Геометричні імпровізації (для розваги)...
Рекламую програмкуу "Geo Gebra" - вчіть користуватись нею своїх дітей в молодших класах, та й у старших ще не пізно...)
В інтернеті повно посібників, у ютубі - фільмів, різними мовами, є й українською. Було б бажання...)
Приклад.
Якось одного разу випадково (через Гугл) в очі попала фраза з популярного російського підручника Прасолова В. В. "Задачі по планиметрії" ( далі цитую ): "... За допомогою однієї тільки лінійки майже ніяких побудов виконати не можна. Наприклад, не можна навіть побудувати середину відрізка (задача 30.58). Але якщо на площині проведені які-небудь допоміжні лінії, то можна виконати багато побудов. У разі, коли на площині намальоване допоміжне коло і позначений його центр, то за допомогою лінійки можна виконати всі побудови, які можна виконати за допомогою лінійки та циркуля. При цьому, щоправда, вважається, що коло вже побудоване, якщо побудований його центр і одна його точка..."
Мене зацікавила ота виділена червоним фраза...
А якщо добре подумати та попробувати? ... та взяти програмку "Geo Gebra" і ще підручник з проективної геомтрії)... невже не поможе?)
От давайте поглянемо. Нехай є у нас пряма а і на ній відрізок АВ. Треба поділити його пополам, тобто побудувати його середину, з використанням одної тільки лінійки, без циркуля. Дядько Прасолов пише, що того зробити неможна.
А ми спробуємо. )
1) Маємо пряму (а), на ній відрізок АВ.
2) Поза прямою (а) вибираємо десь довільну точку L.
3) На прямій (а) поза відрізком АВ вибираємо довільну точку С (наприклад, зправа) і з'єднуємо її з т. L.
4) Спрямовуємо т. C у нескінченість, при цьому пряма (LС) як завгодно близько наближається до положення, паралельного прямій (а).
Виглядатиме то якось так:
Отож, таким способом ми можемо отримати пряму, як завгодно близько паралельну даній прямій...)
Маючи ж таку пряму, ми можемо легко поділити пополам будь-який даний відрізок.
Зауважуємо, що всі ці побудови здійснюються з використанням виключно одної тільки лінійки...)
В наступному прикладі з використанням такої ж точки С зі змінною координатою, спрямованою у нескінченість, отримуємо точку D, симетричну точці В відносно точки А, тобто множимо відрізок АВ на 2.
Початково маєм таку картинку:
Далі спрямовуємо точку С у нескінченість:
Побудована вище конструкція дозволяє здійснити ще один по своєму красивий "геометричний фокус", а саме:
поділити відрізок АВ у так званій "Золотій пропорції", знову ж таки без використання циркуля і кривих другого порядку.
Для цього здійснюємо наступні кроки:
1) На відрізку АВ візьмемо довільну точку F.
2) Проведемо пряму FB1 до перетину із зеленою прямою DA1 (отриманою у попередньому прикладі) у точці К.
3) З точки К проведемо пряму (КА) , яка перетне відрізок А1В1 (паралельний відрізку АВ) у точці І.
4) З точки Р проведемо пряму (РІ), яка перетне відрізок АВ в точці F'. Точка F' буде деяким образом точки F на прямій АВ.
5) Будемо змінювати положення точки F в межах відрізка АВ, внаслідок того буде певним чином змінюватися і положення образу точки F, тобто положення точки F'.
6) Як бачимо, на відрізку АВ існує одна тільки точка, в якій точка F співпадає зі своїм образом - точкою F'.
Координата цієї точки х= 0.618... Це і буде точка Ф, що ділить відрізок АВ у так званій "Золотій пропорції".
Отака загалом розвага...)
Я вчився робити і вставляти анімації (окрім Geo Gebra ще вовтузився з GIMP), то мав на чому повправлятися...)
Про загальновідомі способи побудови Золотого Перетину можна дізнатися, наприклад, тут.
... інші розваги на тему ЗП - тут....)
Наперед знімвю капелюха перед будь-ким, хто осилить то все переглянути і намагатиметься щось второпати ...
Той виклад не є досконалим по формі, але на детальніші пояснення і більш строгі формулювання нема часу... якось потім може...)