Произошло это слово от старинного женского головного убора, так называемой "кички".
Кички были разные по форме, они напоминали рога, копытца и даже лопату.
Рога на Руси считались оберегом для матери и по поверьям защищали ребёнка от темных сил и сглаза. Высота таких рогов иногда доходила до 20 см, поэтому в рогатой кичке было принято ходить, запрокинув голову. Отсюда и пошло понятие кичиться, - значит ходить с высоко поднятой головой.
Источник: www.liveinternet.ru/users/3287612/post478313749/