Цитата.
В Новом Мировом Словаре Вебстера (Второе Издание) мы находим определение октавы, включающее заключительное ДО [восьмой тон], который в действительности является первой нотой следующей октавы. Это определение гласит:
«Восьмой полный тон выше данного, имеющий в два раза больше вибраций в секунду, либо ниже данного, имеющий половину вибраций в секунду». А также: «интервал из восьми диатонических ступеней, находящихся между данным тоном и каждым из упомянутых двух тонов».
Из этих определений можно легко понять две главные особенности этого закона: семиричную структуру и необходимое свойство удваиваться либо уполовиниваться. Например, музыкальная октава содержит семь нот ДО, РЕ, МИ, ФА, СОЛЬ, ЛЯ и СИ. Также музыкальная октава всегда подразумевает удвоение либо уполовинивание вибраций, например, До первой октавы соответствует 256 вибрациям в секунду, а До второй октавы - 512 вибрациям в секунду. Другими примерами Закона Семи служат разделение света в призме и скорость распада радиоактивных материалов, вычисляемая через период полураспада.
ПОСКОЛЬКУ НАИЛУЧШЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭТОГО ЗАКОНА, СКРЫТОЕ В МУЗЫКАЛЬНОЙ ОКТАВЕ, МЫ ВОСПРИНИМАЛИ СВОИМИ УШАМИ ВСЮ ЖИЗНЬ, ТО БУДЕТ ЖЕЛАТЕЛЬНО ПРЕДСТАВИТЬ МУЗЫКАЛЬНУЮ ОКТАВУ ТАКЖЕ ПЕРЕД ГЛАЗАМИ И ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЕЁ В КАЧЕСТВЕ НАШЕЙ МОДЕЛИ.
Музыкальный звук начинается с 1 вибрации в секунду. Удваивается как 2 вибрации в секунду и формирует октаву. Удваивая его до 4 вибраций в секунду, мы создаём ещё одну октаву. Если мы продолжим удвоение - 8 вибраций в секунду, 16 вибраций в секунду, 32 вибраций в секунду, 64 вибраций в секунду, 128 вибраций в секунду - то, достигнув 256 вибраций в секунду, мы окажемся в ноте, которую музыка определяет как «До первой октавы (Среднее С)». Если мы ее еще удвоим до 512 вибраций в секунду, мы достигнем «До второй октавы (Высокое С)». Это основы, с которых следует начать. Опираясь на них, мы можем произвести детальное исследование диатонической структуры октавы. Заметим, что между начальной вибрацией и удвоенной или уполовиненной вибрацией возникают шесть «дополнительных» диатонических вибраций. Эти шесть дополнительных вибраций возникают в определённых отношениях, которые были впервые письменно зафиксированы Пифагором - философом и математиком 6 века до н. э. - и теперь соответственно называются Гармониями Пифагора.
ДО - которое мы будем называть «восходящее ДО», имеет величину 1. Другие
вибрации являются просто увеличенными отношениями к этой вибрации.
РЕ - превышает вибрацию восходящего ДО на 1/8 (1+1/8);
или находится к нему в отношении: 9 к 8 (9/8); множитель: 1.125.
МИ - превышает вибрацию восходящего ДО на 1/4 (1+1/4);
или находится к нему в отношении: 5 к 4 (5/4); множитель: 1.25.
ФА - превышает вибрацию восходящего ДО на 1/3 (1+1/3);
или находится к нему в отношении: 4 к 3 (4/3); множитель: 1.333.
СОЛЬ - превышает вибрацию восходящего ДО на 1/2 (1+1/2);
или находится к нему в отношении: 3 к 2 (3/2); множитель: 1.5.
ЛЯ - превышает вибрацию восходящего ДО на 2/3 (1+2/3);
или находится к нему в отношении: 5 к 3 (5/3); множитель: 1.666.
СИ - превышает вибрацию восходящего ДО на 7/8 (1+7/8);
или находится к нему в отношении: 15 к 8 (15/8); множитель: 1.875.
ДО - завершает октаву и содержит в 2 раза больше вибраций, чем восходящее
ДО, мы будем называть его «нисходящее ДО»,
Эти Гармонии Пифагора проверяются в книге Вильяма Брейда Вайта Настройка Пианино и Смежные Искусства.
«Эти соотношения можно легко проверить, если взять струну удобной длины, скажем в 60 дюймов, на монохорде, настроить её к ноте ДО. и затем последовательно укоротить её в соответствии с указанными цифрами. Тогда можно найти звучащие длины:
струна длиной 53.33 дюйма (60 : 9/8) будет звучать как РЕ,
струна длиной 48 дюймов (60 : 5/4) даёт МИ,
струна длиной 45 дюймов (60 : 4/3) даёт ФА и т.д.
ИНТЕРВАЛ: I II III IV V VI VII VIII
НОТА: ДО РЕ МИ ФА Соль ЛЯ СИ ДО
ОТНОШЕНИЕ
ЧАСТОТЫ К ДО: 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1
Или иными словами, отношение ДО к РЕ такое же, как отношение 8 к 9.
ДО к МИ относится так же, как 4 к 5.
ДО к ФА относится как 3 к 4,
ДО к СОЛЬ относится как 2 к 3,
ДО к ЛЯ относится как 3 к 5,
ДО к СИ относится как 8 к 15 и
ДО к своей октаве относится как 1 к 2.”
ЭТО ОБРАТНОЕ ОТНОШЕНИЕ ДЛИНЫ СТРУНЫ К ЕЁ ЧАСТОТЕ ОБНАРУЖИВАЕТ « ДИАТОНИЧЕСКУЮ ШКАЛУ».
ДИАТОНИЧЕСКАЯ ШКАЛА
ДО 2 вибрации/сек. (нисходящее До) 2
СИ 1.875 или 1 7/8 или 15/8
ЛЯ 1.666 или 1 2/3 или 5/3
СОЛЬ 1.5 или 1 1/2 или 3/2
ФА 1.333 или 1 1/3 или 4/3
МИ 1.25 или 1 1/4 или 5/4
РЕ 1.125 или 1 1/8 или 9/8
ДО 1 вибрация/сек. (восходящее До) 1
Заметим, что приведённая выше восходящая октава (от 1 к 2) вычисляется умножением восходящего ДО-(1) на диатонические отношения. Приведённая ниже нисходящая октава (от 1 к ½) вычисляется умножением нисходящего ДО-(1) на ½ диатонических отношений.
ДО 1. (нисходящее До) 1
СИ 0.9375 или 15/16
ЛЯ 0.8333 или 5/6
СОЛЬ 0,75 или 3/4
ФА 0.6666 или 2/3
МИ 0.625 или 5/8
РЕ 0.5625 или 9/16
ДО 0.5 (восходящее До) 1/2
Чтобы установить общее понимание, мы будем называть ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ или ЛЮБУЮ ЧАСТЬ ЦЕЛОГО, которые подчиняются этим отношениям, - «ДИАТОНИЧЕСКИМИ».
Чтобы вычислить основную шкалу Первой Октавы, мы просто применяем диатонические отношения к восходящей вибрации Среднего С (256), либо ½ диатонических отношений к нисходящей вибрации Верхнего С (512). В наших расчётах мы будем использовать формулу: восходящая вибрация умножить на диатонические отношения.
ПЕРВАЯ ОКТАВА
ДО = 256 x 2/1 = 512 Высокое C
СИ = 256 x 15/8 = 480 B
ЛЯ = 256 x 5/3 = 426.666 A
СОЛЬ = 256 x 3/2 = 384 G
ФА = 256 x 4/3 = 341.333 F
МИ = 256 x 5/4 = 320 E
РЕ = 256 x 9/8 = 288 D
ДО = 256 x 1/1 = 256 Среднее C
Конец цитаты.
Человечество создало огромное количество мелодий, музыкальных инструментов, музыкальных звукорядов. Как они связаны с законом семи? Какой музыкальный строй имеет в виду Успенский в ВПЧ и обсуждает в этом отрывке Рассел? Насколько мы вправе сравнивать или даже отождествлять музыкальную гамму и закон семи?
Сначала определимся, что такое октава. Допустим, мы слышим звук с какой-то определенной частотой. Если вслед за ним мы услышим звук с частотой ровно вдвое больше, то он покажется нам хоть и выше предыдущего, но очень похожим на него по восприятию. Ухо, сравнивая эти два звука, наделяет их одним качеством. Поэтому в музыкальном звукоряде каждый восьмой звук (если не считать черные клавиши) завершает одну октаву и открывает следующую. Отсюда и значение слова «октава» - восьмой. Октава, в смысле удвоения вибраций - фундамент любой музыки, это общее понятие для всех видов звукорядов.
Исторически сложилось так, что существует несколько (много!) видов гамм или, как их называют, музыкальных строев. Музыкальный строй - это принцип частотных соотношений между музыкальными звуками.
1. Начнем с природного музыкального строя.
Тетива самого первого лука, колеблясь после выстрела, давала готовым тот набор музыкальных звуков, которыми мы можем без изменения пользоваться.
Природные прототипы музыкальных инструментов-тетива, она же колеблющаяся струна, полый ствол дерева или другого растения (бамбука, например), фанфара (труба, в которой нет боковых отверстий, клапанов, вентилей-ее нельзя настроить и подправить). Что происходит в них, как образуется звук? Возьмем колеблющуюся струну в качестве образца естественного образования звука. Звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и так далее. Эти звуки, всегда появляющиеся вместе с основным, называются обертонами. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети - втрое, четверти - вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота ее колебаний. Теоретически такое деление вибраций может происходить бесконечно, но на практике это не так. Реальная струна отличается от идеальной тем, что имеет толщину, плотность и предельную длину, поэтому ограничено и число колеблющихся долей. Или так: ни на одном духовом инструменте не удается поделить колеблющийся в нем воздух больше, чем на шестнадцать долей. Если мы рассмотрим колебания долей струны с 1/8 до 1/16, то получим удвоение частоты вибраций. Эти соотношения частот, соответствующее 9 нотам и принято называть природным звукорядом.
В таблице указано, какие ноты есть в природном звукоряде.
Заметим, что только 5 частот в природном звукоряде из 8 совпадают с частотами, которые представил Успенский. Кроме того, в октаве восемь нот, а не семь, как мы привыкли (до следующей октавы не включаем).
2. Теперь рассмотрим чистый строй. Он еще по-другому называется гаммой синтетического типа, натуральной гаммой или натуральным строем.
О существовании природного звукоряда, о котором писалось выше, стало известно гораздо позже, чем человек стал петь и создал первые музыкальные инструменты.
Человек, пока еще ничего не зная о подарке природы, интуитивно подстраивал струны между собой так, чтобы они создавали благозвучие. Если инструмент был оснащен грифом, то гриф этот поначалу делался гладким, без порожков, и музыкант просто скользил пальцем по струне как угодно. Но потом он нащупал точки, где звуки получались наиболее естественными, и оснастил эти места грифа порожками. И вот, когда люди открыли природный звукоряд, изучили его и сравнили с тем, что бытовал у музыкантов, оказалось, что полная природная октава, образуемая девятью последними частотами из шестнадцати, почти точно совпадает с октавой, найденной музыкантами самостоятельно. Ухо опередило научные исследования. Почему все-таки появились отличия от природного звукоряда?
Музыканты обратили внимание на то, что сочетания некоторых трех звуков между собой воспринимаются особенно естественно и приятно. Потом выяснилось, что это были частоты, относящиеся друг к другу как 4:5:6. В природной октаве есть только одно такое сочетание - это до-ми-соль. А музыканты настраивали свои инструменты так, чтобы весь звукоряд превращался в сплошную цепь приятных для слуха трезвучий с соотношением частот 4:5:6. По-другому такая настройка называется настройкой по терциям. Чтобы из природного звукоряда получить чистый строй необходимо от одной ноты (частоты) отказаться-это си бемоль, ноту фа понизить, а ноту ля-повысить.
Соотношение частот в природном строе и чистом приводится в таблице.
Первая и четвертая строка-частоты в герцах (числа взяты так, чтобы было удобно анализировать, инструменты настраиваются с другими частотами, например ля первой октавы-440 герц), вторая и пятая строка-отношение всех частот к первой. И тут мы видим, что дроби в точности совпадают с теми, которые Успенский приводит в книге ВПЧ.
Здесь обратим внимание: то, что мы привыкли называть тоном, не является постоянным, расстояние между нотами до и ре, ре и ми, фа и соль-немного разное.
Лад - это чередование целых тонов и полутонов. Скажем, если взять в качестве начального звука частоту до, то интервалы выстроятся так: тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон. А если начать считать с частоты ре, последовательность получится иной: тон, полутон, тон, тон, тон, полутон, тон. С какой бы частоты мы ни начинали отсчет, каждый раз чередование тонов и полутонов будет иным. Если мелодия начинается с частоты до - это один лад, с ноты ре - другой, с частоты ми - третий и так далее. Каждому такому ладу греки дали свое название. Естественно, их было семь - по числу звуков в октаве. Например, лидийский лад соответствует последовательности белых клавиш от фа до фа. Сейчас от семи греческих ладов остались только два-мажор и минор.
Но такое положение вещей приводило к конфликту с инструментом-никакую мелодию нельзя было сыграть на несколько тонов выше или ниже, поскольку в каждом из семи ладов было свое собственное соотношение частот между звуками (тонов и полутонов). При попытках сыграть ту же гамму от другой ноты появляются все новые и новые частоты, и, соответственно новые струны и клавиши на музыкальных инструментах (если бы в октаве было 85 струн, то можно было бы играть любой лад с любой ноты). Таким образом, причиной появления черных клавиш на рояле стала желание переходить из одной тональности в другую. Если этого не делать, то для любой мелодии вполне хватает семи нот. Этот конфликт привел к возникновению других звукорядов.
3. Пифагоров строй. Монохорд, описанный в Рассказах Гурджиевым - реально был создан Пифагором для изучения музыкального строя (или закона семи?)
Пифагор выяснил, что наиболее естественно воспринимаются ухом частоты, которые находятся между собой в простых числовых соотношениях. Вот откуда и октава 1:2, и трезвучие 4:5:6. Внутри октавы наиболее слитно с начальным звуком воспринимается квинта, которая составляет с ним простейшее после октавы соотношение - 3:2. Пифагор решил поэтому взять квинту за основу строя. Кстати, квинта-это интервал до-соль, то есть из начала октавы попадаем сразу в животворную ноту.
Пифагор от ноты до начинал строить квинты-получал последовательно ноты соль, ре, ля ми, си, фа #, соль бемоль, ре бемоль, ля бемоль, ми бемоль, си бемоль и фа. Ноты получались из разных октав. Когда они сводились в одну октаву делением на 2, на 4 и т. д., то получался пифагоров строй.
В таблице сравниваются частоты (в герцах) природного, чистого и пифагорова звукорядов.
В пифагоровом строе, по сравнению с чистым, вместо частоты 240 появилась частота 243, вместо 320-324, а 360 превратилось в 364,5. Обратите внимание, что в природном строе самый большой интервал между ми и фа, а в пифагоровом строе-самый маленький интервал между си и до.
Эти незначительные изменения произвели революцию в музыкальном строе. Интервалы более или менее выровнялись. Определились точные частоты дополнительных звуков. Музыканты, пользуясь теми же двенадцатью звуками в октаве, получили возможность переходить из тональности в тональность гораздо свободнее. Поэтому Пифагоров строй продержался больше двух тысяч лет. Но наметился новый конфликт: фа# не равен соль бемоль (273,4 и 269,6 соответственно) (на рояле то одна и та же клавиша) и это верно для любых черных клавиш. Но чтобы не добавлять новые струны, это противоречие разрешили просто: усреднили две частоты и оставили, как и было, между двумя основными звуками один дополнительный. Усреднение это стало традиционным, так что и сейчас, например, пианист вынужден пользоваться одной черной клавишей там, где, согласно точным акустическим расчетам, их должно быть две. А вот скрипач может по-разному взять соль-бемоль и фа-диез, как и другие повышенные и пониженные звуки. Может взять их по-разному и тромбонист - кулиса его инструмента передвигается совершенно свободно.
Выходит, целое число квинт (напомню, квинта-это до-соль или ре-ля) не укладывается в целое число октав. Это расхождение называется Пифагоровой коммой. Комма и привела к конфликту. Данный факт является интересным с точки зрения четвертого пути-системы, по которым строятся и чистый строй, и пифагоров не являются замкнутыми, то есть при движении квинтами не получится целое число октав.
4. Темперированный строй.
Именно органист предложил следующую и пока последнюю реформу музыкального строя. Было это в конце семнадцатого века.
Андреас Веркмейстер был не только органистом, но и теоретиком музыки. Он сформулировал задачу так. Первое: нужно сохранить в октаве двенадцать традиционно устоявшихся звуков (белые и черные клавиши рояля). Второе: все соотношения между соседними частотами должны быть абсолютно равными. Третье: никакой коммы не должно быть.
Поставленная таким образом задача имеет единственное решение: каждая последующая частота будет относиться к предыдущей так, как корень двенадцатой степени из двух относится к единице.
А если говорить проще, Веркмейстер равномерно распределил Пифагорову комму между всеми звуками внутри каждой октавы. Комма рассосалась, растворилась, стала почти незаметной. Но досталось это дорогой ценой: не осталось ни одного чистого интервала внутри октавы. Веркмейстер не пощадил даже квинту - этот интервал, тысячелетиями считавшийся незыблемым, стал чуть короче. Как вы догадываетесь, ровно на столько, что теперь двенадцать квинт точно укладывалось в семь октав. Сама октава вышла из этой передряги без потерь - она единственная осталась чистой.
Многие музыканты тогда возмутились (несогласные остаются и до сих пор!), ведь не осталось ни одного чистого интервала. Но преимущества налицо: стало возможно переходить из тональности в тональность как угодно, исчезли явно фальшивые звуки. Слух обычного человека просто не воспринимает таких нюансов (если только не пытаться слушать чистые трезвучия и темперированные одновременно-тогда разница слышна). Но музыканты с тонким слухом страдают. Композитор Александр Скрябин очень мучился из-за того, что не находил на рояле чистых квинт и терций. А русский музыкант Владимир Одоевский даже заказал себе рояль, где в октаве 17 клавиш (он до сих пор хранится в Московском музее).
Интересным является еще такой факт. Оказывается инструменты оркестра играют в разных звукорядах. Фортепиано настраиваться только по Веркмейстеру, скрипки могут играть в чистом звукоряде. А медные духовые только в природном звукоряде. И композитор, создавая музыку для оркестра все это учитывает. Даже гитару объективно нельзя настроить точно: порожки на ней расположены по Веркмейстеру, а струны колеблются как природное тело. Если сравнивать темперированный строй с законом семи, то расстояние между нотами ми-фа и си-до (полутоны) ровно в два раза меньше, чем между остальными нотами октавы (белыми клавишами). Расстояния между всеми двенадцатью нотами абсолютно одинаковые.
Вывод: Успенский приводит в книге ВПЧ в качестве закона семи чистый строй--самый гармоничный музыкальный звукоряд, открытый человеком.
В следующий раз мы обсудим, как Рассел расширяет и углубляет математическое представление закона семи.