Контринтуитивная орлянка. Часть 3 (окончание)
Начало статьи
Эксперименты
Итак, текущие правила игры такие.
Игроки играют в каждой партии несколько раундов с бросками монетки, причём ставка в каждом раунде определяется как одна десятая от наименьшего капитала. Они играют до тех пор, пока один из игроков не проиграет одну двадцатую того капитала, который у него был в начале партии.
При этом после каждой партии выплачиваются пособия беднейшим 10%, деньги для которых собираются со всех игроков как требуемый для покрытия пособий и общий для всех процент от текущего капитала каждого из игроков.
Начальным состоянием является не «у всех по 10 000 долларов», а некие результаты предыдущей игры - чтобы мы могли посмотреть на изменения капиталов у богатых и бедных.
Вот какие разности в капиталах получаются после тысячи партий (игроки здесь, как и в прошлый раз, отсортированы по возрастанию капитала, имевшегося у них по результатам первой игры).
Хм. Видимо, созданного «подкручиванием» монетки преимущества оказывается недостаточно, чтобы скомпенсировать выплачиваемые пособия, и ротация продолжается.
Попробуем вариант, при котором монетка «подкручена» уже не на одну тысячную в пользу более богатого, а на одну сотую.
Картина прямо противоположная. Тут не только очевидно, что такая система уже работает практически целиком в пользу изначально богатых, но и даже пособия не справляются со стремительным разорением основной массы игроков.
Если при подкрутке в одну тысячную распределение после тысячи партий было вот таким
…то с подкруткой в одну сотую оно уже вот такое
Очевидно, что между этими двумя значениями подкрутки происходит какой-то радикальный перелом, меняющий работу системы в пользу бедных на работу в пользу богатых.
Не менее очевидно и то, что, меняя величину пособий и/или подкрутки можно «настроить» систему на совершенно разные результаты.
Причём, изменения нужны совсем незначительные.
Если, например, сделать подкрутку равной одной сотой, но при этом увеличить пособия в полтора раза, то вот что получится в результате.
Большинство игроков всё ещё разоряется, однако, хотя богатые всё ещё преобладают среди обогатившихся, среди средних и бедных обогатившихся заметно больше, чем в прошлый раз.
Если же увеличить пособие в два, а не в полтора раза, то система опять заработает в пользу бедных.
Хотя по данному графику это может быть и непонятно, однако если построить оный по среднему доходу в каждой квантили (в данном случае их на графике двадцать), то результат будет налицо.
Распределение при этом будет вырождаться из-за разорения игроков, но уже не так сильно, как раньше.
Следует отметить, что каждый раз это всё ещё логнормальное распределение, его же «вырождение» сводится к тому, что «хвост» растёт, и за счёт этого центр «колокола» смещается влево, а «ширина» колокола уменьшается. Хотя при таком масштабе и при таком разбиении на столбики это и не сразу заметно.
Однако, в общем случае это так: увеличение «подкрутки» приводит к росту длины хвоста и смещению колокола влево, сопровождаемого его сужением.
Рост же пособий приводит к увеличению ротации богатых и бедных, а также к замедлению вышеописанного роста хвоста, сопровождаемого сужением колокола, вплоть до поворота сего процесса вспять.
Богатые снова плачут, но теперь уже сильнее
Кстати, давайте посмотрим, что будет, если «подкрутка» в одну сотую, наоборот, делается в пользу более бедного, и при этом пособия втрое большее, чем раньше.
Напомню, изначальное распределение вот такое.
После же 1000 партий с «социальными» правилами игры оно становится вот таким.
Колокол шире, его центр - правее, а хвост короче.
Причём легко догадаться, за счёт кого всё это произошло.
Такая система действительно работает, как «великий уравнитель».
Причём, она стабилизируется в этом состоянии. Вот, например, результаты после 10 000 партий.
Посмотрим, что будет, если пособия вообще отменить, но зато сделать «подкрутку» в пользу бедных сразу в одну десятую.
Этот уравнитель оказывается ещё более сильным, а потому не только безо всяких пособий существенно сокращает разброс, но и вдобавок превращает логнормальное распределение в нормальное. Причём ширина колокола, заметьте, совсем небольшая. Это - практически полное равенство капиталов всех игроков с очень малыми отклонениями от среднего.
Причём подобный результат будет сохраняться сколь угодно долго. Даже без пособий и, соответственно, налогов для их выплаты, «подкрутка монетки» в пользу более бедного в каждой паре приводит систему к состоянию устойчивого равновесия и почти полного равенства капиталов у всех игроков.
Что интересно, если сделать «подкрутку» в пользу бедного в одну сотую, вместо одной десятой, то система всё равно безо всяких пособий приходит в равновесное состояние с практически нормальным распределением. С той разницей, что колокол в этом случае будет пошире.
Иными словами, «подкрутка» в пользу бедного в данной игре выступает в роли крайне эффективного заменителя пособий и налогов для них. Более эффективного, чем сами пособия, которые, как было видно на предыдущих примерах, при «подкрутке» в пользу более богатого могут и не справляться с вырождением распределения.
Экономическая модель
Не факт, что рассмотренная тут модель в точности моделирует реальные процессы в экономике, однако распределение результатов совпадает с наблюдаемым в мире, равно как и изменения в распределениях при определённых действиях («подкрутке» результатов в пользу богатых, увеличению/уменьшению пособий и т.п.) опять же похоже на то, что в этом мире наблюдается.
При этом никаких особо невероятных предположений не сделано: пособия, выраженные в той или иной форме, правда существуют, многоактная конкуренция с непредсказуемыми исходами тоже, законы правда зачастую работают в пользу богатых, не говоря уже о том, что у них могут быть и другие средства для обеспечения себе преимущества, равно как и изменение законов в сторону уменьшения преимущества богатых - вплоть до обеспечения преимущества бедным - тоже неоднократно встречалось.
Причём, при желании, «роль таланта» сюда тоже вполне возможно вписать. Даже ничего особо не меняя: просто в игре с неравными стартовыми капиталами можно трактовать некоторую долю «подкрутки» монетки в пользу более богатых не как результат только лишь их большого капитала и вызываемых им преференций, а ещё и как результат их способностей, в результате которых как раз их капитал и стал большим. Ведь, если ум, талант, трудолюбие или ещё что-то закономерно приводит к богатству, то в самой величине капитала уже заключён этот самый фактор, и (если мы не начали моделирование с одинаковых капиталов у всех игроков) он при введении в модель зависимости вероятности выигрыша от капитала автоматически будет учтён.
Впрочем, соблюдения в правилах игры вышеозвученного принципа «по мере роста капитала у игрока должно расти среднеквадратическое отклонение изменения капитала на следующем шаге» уже достаточно для получения логнормального распределения капиталов, а потому модификации правил, не нарушающие этого принципа, будут сохранять логнормальность распределения, а любой аналог «пособий» - способствовать его стабилизации.
Одновременно с тем можно посмотреть, как вариация «подкрутки» или величины «пособий» меняет поведение системы.
Вполне возможно, что ровно так и происходит в реальном мире, где системы редко когда бывают стабильными сколь угодно долго по данным параметрам.
Сами правила игры могут сохраняться веками, но вот возможность «подкрутить монетку», если ты богаче соперника, при этом может варьироваться. И в те моменты, когда такие возможности возрастают, возрастает и расслоение. Причём, хотя некоторые из бедных или средних тоже смогут в этих условиях обогатиться - сначала на чистом везении выбиться в область богатых, а потом использовать возможности «подкрутки» для закрепления результата и преумножения состояния, а некоторые из богатых могут разориться - в конкуренции с другими богатыми или даже с особо везучими бедными, однако основной тенденцией в эти периоды будет преумножение капиталов богатых и уменьшение капиталов бедных.
Тут следует сказать, что в модели никак не моделируется рост производительности труда. Однако он вполне может привести к тому, что при падении относительного капитала бедных, их уровень жизни всё равно растёт.
Скажем, какие-то причины привели к тому, что за протяжённый период времени количество денег (с поправкой на инфляцию) у каждого из бедных уменьшилось вдвое, однако в это время производительность труда выросла так, что на каждого человека теперь приходится в десять раз больше товаров, чем раньше. В результате при вдвое меньшем количестве денег эти люди потребляют, в среднем, впятеро больше товаров.
Да, не потеряй они половину своей доли, они бы потребляли вдесятеро больше, но ведь даже так они потребляют в абсолютных показателях не вдвое меньше, а впятеро больше, чем раньше.
С другой стороны, в те моменты, когда возможности «подкрутки» становятся минимальными и, возможно, вдобавок ещё выплачиваются весьма большие пособия, часть бедных становится богатыми, значительная часть бедных увеличивает своё состояние и всё это за счёт того, что изрядная часть богатых теряет изрядную часть своих капиталов.
Наконец, если в какой-то момент «подкрутка монетки» сделана в пользу бедных, то даже эта система - система, повторюсь, со случайными попарными взаимодействиями, в которых можно, как выиграть, так и проиграть, - попадает в устойчивое равновесие с нормальным и при этом довольно «узким» распределением капиталов.
И всё это, заметьте, описывается одними и теми же «правилами игры» - в которых всего лишь можно варьировать параметры.
Конечно, для привязки этой модели к реальным ситуациям, нужно найти способ вычислять конкретные параметры модели - диапазон возможного количества бросков монетки в рамках партии и распределение этих количеств по парам, величину «подкрутки» (которая, вдобавок, может меняться с ростом капитала), величину пособия и способ, которым оно выплачивается (в модели оно было одинаковым для всех представителей двух нижних квантилей), ставку налога (в модели она была равной для всех) и т.п.
Однако всё равно довольно интересно то, что изрядное экономическое многообразие реального мира может быть смоделировано этой довольно простой моделью.
Ну и, кроме того, по результатам её анализа можно даже сделать какие-то выводы.
doc-файл
Публикация на сайте «XX2 Век»
Эксперименты
Итак, текущие правила игры такие.
Игроки играют в каждой партии несколько раундов с бросками монетки, причём ставка в каждом раунде определяется как одна десятая от наименьшего капитала. Они играют до тех пор, пока один из игроков не проиграет одну двадцатую того капитала, который у него был в начале партии.
При этом после каждой партии выплачиваются пособия беднейшим 10%, деньги для которых собираются со всех игроков как требуемый для покрытия пособий и общий для всех процент от текущего капитала каждого из игроков.
Начальным состоянием является не «у всех по 10 000 долларов», а некие результаты предыдущей игры - чтобы мы могли посмотреть на изменения капиталов у богатых и бедных.
Вот какие разности в капиталах получаются после тысячи партий (игроки здесь, как и в прошлый раз, отсортированы по возрастанию капитала, имевшегося у них по результатам первой игры).
Хм. Видимо, созданного «подкручиванием» монетки преимущества оказывается недостаточно, чтобы скомпенсировать выплачиваемые пособия, и ротация продолжается.
Попробуем вариант, при котором монетка «подкручена» уже не на одну тысячную в пользу более богатого, а на одну сотую.
Картина прямо противоположная. Тут не только очевидно, что такая система уже работает практически целиком в пользу изначально богатых, но и даже пособия не справляются со стремительным разорением основной массы игроков.
Если при подкрутке в одну тысячную распределение после тысячи партий было вот таким
…то с подкруткой в одну сотую оно уже вот такое
Очевидно, что между этими двумя значениями подкрутки происходит какой-то радикальный перелом, меняющий работу системы в пользу бедных на работу в пользу богатых.
Не менее очевидно и то, что, меняя величину пособий и/или подкрутки можно «настроить» систему на совершенно разные результаты.
Причём, изменения нужны совсем незначительные.
Если, например, сделать подкрутку равной одной сотой, но при этом увеличить пособия в полтора раза, то вот что получится в результате.
Большинство игроков всё ещё разоряется, однако, хотя богатые всё ещё преобладают среди обогатившихся, среди средних и бедных обогатившихся заметно больше, чем в прошлый раз.
Если же увеличить пособие в два, а не в полтора раза, то система опять заработает в пользу бедных.
Хотя по данному графику это может быть и непонятно, однако если построить оный по среднему доходу в каждой квантили (в данном случае их на графике двадцать), то результат будет налицо.
Распределение при этом будет вырождаться из-за разорения игроков, но уже не так сильно, как раньше.
Следует отметить, что каждый раз это всё ещё логнормальное распределение, его же «вырождение» сводится к тому, что «хвост» растёт, и за счёт этого центр «колокола» смещается влево, а «ширина» колокола уменьшается. Хотя при таком масштабе и при таком разбиении на столбики это и не сразу заметно.
Однако, в общем случае это так: увеличение «подкрутки» приводит к росту длины хвоста и смещению колокола влево, сопровождаемого его сужением.
Рост же пособий приводит к увеличению ротации богатых и бедных, а также к замедлению вышеописанного роста хвоста, сопровождаемого сужением колокола, вплоть до поворота сего процесса вспять.
Богатые снова плачут, но теперь уже сильнее
Кстати, давайте посмотрим, что будет, если «подкрутка» в одну сотую, наоборот, делается в пользу более бедного, и при этом пособия втрое большее, чем раньше.
Напомню, изначальное распределение вот такое.
После же 1000 партий с «социальными» правилами игры оно становится вот таким.
Колокол шире, его центр - правее, а хвост короче.
Причём легко догадаться, за счёт кого всё это произошло.
Такая система действительно работает, как «великий уравнитель».
Причём, она стабилизируется в этом состоянии. Вот, например, результаты после 10 000 партий.
Посмотрим, что будет, если пособия вообще отменить, но зато сделать «подкрутку» в пользу бедных сразу в одну десятую.
Этот уравнитель оказывается ещё более сильным, а потому не только безо всяких пособий существенно сокращает разброс, но и вдобавок превращает логнормальное распределение в нормальное. Причём ширина колокола, заметьте, совсем небольшая. Это - практически полное равенство капиталов всех игроков с очень малыми отклонениями от среднего.
Причём подобный результат будет сохраняться сколь угодно долго. Даже без пособий и, соответственно, налогов для их выплаты, «подкрутка монетки» в пользу более бедного в каждой паре приводит систему к состоянию устойчивого равновесия и почти полного равенства капиталов у всех игроков.
Что интересно, если сделать «подкрутку» в пользу бедного в одну сотую, вместо одной десятой, то система всё равно безо всяких пособий приходит в равновесное состояние с практически нормальным распределением. С той разницей, что колокол в этом случае будет пошире.
Иными словами, «подкрутка» в пользу бедного в данной игре выступает в роли крайне эффективного заменителя пособий и налогов для них. Более эффективного, чем сами пособия, которые, как было видно на предыдущих примерах, при «подкрутке» в пользу более богатого могут и не справляться с вырождением распределения.
Экономическая модель
Не факт, что рассмотренная тут модель в точности моделирует реальные процессы в экономике, однако распределение результатов совпадает с наблюдаемым в мире, равно как и изменения в распределениях при определённых действиях («подкрутке» результатов в пользу богатых, увеличению/уменьшению пособий и т.п.) опять же похоже на то, что в этом мире наблюдается.
При этом никаких особо невероятных предположений не сделано: пособия, выраженные в той или иной форме, правда существуют, многоактная конкуренция с непредсказуемыми исходами тоже, законы правда зачастую работают в пользу богатых, не говоря уже о том, что у них могут быть и другие средства для обеспечения себе преимущества, равно как и изменение законов в сторону уменьшения преимущества богатых - вплоть до обеспечения преимущества бедным - тоже неоднократно встречалось.
Причём, при желании, «роль таланта» сюда тоже вполне возможно вписать. Даже ничего особо не меняя: просто в игре с неравными стартовыми капиталами можно трактовать некоторую долю «подкрутки» монетки в пользу более богатых не как результат только лишь их большого капитала и вызываемых им преференций, а ещё и как результат их способностей, в результате которых как раз их капитал и стал большим. Ведь, если ум, талант, трудолюбие или ещё что-то закономерно приводит к богатству, то в самой величине капитала уже заключён этот самый фактор, и (если мы не начали моделирование с одинаковых капиталов у всех игроков) он при введении в модель зависимости вероятности выигрыша от капитала автоматически будет учтён.
Впрочем, соблюдения в правилах игры вышеозвученного принципа «по мере роста капитала у игрока должно расти среднеквадратическое отклонение изменения капитала на следующем шаге» уже достаточно для получения логнормального распределения капиталов, а потому модификации правил, не нарушающие этого принципа, будут сохранять логнормальность распределения, а любой аналог «пособий» - способствовать его стабилизации.
Одновременно с тем можно посмотреть, как вариация «подкрутки» или величины «пособий» меняет поведение системы.
Вполне возможно, что ровно так и происходит в реальном мире, где системы редко когда бывают стабильными сколь угодно долго по данным параметрам.
Сами правила игры могут сохраняться веками, но вот возможность «подкрутить монетку», если ты богаче соперника, при этом может варьироваться. И в те моменты, когда такие возможности возрастают, возрастает и расслоение. Причём, хотя некоторые из бедных или средних тоже смогут в этих условиях обогатиться - сначала на чистом везении выбиться в область богатых, а потом использовать возможности «подкрутки» для закрепления результата и преумножения состояния, а некоторые из богатых могут разориться - в конкуренции с другими богатыми или даже с особо везучими бедными, однако основной тенденцией в эти периоды будет преумножение капиталов богатых и уменьшение капиталов бедных.
Тут следует сказать, что в модели никак не моделируется рост производительности труда. Однако он вполне может привести к тому, что при падении относительного капитала бедных, их уровень жизни всё равно растёт.
Скажем, какие-то причины привели к тому, что за протяжённый период времени количество денег (с поправкой на инфляцию) у каждого из бедных уменьшилось вдвое, однако в это время производительность труда выросла так, что на каждого человека теперь приходится в десять раз больше товаров, чем раньше. В результате при вдвое меньшем количестве денег эти люди потребляют, в среднем, впятеро больше товаров.
Да, не потеряй они половину своей доли, они бы потребляли вдесятеро больше, но ведь даже так они потребляют в абсолютных показателях не вдвое меньше, а впятеро больше, чем раньше.
С другой стороны, в те моменты, когда возможности «подкрутки» становятся минимальными и, возможно, вдобавок ещё выплачиваются весьма большие пособия, часть бедных становится богатыми, значительная часть бедных увеличивает своё состояние и всё это за счёт того, что изрядная часть богатых теряет изрядную часть своих капиталов.
Наконец, если в какой-то момент «подкрутка монетки» сделана в пользу бедных, то даже эта система - система, повторюсь, со случайными попарными взаимодействиями, в которых можно, как выиграть, так и проиграть, - попадает в устойчивое равновесие с нормальным и при этом довольно «узким» распределением капиталов.
И всё это, заметьте, описывается одними и теми же «правилами игры» - в которых всего лишь можно варьировать параметры.
Конечно, для привязки этой модели к реальным ситуациям, нужно найти способ вычислять конкретные параметры модели - диапазон возможного количества бросков монетки в рамках партии и распределение этих количеств по парам, величину «подкрутки» (которая, вдобавок, может меняться с ростом капитала), величину пособия и способ, которым оно выплачивается (в модели оно было одинаковым для всех представителей двух нижних квантилей), ставку налога (в модели она была равной для всех) и т.п.
Однако всё равно довольно интересно то, что изрядное экономическое многообразие реального мира может быть смоделировано этой довольно простой моделью.
Ну и, кроме того, по результатам её анализа можно даже сделать какие-то выводы.
doc-файл
Публикация на сайте «XX2 Век»