"Истина" - ещё раз об теоремы Гёделя
2013 год - видео с попытками 2 философов и 1 физика (вроде бы) поговорить о философском смысле теорем Гёделя о неполноте:
https://www.youtube.com/watch?v=WTzhBSBbyaI
1:03:13
Теоремы Геделя и вопрос истинности высказываний
Философский Штурм, 2 тыщ просмотров, 21 янв. 2013 - 13,8 тыс. подписчиков
[Spoiler (click to open)]
Методология математики и логики
Обсуждается семантическая сторона теорем Геделя о неполноте в аспекте вопроса истинности высказываний. Первый пробный ("первый блин комом") семинар на тему "негуманитарной философии". Проблемы Гильберта. Формализация математики. Непротиворечивость и полнота формальных систем. Семинар "Философского Штурма" (http://philosophystorm.ru/). Состоялся 19.01.13.
Докладчик: Гатиятуллин Булат (к.ф.н)
Оппоненты: Данилов Игорь (к.ф.н), Болдачев Александр, Горшков Александр, Махина Наталья, Перфильев Станислав, Румянцева Славяна
00) Об авторах. [Spoiler (click to open)]
Основной выступающий - "докладчик" - Гатиятуллин Булат (к.ф.н) - сидит на фоне плазменного ТВ.
Пузан, появляющийся из-за кадра слева, а потом и в кадре - скорее всего Данилов Игорь (к.ф.н) - он и в других видео составляет пару Гатиятуллину.
Что за чел сидит между ними - не разобрался, но знает физику и немного математику.
Остальные подают голос крайне редко и отдельными фразами.
Страница на их сайте - с обсуждением:
===
http://philosophystorm.org/video/3504
Семинар Ф-штурма: "Теоремы Геделя и вопрос истинности высказываний", 19.01.13
[Spoiler (click to open)]
Систематизация и связи
Термины: дедукция, истинность, семантика, система, язык
Обсуждается семантическая сторона теорем Геделя о неполноте в аспекте вопроса истинности высказываний. Первый пробный ("первый блин комом") семинар на тему "негуманитарной философии". Проблемы Гильберта. Формализация математики. Непротиворечивость и полнота формальных систем. Семинар "Философского Штурма". Состоялся 19.01.13.
Докладчик: Гатиятуллин Булат
теги: дедукция, истинность, семантика, система, язык, Гильберт, Колмогоров, теорема Геделя
===
В обсуждении буянят диаматчики - ищут что в математике "изменяется", чтоб применить к ней свои "законы диалектической логики". Только плох у них уровень дискуссий - не в курсе они даже области условной применимости собственного диамата - реальность, в которой есть изменения. А в абстракциях математики нет изменений в принципе - они как придумываются - так и остаются придуманными навсегда. Есть лишь развитие формализации того, что придумали, но это уже про историю науки, а не про сами абстракции: потому как абстракции не меняются, а если они оказываются негодными - берут другие абстракции. Например, теория множеств с противоречиями между аксиомами (с множеством-всех-множеств и парадоксом Рассела) осталась той же самой теорией, только её обозвали "наивной теорией множеств" (хотя "наивными", вроде бы, называют те теории, что делают без аксиом?). Но она до сих пор обсуждается и никуда не делась, не поменялась. Как и все последующие доработки и варианты. Потому что они все имеют какой-то свой смысл и применимость. Нет такого, чтоб что-то полностью заменило их всех и случился диалектический "переход количества в качество".
===
http://philosophystorm.org/video/3504#comment-38368
mp_gratchev, 24 Январь, 2013 - 09:50, ссылка
Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления. [Spoiler (click to open)]
Что произойдёт если эту застывшую систему Si привести в движение? И вообще, каким образом можно осуществить подобную операцию? Через взаимодействие с подобными застывшими системами Sj, Sk, Sm ... Sn. Эта задача решается в элементарной диалектической логике. В ней как раз описывается технология взаимодействия таких застывших систем.
На философском языке проблема будет звучать так:
"всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления неизбежно оказывается несовершенной - в ней содержатся либо противоречия, либо проблемы, для решения которых данной (застывшей!) системы недостаточно".
Диалектический смысл открытия Гёделя состоит в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления.
===
У диаматчика нет иного интереса, как попытаться показать, как диамат лучше других "застывших теорий" с обычной логикой. Мол, Гедёль показал, что такая логика приводит к тому, что нельзя кое-что доказать в застывших теориях. Ну так а в диамате вообще ничего нельзя доказать, потому что это не логика, не наука, а просто шаманские пляски с бубном с попытками навести свою интерпретацию задним числом - т.е. без точных количественных предсказаний, проверяемых эмпирикой.
Что же до теоремы Гёделя и арифметики Пеано (+ теорий, которые её включают) - то недоказуемость и опровергаемость изнутри таких теорий бесконечного числа их утверждений/формул, невозможность доказательства изнутри них их непротиворечивость - "это не баг, а фича": это то, что ограничивает пределы познания в принципе, т.к. все остальные варианты познания, которые бы были попытками обойти эти "недостатки" - НЕДОКАЗАТЕЛЬНЫЕ. Так же диалектическая логика - она в принципе не способна ничего доказать, а не только доказать хотя бы то, что доказывается нормальной мат.логикой про ограничения формальных систем.
0) Собирался написать небольшое пояснение перед разбором видео, но получился самостоятельный текст, [Spoiler (click to open)]после которого сам разбор лень приводить в читаемое состояние из конспекта. Могу лишь сказать, что после просмотра нескольких лекций по теореме Гёделя, чтения статей на Википедии и вникания во всё это - обсуждение на видео перестало казаться непонятным: пара человек физик (которого я сначала считал математиком и в конспекте он "математик") и философ в кадре обсуждают вполне понятную мне тему, в которой сами не особо разобрались, и их тезисы - в лучшем случае - просто вспоминание того, что они плохо знают. Эпизодически появляется ещё третий (толстяк, в конце кадр двигают и он виден), который смог вспомнить о том, что континуум-гипотеза не разрешима на ZF (ZF, ZFC):
https://ru.wikipedia.org/wiki/Континуум-гипотеза
И все. Т.е. видео само по себе не несёт информационной ценности. Оно ценно как тренировочное - для проверки того, как сам разбираешься в теме, всё ли понимаешь, способен ли не заснуть на ней из-за перегрузки. У меня впечатление, что я не первый раз слушал этот спор, и в первый раз мало чего понял - т.к. просто не познакомился заранее с терминологией и выпадал на всех косвенных ссылках на какие-то обстоятельства, которые не знал совсем или знал поверхностно. А сейчас слушал эти же места так: ага, тут этот ссылается на то-то - и записывал это в конспект - в одну строчку, от которой видел лишь пару-тройку десятков символов.
0-А) Пишу по теме, в которой у меня нет ясного понимания с целью это понимание достичь, [Spoiler (click to open)]пусть даже не за 1 шаг, не за один пост. Т.е. стоит иметь в ввиду - что наверняка я сейчас что-то понимаю криво, ошибаюсь, но мне важно зафиксировать какой-то текущий свой уровень со всеми косяками, чтоб уже отталкиваясь от него добиваться чего-то лучшего. И без проговаривания своих ошибочных идей их трудно исправить, а проговаривание - может кого-то ввести в заблуждение. Такие тут риски и возможности.
Если максимально обобщить тему - то она об "Истине": что это такое и как пользоваться этим понятием, термином в разных областях. Тема "Истины" связана с интересующей меня темой "аргументации". "Аргументация" и "должна" "приводить" к "Истине" (в каком-то понимании всех этих слов, а в каком-то понимании - всё сложнее).
Ранее много постов у меня было по теме " научный метод" - как о лучшем методе узнать что-то о реальном мире.
У этого метода есть неустранимые препятствия к установлению абсолютной "Истины", которые выяснил Поппер - что можно установить точно лишь про отрицание (фальсификацию) теории о реальности, а не про подтверждение такой теории. Из чего вышел его "критерий фальсифицируемости" (опровержимости) - как "критерий науки". А точнее - критерий "научности" теории, да не всякой, а про реальность - ибо проверять и опровергать её предлагается эмпирикой. Т.е. "фальсифицируемость Поппера" работает только в эмпирических науках. В науках не связанных с реальностью - не работает: их не опровергнуть эмпирикой.
По итогу проблемы научного метода в том, чем именно он является - они не устранимые. Научный метода - это ВЕРОЯТНОСТНЫЕ обобщения и предсказания "неполной индукции" - индукции на НЕПОЛНОЙ статистике по НЕТОЧНЫМ эмпирическим данным. Т.е. тут и вероятность, и неточность, и неполнота - всё это принципиально не устранимо в том, что неисчислимо, что невозможно полностью перебрать, пересчитать и точно всё проверить. Реальность именно такая - в ней всё (физические параметры) измеряется неточно, с какой-то конечной точностью, со статистикой разброса измерений, и никогда полностью не промеряется всё, что может быть. Потому что возможность будущего уже делает что-то не промеренным к настоящему моменту времени.
А тема теоремы Гёделя - она про аналогичную проблему "Истины" уже в абстрактной математике. Если обобщённо - то она про то, что у "формальных систем" (ФС) невозможно наличие сразу 3 качеств: "богатства", "непротиворечивости" и "полноты". И как раз через чёткость определений и доказательств языка формальных систем и возможна более чёткая проработка темы "Истины" и всех с ней связанных - т.к. только чёткость определений позволяет отделять похожие понятия друг от друга. Когда же нет такой чёткости - то разговор сводится в простую болтовню ни о чём. Так что именно в этом важность темы математики при обсуждении темы "Истины" - в том, чтоб разделить тему на подтемы (расплывчатые понятия на чёткие термины), которые из бытовых представлений не различаются, и уже с помощью этой терминологии прояснять тонкости и детали, не видимые из "наивных" представлений о мире и абстракциях.
Кроме того, чем больше разных эквивалентных вариантов описания - тем легче мозгу будет обобщать абстракции: обобщается повторное, а не уникальное. И в математике как раз много доказано альтернативных эквивалентных формальных систем, на которых все эти теоремы Гёделя работают - будет что обобщать, если с ними разобраться.
"Непротиворечивость" означает, что из исходных аксиом нельзя вывести хотя бы одно утверждение и одновременно его отрицание.
"Полнота" означает, что из исходных аксиом можно вывести для любого корректного утверждения либо его само, либо его отрицание.
По поводу "богатства" ФС. Для геометрии (Евклида, Лобачевского, Римана - не путать с римановой), для логики Буля (высказываний) и Фреге (предикатов первого порядка) - доказывается, что такие системы полны и непротиворечивы. Но каких-то утверждений в них сказать нельзя - выразить формально - например, закодировать внутри них формулы, утверждения. Именно это цена их полноты и непротиворечивости - отсутствие "богатства" ФС, возможности говорить о чём-то более сложном. Что это такое? Не до конца разобрался - не нашёл формального определения и того, как оно используется.
Тут условия на формальную систему (теорию), к которой применима теорема Гёделя: [Spoiler (click to open)]
с 2:13:00 - https://youtu.be/JRbpw_2LniI?t=7982
(1) перечислимая - все формулы можно пронумеровать рекурсией (не работает для теорий 2го порядка и для теорий с атомами, определёнными на континууме)
(2) сигма1-корректность (формулы только дельта0 и сигма1 уровня: дельта0-функции - без свободных переменных или с ограниченными кванторами на них - чтоб перебор был конечный, сигма1 - с квантором существования для переменной на дельта0-функциях - об этом подробнее с 9 мин - https://youtu.be/sTr9SQxPeTM?t=540, на 21 минуте - про связь выводимости в арифметике Пеано и истинности в стандартной модели N - т.е. "выводимость" и "истинность" определены в разных, хоть и связанных сущностях, на 46 мин. - что уже пи1-функции, у которых на переменные квантор всеобщности - они могут быть "недоказуеыми" в арфиметике Пеано, но "истинными" в стандартной модели)
(3) в теории выразимы аксиомы арифметики Пеано
Но так же это как-то связано с "общезначимостью". И тут тоже у меня не хватает понимания - ибо математика тоже "общезначима" (всегда "Истинна") - но в каком-то другом смысле (не зависит от подставляемых вместо абстракций сущностей - главное. чтоб для них выполнялись аксимомы), хотя в ней есть то, что недоказуемо. Но, вроде бы это связано с тем, что есть ФС (?или в "сигнатурах" - в ФС без аксиом?), а есть Модели на их основе (?или это как раз ФС с аксиомами?), и то, что в ФС(сигнатурах) называется "выводимостью", в Моделях (ФС с аксиомами) называется "Истинностью". Т.е. "истинность" - это всего лишь выводимость из аксиом, которые внутри формальной системы по определению считаются "Истиной". Но при попытке применить эту ФС/Модель к чему-то другому (например, к реальности, например, в рамках научного метода) то "Истина" уже там будет определяться не только тем, что такое "Истина" в ФС/Модель, но и тем, как ФС/Модель своими аксиомами попадает в реальность, насколько они "истинны" в реальности.
Что же до "богатства" ФС - то "богатой" считается уже арифметика. Не выяснял, в чём именно это выражается, и каково применённое тут определение "богатства". Но как минимум на ряде натуральных чисел с нулём и на арифметических действиях можно устроить довольно сложную систему кодировки - просто закодировать в натуральные числа любую формулу арифметики. Используется единственность разложения числа на простые множители. Простые числа выделяются в отдельный ряд, которым нумеруются позиции знаков в формулах, и возводятся они в номер знака (их всего 12 в арифметике Пеано (AP)) - так получается число (номер) Гёделя для формул. А для кодирования доказательств - последовательности простых чисел сопоставляются формулы доказательств, и возводятся эти числа уже в числа Гёделя формул. Получаются безумные по размеру числа, но они - всего лишь запись в натуральных числах доказательств и формул однозначно связанные с привычной арифметической записью. Это называется "арифметизация доказательств".
А раз так, то в таких формулах можно использовать эти числа Гёделя как указатель на формулы и доказательства. Что приводит к рекурсии, к самореферентости, к парадоксу лжеца и порочному кругу. И из этого доказывается, что выводимых формул больше, чем несчётное число. Делается это нумерацией формул по числам Гёделя и добавлением к формулам модификатора (например, +1 в формуле с неравенством), не изменяющим их истинность, но выводящего из нумерованного списка. (Тут я немного плаваю - по поводу того, что делает модификатор и как).
И так.
Есть теорема Гёделя о полноте - полноте исчисления предикатов:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гёделя_о_полноте
Она про полноту логики предикатов 1 порядка (в которой нельзя примерять предикаты к предикатам - т.е. парадокс лжеца невозможен из-за невозможности его выразить)
Есть 2 теоремы Гёделя о неполноте:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теоремы_Гёделя_о_неполноте
Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.
Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.
===
"Формальная арифметика" - это "арифметика Пеано" - с аксиомами Пеано (или эквивалентными им аксиомами Тарского, только 1-го порядка). "Непротиворечивость" такой арифметики доказывается из формальной системы с другой аксиоматикой - с добавлением трансфинитных чисел Кантора. И есть целая последовательность вложенных друг в друга формальных систем: ИП (исчисление предикатов) - арифметика Пеано - ... - ZF (аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля). Дальше обобщить не удаётся, а новые ФС получаются лишь добавлением отдельных аксиом. (ССЫЛКА НА ЛЕКЦИЮ - Казимиров - теорема Гудстейна, введение с историческим контекстом: https://www.youtube.com/watch?v=IS_PazHA2_0) (ССЫЛКА НА ЛЕКЦИЮ - Сосинский с 25 минуты: S⊂P⊂N⊂ZF - исчисление высказываний -в- исчислении предикатах -в- аксиоматике Пеано на натуральных числах -в- системе аксиом теории множеств https://www.youtube.com/watch?v=hnTdreOY_Wc)
Всё это прояснение "Истины" в математике нужно для того, чтоб выйти из формальной системы в другие области.
Простейший и естественный выход - в эмпирические науки, где математика обеспечивает теормодель, подсчёт статистики и погрешности измерений. А то, что в принципе не разрешимо в математике - скорее всего не будет и в природе. На этот счёт есть ограничения природы на выяснение "Истины": неопределённость Гейзенберга и отсутствие скрытых параметров в квантовой механике, 2 принцип термодинамики, динамический хаос задачи 3 и более тел. (ССЫЛКА НА ЛЕКЦИЮ - Сосинский 7 минута: https://www.youtube.com/watch?v=hnTdreOY_Wc)
0-Б) Это всё про "истину" научную - где цель: ПОЗНАНИЕ и практические предсказания для технических применений. А есть ещё куча других "истин" - [Spoiler (click to open)]например, религиозные. И аргументация там совсем другая. И для споров так или иначе придётся научную аргументацию додумывать до того, чтоб её возможно было использовать в аргументации, которая была бы применима в системах с другими формами аргументации, с другими целями - уже не для познания и практических предсказания для использования в технике. И тут уже будет важно, что никакой "абсолютной Истины" никто гарантировать не может - т.е. не просто "узнать" что-то (что может быть самообманом и ошибкой восприятия, а не "даром Божьим" или "откровением"), но гарантированно и доказательно её отделить от неистины. Гарантии и аргументированное доказательство (но не абсолютное) даёт только научный метод. А всё остальное - вера, привычки и предрассудки.
Что мне встречалось по поводу религии и "Истины".
Проблема Зла в авраамических религиях - логика несовместимости того, что Бог - всеблаг, всесилен и всеведущ:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_зла
Одна из современных трактовок:[2]
Бог существует.
Бог всемогущий, всеведущий, и всеблагой.
Всеблагой хочет уничтожить зло.
Всезнающий знает, откуда берётся зло и как его можно уничтожить.
Всемогущий способен противостоять злу.
Богу известны все причины появления зла, он способен препятствовать появлению зла и желает его уничтожить.
Если всемогущий, всеведущий, и всеблагой Бог действительно существует, то существование зла невозможно.
Но зло существует (логическое противоречие).
===
Видел, как это решали: допускали свободу воли Бога - чтоб он мог поступать не всеблаго, а ещё и творить зло. Кстати, могли бы просто разрешить Богу не заморачиваться и всегда следовать всеблагости (творить зло), всеведенью (не обращать на что-то внимание), всесилию (для каких-то целей не применять всесилие).
Потому как есть и другие логические парадоксы:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_всемогущества
парадокс возникает из представления о всемогущем существе, способном ставить перед собой невыполнимые задачи или воплощать в объективной реальности логически противоречивые словесные конструкции («квадратный круг»). Такое понимание всемогущества отвергается большинством представителей западной религиозно-философской традиции - от Фомы Аквинского до Алвина Плантинги[en][1]. Комплекс логических проблем, связанных с парадоксом всемогущества, иногда рассматривается как доказательство невозможности существования Бога, хотя по утверждению многих христианских теологов и философов (Норман Гайслер[en], Уильям Лейн Крейг) представление о беспредельном всемогуществе, пренебрегающем законами логики, чуждо ортодоксальному христианскому богословию. Другие попытки решения парадокса сводятся к уточнению содержания понятий «всемогущество» и «Бог», а также выяснению вопроса о том, является ли сам Бог объектом приложения своего всемогущества.
Парадокс всемогущества упоминается в работах средневековых теологов по меньшей мере с XII века; к нему обращались Ибн Рушд (1126-1198) и Фома Аквинский (ок. 1225-1274). У Псевдо-Дионисия Ареопагита (до 532) встречается одна из ранних версий парадокса - вопрос о том, может ли Бог «отрицать самого себя».
Наиболее известной версией парадокса всемогущества является так называемый «парадокс камня»: «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?»[2]. Такая формулировка парадокса уязвима для критики ввиду неточности терминов, отсылающих к физической природе гравитации: так, вес предмета определяется силой воздействия на него местного гравитационного поля. Существуют альтернативные формулировки парадокса, свободные от указанного недостатка: «Может ли всемогущее существо, действуя в рамках геометрии Евклида, создать треугольник, сумма углов которого не равна 180 градусов?» и «Может ли Бог создать настолько надёжную тюрьму, что сам не сможет из неё вырваться?».
Парадокс всемогущества является частным случаем парадокса Рассела.
===
Логика математики выворачивает всё наизнанку по сравнению с бытовым "здравым смыслом": если в каком-то "языке" (формальной системе) возможны утверждения всегда приводящие к противоречиям, то это сам "язык" (формальная система) противоречива, а не то, о чём этот "язык" говорит:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Рассела
Парадокс Рассела можно сформулировать в наивной теории множеств. Следовательно, наивная теория множеств является противоречивой.
===
Кроме того попадались другие способы избежать логических парадоксов - например, через прямой запрет на изучение свойств Бога: мол, верьте как есть, а изучать не по данной Богом Торе, Корану - нельзя, мол, это язычество и неверие в Бога или ещё какой-то харам. Т.е. административными мерами исправили логический парадокс - запретили его. А по поводу Библии говорилось, что её писали люди - потому противоречивость - это воспринимается как доказательство её подлинности, ибо трудно разным людям согласовать всё в мелких деталях. Т.е. Священное Писание скрывает "Истину" за ошибками несовершенных человеков, которые пересказали её по-разному. Эдакий аналог неопределённости Гейзенберга, за которым невозможно установить что-то слишком точно.
Это я к тому, что понятие "Истины" - оно может быть самым неожиданным, что приводить к таким разным последствиям.
Кстати, ещё вариант преодоления парадоксов и противоречий - "испортить логику" - вместо нормальной логики использовать "диалектическую логику", в которой допускаются эквивокации, невыполнение исключения третьего, изменение во времени.
1) Заметки по ходу просмотра видео. [Spoiler (click to open)]Не очень точные - т.к. по ходу просмотра я сам не всё вспомнил, и когда на кого-то возмущался, мог и сам быть неправым. Но сейчас это не важно - т.к. я просто проверял собственные знания и понимание, которые потом освежал в Википедии.
в начале - поминается Гегель (философом) - как аналог венского кружка описать всё логикой - математик против - т.к. у него "логика диалектическая"
математику можно свести к арифметике, а в арифметике уже такая вот проблема с теоремой Гёделя
(как я понимаю - до выяснения, что такое Истина - они не дойдут, хотя это видимо про то, что в Моделях Истина - это всего лишь сведение всего к аксиомам, которые в Модели принимаются за Истину - т.е. истинность модели условная - если истинны аксиомы в том применении Модели, который используется
9: вся логика сводится к арифметике ?? - а разве в логике 1 порядка нет полноты и непротиворечивости одновременно? - т.е. совсем всё проще, чем в арифметике?
10: зашёл разговор, что якобы "есть другая арифметика - трансфинитная, в которой "доказали что арифметика непротиворечива"" - ?? а доказали ли ??* -- вообще всё напутал: противоречий в AP нет, есть неполнота, а трансфинитные числа - это уже другая арифметика - что же до "отказа от аксиом" - это вообще чушь какая-то
На слух не сразу вспомнил, что к чему, потому потом проверил по Википедии - и таки да - всё по ней шпарит.
10:35 + поминается ZF - из неё следует арифметика -- как раз в ZF и возникают трансфинитные числа как рекурсивные подмножества
спор - не подготовились - про то, есть ли в ZF аналог т.Гёделя о неполноте - есть
13:30 чел за кадром "вывести всю математику из мат.логики" - что-то он городит, уже доказано, что это невозможно - что даже арифметика пеано не сводима к логике
18: - "непротиворечива" - понимают, "неполна" - не понимают, что это означает - а всего-то - что некоторое утверждение не может быть доказано или опровергнуто из аксиом конкретной формальной системы
20: 2 формулировки т.Г о неполноте + разговор истинность=выводимость - если арифметика непротиворечива то в ней есть невыводимая формула / в любой достаточно богатой формальной системе существуют утверждения истинность или ложность которых невозможно доказать, сошлись, что истинность=выводимости (вроде бы это термины определённые на разных классах - ФС-выводимость и Модель-истинность - математик - в формальной системе аксиомы и есть истина -- кто-то уже это разобрал - аксиомы исключительно абстрактные основы ФС, а философ пытается говорить о постулатах - которые даны из реальности на какую-то модель реальности
25: философ - про т.Г - доказывается так, что есть рекурсия между термами и формулами в ФС (я - выводящая ФС из счётной системы, в несчётную
философ правильно обозначил идею: А=А-невыводима в S - это про то, чтоб доказать саму возможность изнутри ФС доказывать её полноту (и непротиворечивость? - противоречивость ФС доказывается противоречием??)
29: - 3 вида истинности: 1) референтная (как "на самом деле" - из чего-то внешнего - видимо про постулаты сюда), 2) логическая - аксиомы=истине, 3) автореферентная (это философ про формулу Гёделя, говорящую о своей невыводимости) - не понял, где тут автореферентная истинность - тут просто "доказательство от противного" и выход на парадокс лжеца, который не разрешим в логике/ФС 1 порядка
какие-то шуе рисунки дедуктивных истин и самореферентных - и мол Колмогров доказал, что дедуктивных истин счётное число, а автореферентных несчётное -- Я: про Колмогорова - возможно, но у меня сложность понимания "самореферентных истин" - как это вообще хоть где-то формализовано?
теория алгоритмов истинных формул (а не суждений)
"истинных формул" всегда больше (из-за наличия несчётного числа истинных автореферентно - тезис философа с отсылкой якобы к Колмогорову) чем выводимых из аксиом (коих счётное число) - однако доказательство этого было в том, что берётся нумерация алгоритмов, и к какой-то из них модифицируется (что-то дописывается на выход) - и такого алгоритма с уже не оказывается -- не запомнил точно)
42: про введение понятия Истины: 1) истинно то, что выводится из аксиом (ОК!), 2) всё, что можешь осмысленное высказать в ФС и есть теорема
44: ф.опять повторил, что "изнутри системы нельзя доказать "её непротиворечивость" (Я: а не её полноту (про полноту другая теорема - где нельзя доказать или опровернуть некую формулу) - проверил - я не прав, а философ прав - там про невыводимость формулы содержательно утверждающей непротиворечивость арифметики)
кстати - про "доказательство непротиворечивости арифметики - это к Герхарду Гольдбаху - см. вики Проблемы Гильберта №2 - ссылка 3)
47: ф.думал, что полнота про все утверждения, а она только про дедуктивные (? а не наоборот ли? про то, чтоб выводить любое осмысленное утверждение или его отрицание)
49: - ушли куда-то в "элемент веры в любом высказывании" - в формальной системе не важна внешний мир и вера в то, что ФС хоть чему-то во внешнем мире соответствует
50: толстый путает разговор о реальности и разговор в рамках ФС - для выхода в реальность нужна эмпирика и научный метод со своими неточностями и вероятностью
54: ф. опять про 3 вида истинности - и тут уже другой вариант сортировки: 1) аксиомы, 2) что выведено из аксиом - логическое, 3) самовыведенное - автореферентное - до того говорил про 1 - как про референс - я понял, как про сравнение с реальностью "как на самом деле" - а теперь оказывается, что всего лишь про то, из чего истины выводятся - т.е. про аксиомы
57: ф.узнал, что рекурентно и автореферентно - не одно и тоже
1:0:0 про континуум гипотезу - что между мощностью счётных и континуум множеств не существует промежуточных мощностей - мол, она не выводима
https://www.youtube.com/watch?v=WTzhBSBbyaI
1:03:13
Теоремы Геделя и вопрос истинности высказываний
Философский Штурм, 2 тыщ просмотров, 21 янв. 2013 - 13,8 тыс. подписчиков
[Spoiler (click to open)]
Методология математики и логики
Обсуждается семантическая сторона теорем Геделя о неполноте в аспекте вопроса истинности высказываний. Первый пробный ("первый блин комом") семинар на тему "негуманитарной философии". Проблемы Гильберта. Формализация математики. Непротиворечивость и полнота формальных систем. Семинар "Философского Штурма" (http://philosophystorm.ru/). Состоялся 19.01.13.
Докладчик: Гатиятуллин Булат (к.ф.н)
Оппоненты: Данилов Игорь (к.ф.н), Болдачев Александр, Горшков Александр, Махина Наталья, Перфильев Станислав, Румянцева Славяна
00) Об авторах. [Spoiler (click to open)]
Основной выступающий - "докладчик" - Гатиятуллин Булат (к.ф.н) - сидит на фоне плазменного ТВ.
Пузан, появляющийся из-за кадра слева, а потом и в кадре - скорее всего Данилов Игорь (к.ф.н) - он и в других видео составляет пару Гатиятуллину.
Что за чел сидит между ними - не разобрался, но знает физику и немного математику.
Остальные подают голос крайне редко и отдельными фразами.
Страница на их сайте - с обсуждением:
===
http://philosophystorm.org/video/3504
Семинар Ф-штурма: "Теоремы Геделя и вопрос истинности высказываний", 19.01.13
[Spoiler (click to open)]
Систематизация и связи
Термины: дедукция, истинность, семантика, система, язык
Обсуждается семантическая сторона теорем Геделя о неполноте в аспекте вопроса истинности высказываний. Первый пробный ("первый блин комом") семинар на тему "негуманитарной философии". Проблемы Гильберта. Формализация математики. Непротиворечивость и полнота формальных систем. Семинар "Философского Штурма". Состоялся 19.01.13.
Докладчик: Гатиятуллин Булат
теги: дедукция, истинность, семантика, система, язык, Гильберт, Колмогоров, теорема Геделя
===
В обсуждении буянят диаматчики - ищут что в математике "изменяется", чтоб применить к ней свои "законы диалектической логики". Только плох у них уровень дискуссий - не в курсе они даже области условной применимости собственного диамата - реальность, в которой есть изменения. А в абстракциях математики нет изменений в принципе - они как придумываются - так и остаются придуманными навсегда. Есть лишь развитие формализации того, что придумали, но это уже про историю науки, а не про сами абстракции: потому как абстракции не меняются, а если они оказываются негодными - берут другие абстракции. Например, теория множеств с противоречиями между аксиомами (с множеством-всех-множеств и парадоксом Рассела) осталась той же самой теорией, только её обозвали "наивной теорией множеств" (хотя "наивными", вроде бы, называют те теории, что делают без аксиом?). Но она до сих пор обсуждается и никуда не делась, не поменялась. Как и все последующие доработки и варианты. Потому что они все имеют какой-то свой смысл и применимость. Нет такого, чтоб что-то полностью заменило их всех и случился диалектический "переход количества в качество".
===
http://philosophystorm.org/video/3504#comment-38368
mp_gratchev, 24 Январь, 2013 - 09:50, ссылка
Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления. [Spoiler (click to open)]
Что произойдёт если эту застывшую систему Si привести в движение? И вообще, каким образом можно осуществить подобную операцию? Через взаимодействие с подобными застывшими системами Sj, Sk, Sm ... Sn. Эта задача решается в элементарной диалектической логике. В ней как раз описывается технология взаимодействия таких застывших систем.
На философском языке проблема будет звучать так:
"всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления неизбежно оказывается несовершенной - в ней содержатся либо противоречия, либо проблемы, для решения которых данной (застывшей!) системы недостаточно".
Диалектический смысл открытия Гёделя состоит в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления.
===
У диаматчика нет иного интереса, как попытаться показать, как диамат лучше других "застывших теорий" с обычной логикой. Мол, Гедёль показал, что такая логика приводит к тому, что нельзя кое-что доказать в застывших теориях. Ну так а в диамате вообще ничего нельзя доказать, потому что это не логика, не наука, а просто шаманские пляски с бубном с попытками навести свою интерпретацию задним числом - т.е. без точных количественных предсказаний, проверяемых эмпирикой.
Что же до теоремы Гёделя и арифметики Пеано (+ теорий, которые её включают) - то недоказуемость и опровергаемость изнутри таких теорий бесконечного числа их утверждений/формул, невозможность доказательства изнутри них их непротиворечивость - "это не баг, а фича": это то, что ограничивает пределы познания в принципе, т.к. все остальные варианты познания, которые бы были попытками обойти эти "недостатки" - НЕДОКАЗАТЕЛЬНЫЕ. Так же диалектическая логика - она в принципе не способна ничего доказать, а не только доказать хотя бы то, что доказывается нормальной мат.логикой про ограничения формальных систем.
0) Собирался написать небольшое пояснение перед разбором видео, но получился самостоятельный текст, [Spoiler (click to open)]после которого сам разбор лень приводить в читаемое состояние из конспекта. Могу лишь сказать, что после просмотра нескольких лекций по теореме Гёделя, чтения статей на Википедии и вникания во всё это - обсуждение на видео перестало казаться непонятным: пара человек физик (которого я сначала считал математиком и в конспекте он "математик") и философ в кадре обсуждают вполне понятную мне тему, в которой сами не особо разобрались, и их тезисы - в лучшем случае - просто вспоминание того, что они плохо знают. Эпизодически появляется ещё третий (толстяк, в конце кадр двигают и он виден), который смог вспомнить о том, что континуум-гипотеза не разрешима на ZF (ZF, ZFC):
https://ru.wikipedia.org/wiki/Континуум-гипотеза
И все. Т.е. видео само по себе не несёт информационной ценности. Оно ценно как тренировочное - для проверки того, как сам разбираешься в теме, всё ли понимаешь, способен ли не заснуть на ней из-за перегрузки. У меня впечатление, что я не первый раз слушал этот спор, и в первый раз мало чего понял - т.к. просто не познакомился заранее с терминологией и выпадал на всех косвенных ссылках на какие-то обстоятельства, которые не знал совсем или знал поверхностно. А сейчас слушал эти же места так: ага, тут этот ссылается на то-то - и записывал это в конспект - в одну строчку, от которой видел лишь пару-тройку десятков символов.
0-А) Пишу по теме, в которой у меня нет ясного понимания с целью это понимание достичь, [Spoiler (click to open)]пусть даже не за 1 шаг, не за один пост. Т.е. стоит иметь в ввиду - что наверняка я сейчас что-то понимаю криво, ошибаюсь, но мне важно зафиксировать какой-то текущий свой уровень со всеми косяками, чтоб уже отталкиваясь от него добиваться чего-то лучшего. И без проговаривания своих ошибочных идей их трудно исправить, а проговаривание - может кого-то ввести в заблуждение. Такие тут риски и возможности.
Если максимально обобщить тему - то она об "Истине": что это такое и как пользоваться этим понятием, термином в разных областях. Тема "Истины" связана с интересующей меня темой "аргументации". "Аргументация" и "должна" "приводить" к "Истине" (в каком-то понимании всех этих слов, а в каком-то понимании - всё сложнее).
Ранее много постов у меня было по теме " научный метод" - как о лучшем методе узнать что-то о реальном мире.
У этого метода есть неустранимые препятствия к установлению абсолютной "Истины", которые выяснил Поппер - что можно установить точно лишь про отрицание (фальсификацию) теории о реальности, а не про подтверждение такой теории. Из чего вышел его "критерий фальсифицируемости" (опровержимости) - как "критерий науки". А точнее - критерий "научности" теории, да не всякой, а про реальность - ибо проверять и опровергать её предлагается эмпирикой. Т.е. "фальсифицируемость Поппера" работает только в эмпирических науках. В науках не связанных с реальностью - не работает: их не опровергнуть эмпирикой.
По итогу проблемы научного метода в том, чем именно он является - они не устранимые. Научный метода - это ВЕРОЯТНОСТНЫЕ обобщения и предсказания "неполной индукции" - индукции на НЕПОЛНОЙ статистике по НЕТОЧНЫМ эмпирическим данным. Т.е. тут и вероятность, и неточность, и неполнота - всё это принципиально не устранимо в том, что неисчислимо, что невозможно полностью перебрать, пересчитать и точно всё проверить. Реальность именно такая - в ней всё (физические параметры) измеряется неточно, с какой-то конечной точностью, со статистикой разброса измерений, и никогда полностью не промеряется всё, что может быть. Потому что возможность будущего уже делает что-то не промеренным к настоящему моменту времени.
А тема теоремы Гёделя - она про аналогичную проблему "Истины" уже в абстрактной математике. Если обобщённо - то она про то, что у "формальных систем" (ФС) невозможно наличие сразу 3 качеств: "богатства", "непротиворечивости" и "полноты". И как раз через чёткость определений и доказательств языка формальных систем и возможна более чёткая проработка темы "Истины" и всех с ней связанных - т.к. только чёткость определений позволяет отделять похожие понятия друг от друга. Когда же нет такой чёткости - то разговор сводится в простую болтовню ни о чём. Так что именно в этом важность темы математики при обсуждении темы "Истины" - в том, чтоб разделить тему на подтемы (расплывчатые понятия на чёткие термины), которые из бытовых представлений не различаются, и уже с помощью этой терминологии прояснять тонкости и детали, не видимые из "наивных" представлений о мире и абстракциях.
Кроме того, чем больше разных эквивалентных вариантов описания - тем легче мозгу будет обобщать абстракции: обобщается повторное, а не уникальное. И в математике как раз много доказано альтернативных эквивалентных формальных систем, на которых все эти теоремы Гёделя работают - будет что обобщать, если с ними разобраться.
"Непротиворечивость" означает, что из исходных аксиом нельзя вывести хотя бы одно утверждение и одновременно его отрицание.
"Полнота" означает, что из исходных аксиом можно вывести для любого корректного утверждения либо его само, либо его отрицание.
По поводу "богатства" ФС. Для геометрии (Евклида, Лобачевского, Римана - не путать с римановой), для логики Буля (высказываний) и Фреге (предикатов первого порядка) - доказывается, что такие системы полны и непротиворечивы. Но каких-то утверждений в них сказать нельзя - выразить формально - например, закодировать внутри них формулы, утверждения. Именно это цена их полноты и непротиворечивости - отсутствие "богатства" ФС, возможности говорить о чём-то более сложном. Что это такое? Не до конца разобрался - не нашёл формального определения и того, как оно используется.
Тут условия на формальную систему (теорию), к которой применима теорема Гёделя: [Spoiler (click to open)]
с 2:13:00 - https://youtu.be/JRbpw_2LniI?t=7982
(1) перечислимая - все формулы можно пронумеровать рекурсией (не работает для теорий 2го порядка и для теорий с атомами, определёнными на континууме)
(2) сигма1-корректность (формулы только дельта0 и сигма1 уровня: дельта0-функции - без свободных переменных или с ограниченными кванторами на них - чтоб перебор был конечный, сигма1 - с квантором существования для переменной на дельта0-функциях - об этом подробнее с 9 мин - https://youtu.be/sTr9SQxPeTM?t=540, на 21 минуте - про связь выводимости в арифметике Пеано и истинности в стандартной модели N - т.е. "выводимость" и "истинность" определены в разных, хоть и связанных сущностях, на 46 мин. - что уже пи1-функции, у которых на переменные квантор всеобщности - они могут быть "недоказуеыми" в арфиметике Пеано, но "истинными" в стандартной модели)
(3) в теории выразимы аксиомы арифметики Пеано
Но так же это как-то связано с "общезначимостью". И тут тоже у меня не хватает понимания - ибо математика тоже "общезначима" (всегда "Истинна") - но в каком-то другом смысле (не зависит от подставляемых вместо абстракций сущностей - главное. чтоб для них выполнялись аксимомы), хотя в ней есть то, что недоказуемо. Но, вроде бы это связано с тем, что есть ФС (?или в "сигнатурах" - в ФС без аксиом?), а есть Модели на их основе (?или это как раз ФС с аксиомами?), и то, что в ФС(сигнатурах) называется "выводимостью", в Моделях (ФС с аксиомами) называется "Истинностью". Т.е. "истинность" - это всего лишь выводимость из аксиом, которые внутри формальной системы по определению считаются "Истиной". Но при попытке применить эту ФС/Модель к чему-то другому (например, к реальности, например, в рамках научного метода) то "Истина" уже там будет определяться не только тем, что такое "Истина" в ФС/Модель, но и тем, как ФС/Модель своими аксиомами попадает в реальность, насколько они "истинны" в реальности.
Что же до "богатства" ФС - то "богатой" считается уже арифметика. Не выяснял, в чём именно это выражается, и каково применённое тут определение "богатства". Но как минимум на ряде натуральных чисел с нулём и на арифметических действиях можно устроить довольно сложную систему кодировки - просто закодировать в натуральные числа любую формулу арифметики. Используется единственность разложения числа на простые множители. Простые числа выделяются в отдельный ряд, которым нумеруются позиции знаков в формулах, и возводятся они в номер знака (их всего 12 в арифметике Пеано (AP)) - так получается число (номер) Гёделя для формул. А для кодирования доказательств - последовательности простых чисел сопоставляются формулы доказательств, и возводятся эти числа уже в числа Гёделя формул. Получаются безумные по размеру числа, но они - всего лишь запись в натуральных числах доказательств и формул однозначно связанные с привычной арифметической записью. Это называется "арифметизация доказательств".
А раз так, то в таких формулах можно использовать эти числа Гёделя как указатель на формулы и доказательства. Что приводит к рекурсии, к самореферентости, к парадоксу лжеца и порочному кругу. И из этого доказывается, что выводимых формул больше, чем несчётное число. Делается это нумерацией формул по числам Гёделя и добавлением к формулам модификатора (например, +1 в формуле с неравенством), не изменяющим их истинность, но выводящего из нумерованного списка. (Тут я немного плаваю - по поводу того, что делает модификатор и как).
И так.
Есть теорема Гёделя о полноте - полноте исчисления предикатов:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гёделя_о_полноте
Она про полноту логики предикатов 1 порядка (в которой нельзя примерять предикаты к предикатам - т.е. парадокс лжеца невозможен из-за невозможности его выразить)
Есть 2 теоремы Гёделя о неполноте:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теоремы_Гёделя_о_неполноте
Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.
Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.
===
"Формальная арифметика" - это "арифметика Пеано" - с аксиомами Пеано (или эквивалентными им аксиомами Тарского, только 1-го порядка). "Непротиворечивость" такой арифметики доказывается из формальной системы с другой аксиоматикой - с добавлением трансфинитных чисел Кантора. И есть целая последовательность вложенных друг в друга формальных систем: ИП (исчисление предикатов) - арифметика Пеано - ... - ZF (аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля). Дальше обобщить не удаётся, а новые ФС получаются лишь добавлением отдельных аксиом. (ССЫЛКА НА ЛЕКЦИЮ - Казимиров - теорема Гудстейна, введение с историческим контекстом: https://www.youtube.com/watch?v=IS_PazHA2_0) (ССЫЛКА НА ЛЕКЦИЮ - Сосинский с 25 минуты: S⊂P⊂N⊂ZF - исчисление высказываний -в- исчислении предикатах -в- аксиоматике Пеано на натуральных числах -в- системе аксиом теории множеств https://www.youtube.com/watch?v=hnTdreOY_Wc)
Всё это прояснение "Истины" в математике нужно для того, чтоб выйти из формальной системы в другие области.
Простейший и естественный выход - в эмпирические науки, где математика обеспечивает теормодель, подсчёт статистики и погрешности измерений. А то, что в принципе не разрешимо в математике - скорее всего не будет и в природе. На этот счёт есть ограничения природы на выяснение "Истины": неопределённость Гейзенберга и отсутствие скрытых параметров в квантовой механике, 2 принцип термодинамики, динамический хаос задачи 3 и более тел. (ССЫЛКА НА ЛЕКЦИЮ - Сосинский 7 минута: https://www.youtube.com/watch?v=hnTdreOY_Wc)
0-Б) Это всё про "истину" научную - где цель: ПОЗНАНИЕ и практические предсказания для технических применений. А есть ещё куча других "истин" - [Spoiler (click to open)]например, религиозные. И аргументация там совсем другая. И для споров так или иначе придётся научную аргументацию додумывать до того, чтоб её возможно было использовать в аргументации, которая была бы применима в системах с другими формами аргументации, с другими целями - уже не для познания и практических предсказания для использования в технике. И тут уже будет важно, что никакой "абсолютной Истины" никто гарантировать не может - т.е. не просто "узнать" что-то (что может быть самообманом и ошибкой восприятия, а не "даром Божьим" или "откровением"), но гарантированно и доказательно её отделить от неистины. Гарантии и аргументированное доказательство (но не абсолютное) даёт только научный метод. А всё остальное - вера, привычки и предрассудки.
Что мне встречалось по поводу религии и "Истины".
Проблема Зла в авраамических религиях - логика несовместимости того, что Бог - всеблаг, всесилен и всеведущ:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_зла
Одна из современных трактовок:[2]
Бог существует.
Бог всемогущий, всеведущий, и всеблагой.
Всеблагой хочет уничтожить зло.
Всезнающий знает, откуда берётся зло и как его можно уничтожить.
Всемогущий способен противостоять злу.
Богу известны все причины появления зла, он способен препятствовать появлению зла и желает его уничтожить.
Если всемогущий, всеведущий, и всеблагой Бог действительно существует, то существование зла невозможно.
Но зло существует (логическое противоречие).
===
Видел, как это решали: допускали свободу воли Бога - чтоб он мог поступать не всеблаго, а ещё и творить зло. Кстати, могли бы просто разрешить Богу не заморачиваться и всегда следовать всеблагости (творить зло), всеведенью (не обращать на что-то внимание), всесилию (для каких-то целей не применять всесилие).
Потому как есть и другие логические парадоксы:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_всемогущества
парадокс возникает из представления о всемогущем существе, способном ставить перед собой невыполнимые задачи или воплощать в объективной реальности логически противоречивые словесные конструкции («квадратный круг»). Такое понимание всемогущества отвергается большинством представителей западной религиозно-философской традиции - от Фомы Аквинского до Алвина Плантинги[en][1]. Комплекс логических проблем, связанных с парадоксом всемогущества, иногда рассматривается как доказательство невозможности существования Бога, хотя по утверждению многих христианских теологов и философов (Норман Гайслер[en], Уильям Лейн Крейг) представление о беспредельном всемогуществе, пренебрегающем законами логики, чуждо ортодоксальному христианскому богословию. Другие попытки решения парадокса сводятся к уточнению содержания понятий «всемогущество» и «Бог», а также выяснению вопроса о том, является ли сам Бог объектом приложения своего всемогущества.
Парадокс всемогущества упоминается в работах средневековых теологов по меньшей мере с XII века; к нему обращались Ибн Рушд (1126-1198) и Фома Аквинский (ок. 1225-1274). У Псевдо-Дионисия Ареопагита (до 532) встречается одна из ранних версий парадокса - вопрос о том, может ли Бог «отрицать самого себя».
Наиболее известной версией парадокса всемогущества является так называемый «парадокс камня»: «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?»[2]. Такая формулировка парадокса уязвима для критики ввиду неточности терминов, отсылающих к физической природе гравитации: так, вес предмета определяется силой воздействия на него местного гравитационного поля. Существуют альтернативные формулировки парадокса, свободные от указанного недостатка: «Может ли всемогущее существо, действуя в рамках геометрии Евклида, создать треугольник, сумма углов которого не равна 180 градусов?» и «Может ли Бог создать настолько надёжную тюрьму, что сам не сможет из неё вырваться?».
Парадокс всемогущества является частным случаем парадокса Рассела.
===
Логика математики выворачивает всё наизнанку по сравнению с бытовым "здравым смыслом": если в каком-то "языке" (формальной системе) возможны утверждения всегда приводящие к противоречиям, то это сам "язык" (формальная система) противоречива, а не то, о чём этот "язык" говорит:
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Рассела
Парадокс Рассела можно сформулировать в наивной теории множеств. Следовательно, наивная теория множеств является противоречивой.
===
Кроме того попадались другие способы избежать логических парадоксов - например, через прямой запрет на изучение свойств Бога: мол, верьте как есть, а изучать не по данной Богом Торе, Корану - нельзя, мол, это язычество и неверие в Бога или ещё какой-то харам. Т.е. административными мерами исправили логический парадокс - запретили его. А по поводу Библии говорилось, что её писали люди - потому противоречивость - это воспринимается как доказательство её подлинности, ибо трудно разным людям согласовать всё в мелких деталях. Т.е. Священное Писание скрывает "Истину" за ошибками несовершенных человеков, которые пересказали её по-разному. Эдакий аналог неопределённости Гейзенберга, за которым невозможно установить что-то слишком точно.
Это я к тому, что понятие "Истины" - оно может быть самым неожиданным, что приводить к таким разным последствиям.
Кстати, ещё вариант преодоления парадоксов и противоречий - "испортить логику" - вместо нормальной логики использовать "диалектическую логику", в которой допускаются эквивокации, невыполнение исключения третьего, изменение во времени.
1) Заметки по ходу просмотра видео. [Spoiler (click to open)]Не очень точные - т.к. по ходу просмотра я сам не всё вспомнил, и когда на кого-то возмущался, мог и сам быть неправым. Но сейчас это не важно - т.к. я просто проверял собственные знания и понимание, которые потом освежал в Википедии.
в начале - поминается Гегель (философом) - как аналог венского кружка описать всё логикой - математик против - т.к. у него "логика диалектическая"
математику можно свести к арифметике, а в арифметике уже такая вот проблема с теоремой Гёделя
(как я понимаю - до выяснения, что такое Истина - они не дойдут, хотя это видимо про то, что в Моделях Истина - это всего лишь сведение всего к аксиомам, которые в Модели принимаются за Истину - т.е. истинность модели условная - если истинны аксиомы в том применении Модели, который используется
9: вся логика сводится к арифметике ?? - а разве в логике 1 порядка нет полноты и непротиворечивости одновременно? - т.е. совсем всё проще, чем в арифметике?
10: зашёл разговор, что якобы "есть другая арифметика - трансфинитная, в которой "доказали что арифметика непротиворечива"" - ?? а доказали ли ??* -- вообще всё напутал: противоречий в AP нет, есть неполнота, а трансфинитные числа - это уже другая арифметика - что же до "отказа от аксиом" - это вообще чушь какая-то
На слух не сразу вспомнил, что к чему, потому потом проверил по Википедии - и таки да - всё по ней шпарит.
10:35 + поминается ZF - из неё следует арифметика -- как раз в ZF и возникают трансфинитные числа как рекурсивные подмножества
спор - не подготовились - про то, есть ли в ZF аналог т.Гёделя о неполноте - есть
13:30 чел за кадром "вывести всю математику из мат.логики" - что-то он городит, уже доказано, что это невозможно - что даже арифметика пеано не сводима к логике
18: - "непротиворечива" - понимают, "неполна" - не понимают, что это означает - а всего-то - что некоторое утверждение не может быть доказано или опровергнуто из аксиом конкретной формальной системы
20: 2 формулировки т.Г о неполноте + разговор истинность=выводимость - если арифметика непротиворечива то в ней есть невыводимая формула / в любой достаточно богатой формальной системе существуют утверждения истинность или ложность которых невозможно доказать, сошлись, что истинность=выводимости (вроде бы это термины определённые на разных классах - ФС-выводимость и Модель-истинность - математик - в формальной системе аксиомы и есть истина -- кто-то уже это разобрал - аксиомы исключительно абстрактные основы ФС, а философ пытается говорить о постулатах - которые даны из реальности на какую-то модель реальности
25: философ - про т.Г - доказывается так, что есть рекурсия между термами и формулами в ФС (я - выводящая ФС из счётной системы, в несчётную
философ правильно обозначил идею: А=А-невыводима в S - это про то, чтоб доказать саму возможность изнутри ФС доказывать её полноту (и непротиворечивость? - противоречивость ФС доказывается противоречием??)
29: - 3 вида истинности: 1) референтная (как "на самом деле" - из чего-то внешнего - видимо про постулаты сюда), 2) логическая - аксиомы=истине, 3) автореферентная (это философ про формулу Гёделя, говорящую о своей невыводимости) - не понял, где тут автореферентная истинность - тут просто "доказательство от противного" и выход на парадокс лжеца, который не разрешим в логике/ФС 1 порядка
какие-то шуе рисунки дедуктивных истин и самореферентных - и мол Колмогров доказал, что дедуктивных истин счётное число, а автореферентных несчётное -- Я: про Колмогорова - возможно, но у меня сложность понимания "самореферентных истин" - как это вообще хоть где-то формализовано?
теория алгоритмов истинных формул (а не суждений)
"истинных формул" всегда больше (из-за наличия несчётного числа истинных автореферентно - тезис философа с отсылкой якобы к Колмогорову) чем выводимых из аксиом (коих счётное число) - однако доказательство этого было в том, что берётся нумерация алгоритмов, и к какой-то из них модифицируется (что-то дописывается на выход) - и такого алгоритма с уже не оказывается -- не запомнил точно)
42: про введение понятия Истины: 1) истинно то, что выводится из аксиом (ОК!), 2) всё, что можешь осмысленное высказать в ФС и есть теорема
44: ф.опять повторил, что "изнутри системы нельзя доказать "её непротиворечивость" (Я: а не её полноту (про полноту другая теорема - где нельзя доказать или опровернуть некую формулу) - проверил - я не прав, а философ прав - там про невыводимость формулы содержательно утверждающей непротиворечивость арифметики)
кстати - про "доказательство непротиворечивости арифметики - это к Герхарду Гольдбаху - см. вики Проблемы Гильберта №2 - ссылка 3)
47: ф.думал, что полнота про все утверждения, а она только про дедуктивные (? а не наоборот ли? про то, чтоб выводить любое осмысленное утверждение или его отрицание)
49: - ушли куда-то в "элемент веры в любом высказывании" - в формальной системе не важна внешний мир и вера в то, что ФС хоть чему-то во внешнем мире соответствует
50: толстый путает разговор о реальности и разговор в рамках ФС - для выхода в реальность нужна эмпирика и научный метод со своими неточностями и вероятностью
54: ф. опять про 3 вида истинности - и тут уже другой вариант сортировки: 1) аксиомы, 2) что выведено из аксиом - логическое, 3) самовыведенное - автореферентное - до того говорил про 1 - как про референс - я понял, как про сравнение с реальностью "как на самом деле" - а теперь оказывается, что всего лишь про то, из чего истины выводятся - т.е. про аксиомы
57: ф.узнал, что рекурентно и автореферентно - не одно и тоже
1:0:0 про континуум гипотезу - что между мощностью счётных и континуум множеств не существует промежуточных мощностей - мол, она не выводима