Ошибка Эдгара По
Кадр из фильма Гордона Хесслера «Убийства на улице Морг» (1971)
Фильм снят по рассказу американского писателя-романтика Эдгара Аллана По «Убийство на улице Морг»,
который принято считать первым детективным произведением в истории литературы
avkost1955 - о теории вероятности, игральных костях и творчестве Эдгара Аллана По (1809-1849). Какова вероятность выбросить три шестёрки, и что думал об этом великий писатель? На днях попал мне в руки рассказ Эдгара По «Тайна Мари Роже», решил перечитать. Это из серии рассказов о сыщике-любителе Огюсте Дюпене, который путём блестящего логического анализа исключительно по газетным материалам, не вставая с кресла, восстановил картину запутанного преступления, в раскрытии которого полиция зашла в тупик. Рассказ интересен прежде всего как пример логических построений.
А вот последние строки озадачили. Впрочем давайте приведём их здесь целиком.
«Это одна из тех аномалий, которые, хотя и чаруют умы, далекие от математики, тем не менее полностью постижимы только для математиков. Например, обычного читателя почти невозможно убедить, что при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму. Заурядный интеллект не может этого воспринять, он не может усмотреть, каким образом два броска, принадлежащие уже прошлому, могут повлиять на бросок, существующий еще пока только в будущем. Возможность выпадения шестерки кажется точно такой же, как и в любом случае - то есть зависящей только от того, как именно будет брошена кость. И это представляется настолько очевидным, что всякое возражение обычно встречается насмешливой улыбкой, а отнюдь не выслушивается с почтительным вниманием. Суть скрытой тут ошибки - грубейшей ошибки - я не могу объяснить в пределах места, предоставленного мне здесь, а людям, искушенным в философии, никакого объяснения и не потребуется. Тут достаточно будет сказать, что она принадлежит к бесконечному ряду ошибок, которые возникают на пути Разума из-за его склонности искать истины в частностях.»
Мне кажется здесь замечательный писатель не прав. Давайте попробуем в этом разобраться, используя не так уж много места для текста.
Сначала, впрочем, несколько определений. Случайным называется событие, представляющее собой некоторое испытание, результат которого заранее не известен, но которое может быть повторено неограниченное число раз в одних и тех же условиях. В этом смысле подбрасывание монеты - испытание случайное, а вот футбольный матч нет. Ведь матч не может быть повторен много раз в строго одних и тех же условиях, хотя его исход и не известен заранее. Если испытание, имеющее несколько возможных исходов, произвести N раз и зафиксировать число выпадений n одного из этих исходов, то предел, к которому будет стремиться отношение n/N при неограниченном увеличении числа испытаний и будет вероятностью этого исхода.
Можно показать, что если всего возможных исходов M, и не один из них не является предпочтительным, то вероятность каждого будет 1/M. Так при подбрасывании монеты возможных исходов два, стало быть вероятность выпадения орла 1/2, впрочем, как и решетки.
Автор пишет бросании кости. Здесь при однократном бросании равновероятных исходов 6, следовательно вероятность выпадения шестёрки - 1/6. Посчитаем какова вероятность трёхкратного выпадения шестёрки подряд. В этом случае испытание заключается в осуществлении трёх бросков, исходом такого испытания стать один из вариантов: 111, 112, 113, ........., 666. Если аккуратно выписать все эти варианты, то их окажется 216 штук, а вероятность каждого, в том числе и трёх шестёрок 1/216 или примерно 0,45%. То есть три шестёрки подряд будут в среднем выпадать 4-5 раз за каждые тысячу попыток. Действительно не часто.
Но, если вы уже выбросили две шестёрки подряд и остался один бросок, то ситуация кардинально изменилась. Здесь речь идёт уже о совсем другом испытании, а именно об однократном броске. И вероятность его исходов в действительности никак не зависит от того, что случилось до того. Поэтому вероятность выпадения третьей шестёрки равна 1/6, что не так уж и мало. Так что никакой ошибки, о которой пишет По, на амом деле нет, и здравый смысл подсказывает совершенно правильно.
Не думаю, что я первый заметил это, так что если вы об этом уже где-то читали не бросайте в меня тухлыми помидорами:)