дочитали до этого момента, не подскажите, где можно почитать нормальную теорию (пределов последовательностей множеств), которая применима к данной задаче?
сижу, ботаю линал, никого не трогаю. и тут вспоминается задачка, рассказанная мне братом в каком-то далеком классе (7ом плюс-минус 2). задачка формулировалась примерно так:
"есть Вовочка, он сидит перед конвейером. в начальный момент времени на его конвейере есть 0 конфет. в начале каждой минуты на ленту конвейера падают 2 конфеты. в конце минуты он съедает первую (т.е. самую старую) из всех присутствующих на данный момент на ленте конфет. сколько в пределе у него останется конфет?
эта задачка сначала показалась не очень сложной: вроде бы , каждую минуту у него прибавляется по 1 конфете, так что их будет бесконечно много... но тут брат, хитро улыбаясь, задал мне дополнительный вопрос: "укажи мне несъеденную конфету?", - чем благополучно вогнал меня в ступор.
ну так вот, надо было случиться такому, чтобы задачка вспомнилась именно сейчас (когда я должен бы сидеть ботать линал). правда, теперь я же не в 7(?)ом классе... так что, получились кое-какие результаты
думаю, стандартный метод решения подобных задач - для начала свести ее к более математической формулировке.
у меня получилось так:
есть последовательность полуинтервалов {An}: (0,2],(1,4],(2,6]...(n,2n+2]...
отождествим An со всеми целыми точками на каждом из этих интервалов (ведь точки соответствуют конфетам на конвейере в середине соответствующей минуты).
вопрос задачи: чему равен предел последовательности {An}?
ну, тут можно вспомнить курс матана, более того, самое его начало... получить какой-то результат. а потом вспомнить 1 из определений предела последовательности вещественных чисел. да-да, вещественных чисел. а у нас элементы последовательности - множества. но все же:
{Xn} - последовательность вещественных чисел. говорят, что A - предел этой последовательности при n->00 [при n стремящемся к бесконечности], если для любого eps>0 существует такое N, что для любого n>N имеем: |Xn-A|00) Xn = A
стало быть, хочется ввести что-нибудь подобное и для множеств, ведь задачка-то у нас про множества! сказано - сделано:
{An} - последовательность множеств А1, А2, ... Аn...
|A| - мощность мн-ва А
A#B - симметрическая разность (объединение без пересечения) [обозначу так, не знаю как просто обозначить в ЖЖ]
буду говорить, что lim_(n->00) An=A , если для любого eps >0 есть такое N, что для любого n>N |An#A|/|A|< eps
соответственно, если B,C,D - множества, B - конечное, С - счетное, D - равномощно континууму, то буду считать |B|/|C|=|C|/|D|=0; |C|/|C|=|D|/|D|=1 (можно и другой константе, отличной от 0, все равно она > eps)
почему я выбрал именно такое (|An#A|/|A|< eps) условие? по смыслу оно соответсвует тому, что |An#A|=о(|A|) (хотя это и не корректно). а в обычном определении предела (|Xn-A|< eps) по сути |Xn-A|=o(1) (уже чуть лучше, т.к. Xn=A+an, где {an} - бесконечно малая последовательность). а понятие "сколь угодно малого множества" довольно забавное; на мой взгляд, на такую роль претендует только пустое мн-во, а это уже очень жесткое ограничение.
теперь снова вернемся к задачке про Вовочку. если бы искомый предел A был конечным, то понятно, что начиная с некоторого момента и впредьзначение |An#A| должно быть равным 0. что-то непохоже, не находите?
опять-таки, А не равномощно континууму, ведь А - подмножество множества целых чисел, а их всего лишь счетное количество.
получается, что если предел А и существует, то А - счетное множество. вспомним, что Аn - конечное множество для любого конечного n. поэтому A#An - счетное, соответственно |An#A|/|A|=1> eps.
вроде как получилось, что такого предела А просто не существует...
... ну и ладно! подумаем, что такое такое предел последовательности в своей сути: начиная с какого-то момента, все элементы последовательности отличаются от ее предела незначительно (собственно, почти никак). а для ответа на изначальный вопрос ("укажи мне несъеденную конфету?") нам этого и не надо! то есть этого безусловно достаточно, но...)
итак, нам надо указать такую "конфету" (целую точку), что она начиная с какого-то момента входит во все члены последовательности. а еще лучше, не 1 точку, а множество всех таких точек. мне, почему-то, это напоминает идею с предельными точками последовательности действительных чисел; пожалуй, тем, что это, так сказать, ослабленный вариант предела. итак, запишем:
1) An - последовательность действительных чисел, А - предельная точка: для любого eps>0 существует бесконечно много таких An, что |An-A|0 существует бесконечно много таких An, что |An#A|/|A|(из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность; + из неограниченной - б.б. последовательность).
2) для любого eps>0 существует такое N, что для любого n>N |A\An|/|A|А\В - разность множеств
соответственно, существует последовательность {Bn} такая, что для любого n имеем: Bn - подмножество множества An; {Bn} сходится к предельному множеству А.
упс... получилось 2 совершенно разных определения, причем оба не лишены смысла. правда, для задачи скорее нужно второе)
если А конечно, тогда начиная с некоторого момента А/Аn=A, что не годится.
опять же, А не может быть равномощно континууму.
если А счетное, то |A\An| - тоже счетное, и |A\An|/|A|=1>eps...
остается добавить, что в таком случае кажется логичным считать А - пустым множеством. но тогда надо сделать 1 замечание: доопределить равенство |пустое мн-во|/|пустое мн-во|=1... которое, опять же, не противоречит всему написанному выше.
PS: раз уж Вы дочитали до этого момента, не подскажите, где можно почитать нормальную теорию (пределов последовательностей множеств), которая применима к данной задаче?