О тесте на логику
Скажу сразу, что сабжевый опрос был исключительно потому, что мне был нужен пример того, как неспециалисты, тем не менее, большинством голосов принимают правильное решение, хотя заметная их часть и ошибается.
Однако, поскольку поступили предложения разобрать вопросы и правильные ответы на них, ОК, я разберу.
Первый вопрос был такой.
Дана предпосылка «кто в армии служил, тот в цирке не смеётся». Какие суждения будут её логическими следствиями?
Это - обобщающее суждение вида «все x (люди), принадлежащие к множеству A (служивших в армии), также принадлежат к множеству B (те, кто не смеётся в цирке)».
Его так же можно рассматривать, как операцию следования «из принадлежности x к A следует принадлежность x к B».
Теперь разберём все предложенные варианты по очереди.
Кто смеётся в цирке, тот не служил в армии
Операция следования такова, что при истинности следования из левой части правой истинно и следование из отрицания правой части отрицания левой. То есть
Предложенный вариант суждения - именно такой, а потому он действительно является следствием из предпосылки.
Что, впрочем, можно понять и «из общих соображений». Действительно, нам сказано, что абсолютно все служившие в армии не смеются в цирке. Значит, если нам встретился кто-то, кто в цирке смеётся, он совершенно точно не служил в армии. Значит, действительно верно, что что абсолютно все смеющиеся в цирке, не служили в армии.
Конечно, всегда есть и вариант «сама предпосылка не верна». О нём тоже надо помнить, ибо формальная логика не о том, «что верно на самом деле», а о том, в каких отношениях между собой состоят суждения.
Кто смеётся в цирке, тот служил в армии
Данный вариант напрямую противоречит предпосылке, поскольку в ней говорится, что все служившие в армии не смеются в цирке. Значит, этот вариант не может быть верен одновременно с предпосылкой и, таким образом, не является следствием из предпосылки.
Кто не смеётся в цирке, тот не служил в армии
Данный вариант нейтрален относительно предпосылки: ведь в ней говорится только о служивших в армии, но не содержится никакой информации о не служивших в ней. Возможно, не служившие тоже все поголовно не смеются в цирке, возможно, все поголовно смеются, а возможно, что смеются только некоторые из них. Предпосылка ничего не говорит о том, какой из этих тезисов верен, а потому мы никак не можем проверить истинность данного варианта.
И ввиду вот этой неопределённости, он не является логическим следствием предпосылки: его истинность никак не зависит от истинности предпосылки.
Кто не смеётся в цирке, тот служил в армии
Как уже говорилось, из предпосылки мы знаем, что все служившие в армии не смеются в цирке, однако мы не знаем, что делают в цирке те, кто не служил в армии. Вполне возможно, что кто-то из них тоже не смеётся в цирке, а потому из того, что некий человек не засмеялся в цирке, нельзя сделать вывод, что он служил в армии: вдруг он как раз из тех не служивших, кто тоже не смеётся?
Таким образом, этот вариант тоже нейтрален относительно предпосылки и, значит, не является логическим следствием из неё.
Предпосылка «кто в армии служил, тот в цирке не смеётся» неверна. Какие суждения будут логическими следствиями этого?
Здесь, надо отметить, более сложный для «интуитивного анализа» случай, поскольку предпосылка является обобщающим утверждением, однако в вариантах представлены и обобщающие суждения, и утверждения о существовании.
Кроме того, здесь вдобавок сообщается, что предпосылка неверна, что ещё сильнее запутывает ситуацию для интуитивного анализа.
Тем не менее, варианты всё ещё можно разобрать один за другим и вычленить среди них реальные следствия.
Кто в армии не служил, тот в цирке не смеётся
Как уже говорилось, в предпосылке есть сведения только про служивших в армии, а про не служивших мы ничего не знаем. Но ведь и сведения о том, что предпосылка неверна, тоже ничего не добавляют нам к знанию о не служивших.
А потому это суждение нейтрально к предпосылке и, таким образом, не является её следствием.
Кто в армии служил, тот в цирке смеётся
Тут уже утверждение, касающееся служивших в армии, о которых нам говорилось в предпосылке. Однако неверность предпосылки вовсе не означает верность оной при условии замены её второй части на отрицание.
Часто людям кажется, будто бы отрицанием обобщающего суждения
будет суждение
Но это совершенно не так.
Мы, например, предположили, что служившие в армии не смеются в цирке. Нам сообщили, что это не так. Как именно сообщили? Ну, например, показали служившего в армии, который смеётся в цирке - этого достаточно, чтобы доказать неверность предпосылки с обобщением.
Однако мы не знаем точного способа опровержения: была ли проверена неверность путём обнаружения одного служившего, который смеётся в цирке, или же кто-то проверил вообще всех из них и выяснил, что вообще все они на самом деле смеются.
То есть из неверности того, что служившие не смеются в цирке, вовсе не следует, что все они, значит, смеются. Возможно, смеётся всего лишь один служивший - наличие такого ведь уже и так говорит о том, что не все служившие не смеются.
Иными словами, у нас слишком мало сведений для распространения одного контр-примера на всё множество. Во множестве, возможно, всё действительно так -смеются все служившие - однако мы не знаем этого точно, а потому не можем утверждать такого.
Значит, данное утверждение может быть и верным, и не верным, если предпосылка неверна. А значит, оно не является следствием из знания о неверности предпосылки.
Кое-кто, кто в армии не служил, в цирке смеётся
Мы по-прежнему ничего не знаем о том, как там дела со смехом в цирке у не служивших в армии. А потому не знаем, есть ли хоть кто-то, кто не служил и смеётся в цирке, или таких нет. Данное утверждение нейтрально и относительно верной, и относительно неверной предпосылки, а потому не является следствием ни из верности предпосылки, ни из неверности.
Кое-кто, кто в армии служил, в цирке смеётся
Из того, что неверна предпосылка, следует, что верно её логическое отрицание. Однако каково это отрицание?
Как уже говорилось выше, из неверности
вовсе не следует верность
А что следует?
Как минимум, следует то, что каким-то образом эту предпосылку опровергли - если уж взялись утверждать, что она именно неверна, а не «неизвестно, верна ли». То есть предъявили как минимум одного служившего в армии, который смеётся в цирке.
Однако ведь именно это и утверждается в данном варианте: «такие есть». Сколько их, нам точно не сказали, но больше нуля - «кое-кто служил, но всё равно в цирке смеётся».
Таким образом, данное суждение правда является следствием неверности предпосылки.
Если бы нам сказали «неизвестно, верно или нет, что отслужившие в армии не смеются в цирке» или даже «из службы в армии не следует, что человек не будет смеяться в цирке», то вывод был бы иным: из этих фраз мы не можем точно узнать, есть ли служившие в армии, которые смеются в цирке, или таких нет. Мы из них знаем лишь то, что у нас нет оснований считать, что из факта службы человека в армии однозначно вывести, что он не будет смеяться в цирке. При этом все отслужившие могли бы там не смеяться по какой-то другой, неизвестной нам причине, а потому мы не могли бы утверждать, что хотя бы один такой точно есть. Они могут быть, но о том, что такие есть, суждения из начала данного абзаца нам не говорят.
Однако в случае с прямым «неверно» мы точно знаем, что есть хотя бы один опровергающий неверное обобщающее суждение пример, что делает суждение из заголовка правильным следствием из неверности тезиса «кто в армии служил, тот в цирке не смеётся».
Небинарность бинарности
Это всё, кстати, и к вопросу о «бинарности» формальной логики. Каждое суждение, таки да, может быть либо верным, либо не верным. Но вот с одновременной верностью суждений всё обстоит несколько сложнее.
Суждения могут быть одновременно верны, одновременно неверны, второе может быть верным, когда неверно первое, а может быть неверным, когда первое верно, но также они могут быть и просто не связаны друг с другом - то есть из верности или неверности первого суждения никак не следует верность или неверность второго.
Кроме того, возможно, что, например, если первое суждение верно, то второе обязательно тоже верно, но вот если первое неверно, то второе может быть и верным, и не верным - это и означает операция «следование».
doc-файл
Однако, поскольку поступили предложения разобрать вопросы и правильные ответы на них, ОК, я разберу.
Первый вопрос был такой.
Дана предпосылка «кто в армии служил, тот в цирке не смеётся». Какие суждения будут её логическими следствиями?
Это - обобщающее суждение вида «все x (люди), принадлежащие к множеству A (служивших в армии), также принадлежат к множеству B (те, кто не смеётся в цирке)».
Его так же можно рассматривать, как операцию следования «из принадлежности x к A следует принадлежность x к B».
Теперь разберём все предложенные варианты по очереди.
Кто смеётся в цирке, тот не служил в армии
Операция следования такова, что при истинности следования из левой части правой истинно и следование из отрицания правой части отрицания левой. То есть
Предложенный вариант суждения - именно такой, а потому он действительно является следствием из предпосылки.
Что, впрочем, можно понять и «из общих соображений». Действительно, нам сказано, что абсолютно все служившие в армии не смеются в цирке. Значит, если нам встретился кто-то, кто в цирке смеётся, он совершенно точно не служил в армии. Значит, действительно верно, что что абсолютно все смеющиеся в цирке, не служили в армии.
Конечно, всегда есть и вариант «сама предпосылка не верна». О нём тоже надо помнить, ибо формальная логика не о том, «что верно на самом деле», а о том, в каких отношениях между собой состоят суждения.
Кто смеётся в цирке, тот служил в армии
Данный вариант напрямую противоречит предпосылке, поскольку в ней говорится, что все служившие в армии не смеются в цирке. Значит, этот вариант не может быть верен одновременно с предпосылкой и, таким образом, не является следствием из предпосылки.
Кто не смеётся в цирке, тот не служил в армии
Данный вариант нейтрален относительно предпосылки: ведь в ней говорится только о служивших в армии, но не содержится никакой информации о не служивших в ней. Возможно, не служившие тоже все поголовно не смеются в цирке, возможно, все поголовно смеются, а возможно, что смеются только некоторые из них. Предпосылка ничего не говорит о том, какой из этих тезисов верен, а потому мы никак не можем проверить истинность данного варианта.
И ввиду вот этой неопределённости, он не является логическим следствием предпосылки: его истинность никак не зависит от истинности предпосылки.
Кто не смеётся в цирке, тот служил в армии
Как уже говорилось, из предпосылки мы знаем, что все служившие в армии не смеются в цирке, однако мы не знаем, что делают в цирке те, кто не служил в армии. Вполне возможно, что кто-то из них тоже не смеётся в цирке, а потому из того, что некий человек не засмеялся в цирке, нельзя сделать вывод, что он служил в армии: вдруг он как раз из тех не служивших, кто тоже не смеётся?
Таким образом, этот вариант тоже нейтрален относительно предпосылки и, значит, не является логическим следствием из неё.
Предпосылка «кто в армии служил, тот в цирке не смеётся» неверна. Какие суждения будут логическими следствиями этого?
Здесь, надо отметить, более сложный для «интуитивного анализа» случай, поскольку предпосылка является обобщающим утверждением, однако в вариантах представлены и обобщающие суждения, и утверждения о существовании.
Кроме того, здесь вдобавок сообщается, что предпосылка неверна, что ещё сильнее запутывает ситуацию для интуитивного анализа.
Тем не менее, варианты всё ещё можно разобрать один за другим и вычленить среди них реальные следствия.
Кто в армии не служил, тот в цирке не смеётся
Как уже говорилось, в предпосылке есть сведения только про служивших в армии, а про не служивших мы ничего не знаем. Но ведь и сведения о том, что предпосылка неверна, тоже ничего не добавляют нам к знанию о не служивших.
А потому это суждение нейтрально к предпосылке и, таким образом, не является её следствием.
Кто в армии служил, тот в цирке смеётся
Тут уже утверждение, касающееся служивших в армии, о которых нам говорилось в предпосылке. Однако неверность предпосылки вовсе не означает верность оной при условии замены её второй части на отрицание.
Часто людям кажется, будто бы отрицанием обобщающего суждения
будет суждение
Но это совершенно не так.
Мы, например, предположили, что служившие в армии не смеются в цирке. Нам сообщили, что это не так. Как именно сообщили? Ну, например, показали служившего в армии, который смеётся в цирке - этого достаточно, чтобы доказать неверность предпосылки с обобщением.
Однако мы не знаем точного способа опровержения: была ли проверена неверность путём обнаружения одного служившего, который смеётся в цирке, или же кто-то проверил вообще всех из них и выяснил, что вообще все они на самом деле смеются.
То есть из неверности того, что служившие не смеются в цирке, вовсе не следует, что все они, значит, смеются. Возможно, смеётся всего лишь один служивший - наличие такого ведь уже и так говорит о том, что не все служившие не смеются.
Иными словами, у нас слишком мало сведений для распространения одного контр-примера на всё множество. Во множестве, возможно, всё действительно так -смеются все служившие - однако мы не знаем этого точно, а потому не можем утверждать такого.
Значит, данное утверждение может быть и верным, и не верным, если предпосылка неверна. А значит, оно не является следствием из знания о неверности предпосылки.
Кое-кто, кто в армии не служил, в цирке смеётся
Мы по-прежнему ничего не знаем о том, как там дела со смехом в цирке у не служивших в армии. А потому не знаем, есть ли хоть кто-то, кто не служил и смеётся в цирке, или таких нет. Данное утверждение нейтрально и относительно верной, и относительно неверной предпосылки, а потому не является следствием ни из верности предпосылки, ни из неверности.
Кое-кто, кто в армии служил, в цирке смеётся
Из того, что неверна предпосылка, следует, что верно её логическое отрицание. Однако каково это отрицание?
Как уже говорилось выше, из неверности
вовсе не следует верность
А что следует?
Как минимум, следует то, что каким-то образом эту предпосылку опровергли - если уж взялись утверждать, что она именно неверна, а не «неизвестно, верна ли». То есть предъявили как минимум одного служившего в армии, который смеётся в цирке.
Однако ведь именно это и утверждается в данном варианте: «такие есть». Сколько их, нам точно не сказали, но больше нуля - «кое-кто служил, но всё равно в цирке смеётся».
Таким образом, данное суждение правда является следствием неверности предпосылки.
Если бы нам сказали «неизвестно, верно или нет, что отслужившие в армии не смеются в цирке» или даже «из службы в армии не следует, что человек не будет смеяться в цирке», то вывод был бы иным: из этих фраз мы не можем точно узнать, есть ли служившие в армии, которые смеются в цирке, или таких нет. Мы из них знаем лишь то, что у нас нет оснований считать, что из факта службы человека в армии однозначно вывести, что он не будет смеяться в цирке. При этом все отслужившие могли бы там не смеяться по какой-то другой, неизвестной нам причине, а потому мы не могли бы утверждать, что хотя бы один такой точно есть. Они могут быть, но о том, что такие есть, суждения из начала данного абзаца нам не говорят.
Однако в случае с прямым «неверно» мы точно знаем, что есть хотя бы один опровергающий неверное обобщающее суждение пример, что делает суждение из заголовка правильным следствием из неверности тезиса «кто в армии служил, тот в цирке не смеётся».
Небинарность бинарности
Это всё, кстати, и к вопросу о «бинарности» формальной логики. Каждое суждение, таки да, может быть либо верным, либо не верным. Но вот с одновременной верностью суждений всё обстоит несколько сложнее.
Суждения могут быть одновременно верны, одновременно неверны, второе может быть верным, когда неверно первое, а может быть неверным, когда первое верно, но также они могут быть и просто не связаны друг с другом - то есть из верности или неверности первого суждения никак не следует верность или неверность второго.
Кроме того, возможно, что, например, если первое суждение верно, то второе обязательно тоже верно, но вот если первое неверно, то второе может быть и верным, и не верным - это и означает операция «следование».
doc-файл