Шарики и колбы
Задача, которой прочат популярность и эффектность «самолёта на беговой дорожке».
На весах стоят две колбы, в колбах два шарика. Один (слева) - для пинг-понга, второй (справа) - стальной. Один крепится при помощи нити к подвесу, другой - ко дну колбы. Вопрос, как поведут себя весы?
Должен отметить, что задача составлена с изрядной изобретательностью и эксплуатирует целый ряд плохоосознаваемых фактов «простой физики»: например, физический смысл закона Архимеда и разницу между точками приложения сил. Я от этой задачи даже на время впал в замешательство и сначала машинально сделал неправильное предположение о сохранении равновесия. Запись правильного решения я тоже осилил не с первого раза, и только после того, как понял, на чём в этой задаче ловятся люди (включая меня), я понял и как правильно следует объяснять решение.
Поскольку мне хотелось бы не просто запротоколировать ответ, но ещё и разъяснить эти вышеупомянутые плохоосознаваемые факты, в статье будут пространные отступления от непосредственно решения. А поскольку я ещё и ориентируюсь на уровень людей, для которых физика не профессия, то некоторые вещи будут довольно подробно разжёвываться, хотя физикам они почти очевидны.
Для начала, что именно заставляет весы склоняться в одну или в другую сторону? Вес стоящих на них чаш. Что такое «вес»? Вес - это та сила, с которой тело действует на опору или подвес.
Что давит на чаши весов? Колбы. Не вода, не шары, не нити - только колбы соприкасаются с чашами, следовательно, только они и давят.
Правда, давят они не только своей массой - ведь на них, в свою очередь, давит, например, вода, но на весы, повторюсь, давят именно они. Почему нам это так важно? Потому что первым желанием (после попыток «угадать» решение) у тех, хотя бы немного помнит физику, будет «расписать все силы». А после расписывания всех сил у нас получится примерно следующая картинка.
Вместо «сила тяжести, воздействующая на тело», я иногда для краткости буду писать «сила тяжести тела», хотя сила тяжести, она на самом деле конечно не тела, а Земли.
Кроме того, стрелки сил на картинках смещены от правильного положения - иначе было бы тяжело разобрать, что тут нарисовано. Однако правильные точки приложения сил - центры масс или поверхностей соприкосновения.
На первый взгляд всё круто, но на самом деле тут круто далеко не всё. Что же не так?
Не так две вещи.
Первая из них - «расписанные силы» на самом деле воздействуют на разные объекты. Поэтому попытка скалярно просуммировать силы в области какой-то из колб приведёт к провалу: сумма этих сил на самом деле не является искомым весом колбы. И даже если вспомнить, что реакция опоры в положении равновесия равна весу, то и сумма оставшихся сил не даст решения.
Суммировать можно только силы, действующие на один и тот же объект, приложенные к одной и той же его точке. Об этом вроде бы все помнят, но на практике запросто суммируют что попало.
Вторая вещь, которая тут не так: нескольких сил на самом деле не хватает. И то, что их забыли (рисунок, собственно, и иллюстрировал то, что в данном случае многие забывают), напрямую связано с попыткой «расписать все силы»: эти силы несколько неочевидны, поэтому при подобного рода «полном расписывании» их забудут практически наверняка.
Что это за силы?
Тут я ненадолго сохраню интригу. Вместо прямого ответа, я задам вопрос. Положим, у нас есть колба, которая стоит на весах. Поменяется ли что-то, если на поверхность колбы положить шарик для пинг-понга?
Вообще, здравый смысл должен подсказать, что да, поменяется - к системе добавился шарик. Но поменяется за счёт чего? Ведь шарик выталкивает архимедова сила. Если он не тонет, то эта сила равна силе тяжести, действующей на шарик. Сумма сил равна нулю…
Хм. Тогда наверно ничего не поменяется - быть может, здравый смысл тут нас обманул.
Однако проведём другой мысленный эксперимент: положим на поверхность колбы вместо шарика - атомный ледокол. Если и тут весы не покажут изменений, то уже наоборот надо будет спросить себя, что за мистическая сила удерживает на чашке бытовых весов не только колбу с водой, но ещё и огромный корабль? Ледокол, как и шарик, тоже плавает на поверхности воды, погружаясь в неё лишь отчасти, но ведь вода не обладает антигравитационными свойствами, поэтому чуда таких масштабов очевидно не произойдёт - колба вместе с ледоколом должна сломать весы, стол, на котором они стоят, а потом проломить пол, все этажи и, не исключено, фундамент дома.
Тут ответ уже гораздо более очевиден. Однако вряд ли есть какой-то физический закон, который не меняет вес колбы, если в ней плавает шарик, но радикально меняет, если его заменить на ровно так же плавающий ледокол. Чаша весов, следовательно, сдвинется вниз - что с шариком, что с ледоколом на поверхности колбы. Однако что за сила добавилась к силе тяжести колбы и воды в ней, ранее составлявших вес колбы? Ведь сила тяжести шарика или ледокола уравновесилась силой Архимеда, что за новая сила?
Фокус как раз в вышеупомянутом: нельзя для оценки веса колбы суммировать силы, приложенные к шарику (или к ледоколу). Сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. Но это не значит, что сам шарик никоим образом не воздействует на другие тела́ - в частности, на воду.
Да, это не совсем очевидная штука.
Вода воздействует на шарик силой Архимеда. Но по третьему закону Ньютона шарик воздействует на воду с той же силой, но в противоположном направлении. Ведь именно поэтому выливается вода наполненной до краёв чашки, когда мы в неё бросаем сахара: он толкает воду вниз - с той же силой, с которой вода толкает вверх его. Однако чашка стоит на столе, а потому вместо того, чтобы под воздействием этой силы упасть, толкает своим дном воду вверх, и та выходит за края.
Тут ровно так же: как вода давит на колбу, так и шарик давит на воду. Воду толкает вниз не только её сила тяжести, но ещё и сила, равная по величине, но противоположная по направлению архимедовой силе, выталкивающей шарик. Когда шарик плавает на поверхности, сумма воздействующих на него сил равна нулю, следовательно, архимедова сила равна силе тяжести, действующей на шарик.
Следовательно вес воды - та сила, с которой она давит на колбу - равен силе тяжести воды плюс сила тяжести шарика.
Эти силы, толкающие воду вниз из-за того, что вода выталкивает шарики, пропущены на первом рисунке с расписанными силами.
Кроме них пропущены ещё реакции опоры. Точнее, реакции опоры вроде бы указаны, но только те, которые удерживают колбы на весах. А есть ведь ещё и те силы, которыми дно каждой из колб удерживает воду.
Последние, естественно равны весу воды - иначе она бы не находилась в покое. Однако на решении задачи в явном виде это никак не сказывается. Разве что при ошибочном расписывании сил те силы, которые на самом деле компенсируются реакцией опоры, в решении не будут ни чем скомпенсированы.
Вес воды в этом примере - с шариком на поверхности колбы - не равен силе тяжести, воздействующей на воду: к ней надо прибавить ещё и вес шарика.
Да, это так. Вес часто путают с массой тела, хотя это разные величины (даже размерности у них разные). Однако это - простая ошибка. Более сложная - когда вес путают с силой тяжести. Если тело просто стоит на весах, то вес и сила тяжести действительно равны по величине. Но если мы надавим на тело сверху рукой, то действующая на него сила тяжести не изменится, однако вес тела поменяется - на ту силу, с которой мы на него давим.
Теперь предположим, что шарик привязан к дну колбы. С какой силой колба будет давить на весы?
На шарик действует сила тяжести и выталкивающая сила, как и в предыдущем случае. Но выталкивающая сила больше - ведь шарик погружен целиком. При этом на шарик вдобавок действует сила натяжения нити. Сумма этих сил равна нулю - ведь шарик находится в покое. То есть сила натяжения нити равна архимедовой силе, выталкивающей шарик, минус сила тяжести шарика.
Изменит ли это вес колбы?
Нет. На воду, как и прежде, кроме силы тяжести, действует сила, обратная архимедовой, и эта сила даже возросла, а значит возрос и вес воды. Однако не вода давит на весы, а колба. На колбу же, кроме веса воды и силы тяжести самой колбы воздействует ещё натяжение нити.
Вес воды равен силе тяжести воды плюс выталкивающая шарик сила.
Сила натяжения нити равна силе, выталкивающей шарик, минус сила тяжести шарика.
Вес давит вниз, нить тянет вверх. Слагаемые с выталкивающей силой сокращаются, остаётся сумма силы тяжести воды и силы тяжести шарика. Вдобавок, разумеется, сила тяжести колбы.
Эти два примера намекают нам вот на что: содержимое колбы, сколько бы ни было в ней толкающих друг друга в разные стороны объектов, всегда весит одинаково, если никакие силы извне колбы, кроме силы тяжести, на тела внутри колбы не действуют. Вес этой системы равен сумме сил тяжести, воздействующих на каждое тело внутри колбы. Все остальные возможные силы, действующие внутри колбы на одни тела со стороны других в конечном счёте сократятся между собой и на колбу будет давить одна и та же сила.
Таким образом, мы корректно вычислили, с какой силой левая колба давит на чашу весов: эта сила - то есть вес колбы - равна сумме силы тяжести, действующей на шарик, силы тяжести, действующей на воду, и силы тяжести, действующей на колбу.
Взглянем теперь на правую колбу.
Шарик в правой колбе тяжелее как шарика в левой, так и воды - ведь шарик в левой надо удерживать снизу (он пытается всплыть), а в правой - сверху (он пытается утонуть).
Мы уже знаем, что к силе тяжести воды и колбы в левом случае добавляется ещё сила тяжести шарика. Что будет в правой?
В правой колбе шарик сила тяжести тянет вниз, архимедова сила - вверх, но сила тяжести больше архимедовой, поэтому состояние покоя ему обеспечивает сила натяжения нити, равная разности между силой тяжести и архимедовой.
При этом на воду он продолжает давить своим объёмом: противодействуя выталкивающей его архимедовой силе. Никакая другая сила со стороны воды на него не действует, а следовательно и с его стороны на воду действует только она.
То есть вес воды равен силе тяжести воды плюс сила противодействия архимедовой силе, выталкивающей шарик. Как и в левом случае.
Однако в отличие от него на колбу уже действует только сила тяжести и вес воды - нить прикреплена не к ней, а потому не может тянуть её вверх.
Итого вес колбы равен силе тяжести колбы, плюс сила тяжести воды, плюс архимедова сила, воздействующая на шарик.
Судя по рисунку, правая колба идентична левой и в ней столько же воды, поскольку мы видим, что объёмы шариков одинаковы, а поверхности воды в каждой колбе находятся на одной и той же высоте.
То есть силы тяжести, воздействующая на колбы и на воду в них идентичны. Они не могут оказать влияния на разницу в весе колб. Неидентичные слагаемые: сила тяжести, действующая на шарик, для левой колбы и архимедова сила - для правой.
Архимедова сила равна произведению плотности жидкости на g и на объём шарика. Объём не указан, поэтому величину архимедовой силы мы определить не можем. Сила тяжести равна произведению массы тела на g, но и массу левого шарика мы тоже не знаем.
Однако вопрос стоит не о числах, а о равновесии. Можем ли мы на него ответить, не зная чисел?
Вообще говоря, можем. Левый шарик, как нам известно, пытается всплыть (чему препятствует прикрепление ниткой к дну колбы). Следовательно, архимедова сила, которая его выталкивает, больше его силы тяжести. Поскольку шарики имеют одинаковый объём, на них должна действовать одинаковая выталкивающая сила. То есть архимедова сила, воздействующая на правый шарик, больше силы тяжести левого.
А раз так, то вес правой колбы больше веса левой и правая чаша весов должна опуститься.
Что, кстати, иллюстрируется вот этим видео. В нём, правда, левый шарик плавает на поверхности, но мы уже знаем, что вес колбы не поменяется от того, где именно в ней находится шарик и соединён ли он с ней нитью - главное, чтобы он не был соединён с чем-то вне колбы.
doc-файл
На весах стоят две колбы, в колбах два шарика. Один (слева) - для пинг-понга, второй (справа) - стальной. Один крепится при помощи нити к подвесу, другой - ко дну колбы. Вопрос, как поведут себя весы?
Должен отметить, что задача составлена с изрядной изобретательностью и эксплуатирует целый ряд плохоосознаваемых фактов «простой физики»: например, физический смысл закона Архимеда и разницу между точками приложения сил. Я от этой задачи даже на время впал в замешательство и сначала машинально сделал неправильное предположение о сохранении равновесия. Запись правильного решения я тоже осилил не с первого раза, и только после того, как понял, на чём в этой задаче ловятся люди (включая меня), я понял и как правильно следует объяснять решение.
Поскольку мне хотелось бы не просто запротоколировать ответ, но ещё и разъяснить эти вышеупомянутые плохоосознаваемые факты, в статье будут пространные отступления от непосредственно решения. А поскольку я ещё и ориентируюсь на уровень людей, для которых физика не профессия, то некоторые вещи будут довольно подробно разжёвываться, хотя физикам они почти очевидны.
Для начала, что именно заставляет весы склоняться в одну или в другую сторону? Вес стоящих на них чаш. Что такое «вес»? Вес - это та сила, с которой тело действует на опору или подвес.
Что давит на чаши весов? Колбы. Не вода, не шары, не нити - только колбы соприкасаются с чашами, следовательно, только они и давят.
Правда, давят они не только своей массой - ведь на них, в свою очередь, давит, например, вода, но на весы, повторюсь, давят именно они. Почему нам это так важно? Потому что первым желанием (после попыток «угадать» решение) у тех, хотя бы немного помнит физику, будет «расписать все силы». А после расписывания всех сил у нас получится примерно следующая картинка.
Вместо «сила тяжести, воздействующая на тело», я иногда для краткости буду писать «сила тяжести тела», хотя сила тяжести, она на самом деле конечно не тела, а Земли.
Кроме того, стрелки сил на картинках смещены от правильного положения - иначе было бы тяжело разобрать, что тут нарисовано. Однако правильные точки приложения сил - центры масс или поверхностей соприкосновения.
На первый взгляд всё круто, но на самом деле тут круто далеко не всё. Что же не так?
Не так две вещи.
Первая из них - «расписанные силы» на самом деле воздействуют на разные объекты. Поэтому попытка скалярно просуммировать силы в области какой-то из колб приведёт к провалу: сумма этих сил на самом деле не является искомым весом колбы. И даже если вспомнить, что реакция опоры в положении равновесия равна весу, то и сумма оставшихся сил не даст решения.
Суммировать можно только силы, действующие на один и тот же объект, приложенные к одной и той же его точке. Об этом вроде бы все помнят, но на практике запросто суммируют что попало.
Вторая вещь, которая тут не так: нескольких сил на самом деле не хватает. И то, что их забыли (рисунок, собственно, и иллюстрировал то, что в данном случае многие забывают), напрямую связано с попыткой «расписать все силы»: эти силы несколько неочевидны, поэтому при подобного рода «полном расписывании» их забудут практически наверняка.
Что это за силы?
Тут я ненадолго сохраню интригу. Вместо прямого ответа, я задам вопрос. Положим, у нас есть колба, которая стоит на весах. Поменяется ли что-то, если на поверхность колбы положить шарик для пинг-понга?
Вообще, здравый смысл должен подсказать, что да, поменяется - к системе добавился шарик. Но поменяется за счёт чего? Ведь шарик выталкивает архимедова сила. Если он не тонет, то эта сила равна силе тяжести, действующей на шарик. Сумма сил равна нулю…
Хм. Тогда наверно ничего не поменяется - быть может, здравый смысл тут нас обманул.
Однако проведём другой мысленный эксперимент: положим на поверхность колбы вместо шарика - атомный ледокол. Если и тут весы не покажут изменений, то уже наоборот надо будет спросить себя, что за мистическая сила удерживает на чашке бытовых весов не только колбу с водой, но ещё и огромный корабль? Ледокол, как и шарик, тоже плавает на поверхности воды, погружаясь в неё лишь отчасти, но ведь вода не обладает антигравитационными свойствами, поэтому чуда таких масштабов очевидно не произойдёт - колба вместе с ледоколом должна сломать весы, стол, на котором они стоят, а потом проломить пол, все этажи и, не исключено, фундамент дома.
Тут ответ уже гораздо более очевиден. Однако вряд ли есть какой-то физический закон, который не меняет вес колбы, если в ней плавает шарик, но радикально меняет, если его заменить на ровно так же плавающий ледокол. Чаша весов, следовательно, сдвинется вниз - что с шариком, что с ледоколом на поверхности колбы. Однако что за сила добавилась к силе тяжести колбы и воды в ней, ранее составлявших вес колбы? Ведь сила тяжести шарика или ледокола уравновесилась силой Архимеда, что за новая сила?
Фокус как раз в вышеупомянутом: нельзя для оценки веса колбы суммировать силы, приложенные к шарику (или к ледоколу). Сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. Но это не значит, что сам шарик никоим образом не воздействует на другие тела́ - в частности, на воду.
Да, это не совсем очевидная штука.
Вода воздействует на шарик силой Архимеда. Но по третьему закону Ньютона шарик воздействует на воду с той же силой, но в противоположном направлении. Ведь именно поэтому выливается вода наполненной до краёв чашки, когда мы в неё бросаем сахара: он толкает воду вниз - с той же силой, с которой вода толкает вверх его. Однако чашка стоит на столе, а потому вместо того, чтобы под воздействием этой силы упасть, толкает своим дном воду вверх, и та выходит за края.
Тут ровно так же: как вода давит на колбу, так и шарик давит на воду. Воду толкает вниз не только её сила тяжести, но ещё и сила, равная по величине, но противоположная по направлению архимедовой силе, выталкивающей шарик. Когда шарик плавает на поверхности, сумма воздействующих на него сил равна нулю, следовательно, архимедова сила равна силе тяжести, действующей на шарик.
Следовательно вес воды - та сила, с которой она давит на колбу - равен силе тяжести воды плюс сила тяжести шарика.
Эти силы, толкающие воду вниз из-за того, что вода выталкивает шарики, пропущены на первом рисунке с расписанными силами.
Кроме них пропущены ещё реакции опоры. Точнее, реакции опоры вроде бы указаны, но только те, которые удерживают колбы на весах. А есть ведь ещё и те силы, которыми дно каждой из колб удерживает воду.
Последние, естественно равны весу воды - иначе она бы не находилась в покое. Однако на решении задачи в явном виде это никак не сказывается. Разве что при ошибочном расписывании сил те силы, которые на самом деле компенсируются реакцией опоры, в решении не будут ни чем скомпенсированы.
Вес воды в этом примере - с шариком на поверхности колбы - не равен силе тяжести, воздействующей на воду: к ней надо прибавить ещё и вес шарика.
Да, это так. Вес часто путают с массой тела, хотя это разные величины (даже размерности у них разные). Однако это - простая ошибка. Более сложная - когда вес путают с силой тяжести. Если тело просто стоит на весах, то вес и сила тяжести действительно равны по величине. Но если мы надавим на тело сверху рукой, то действующая на него сила тяжести не изменится, однако вес тела поменяется - на ту силу, с которой мы на него давим.
Теперь предположим, что шарик привязан к дну колбы. С какой силой колба будет давить на весы?
На шарик действует сила тяжести и выталкивающая сила, как и в предыдущем случае. Но выталкивающая сила больше - ведь шарик погружен целиком. При этом на шарик вдобавок действует сила натяжения нити. Сумма этих сил равна нулю - ведь шарик находится в покое. То есть сила натяжения нити равна архимедовой силе, выталкивающей шарик, минус сила тяжести шарика.
Изменит ли это вес колбы?
Нет. На воду, как и прежде, кроме силы тяжести, действует сила, обратная архимедовой, и эта сила даже возросла, а значит возрос и вес воды. Однако не вода давит на весы, а колба. На колбу же, кроме веса воды и силы тяжести самой колбы воздействует ещё натяжение нити.
Вес воды равен силе тяжести воды плюс выталкивающая шарик сила.
Сила натяжения нити равна силе, выталкивающей шарик, минус сила тяжести шарика.
Вес давит вниз, нить тянет вверх. Слагаемые с выталкивающей силой сокращаются, остаётся сумма силы тяжести воды и силы тяжести шарика. Вдобавок, разумеется, сила тяжести колбы.
Эти два примера намекают нам вот на что: содержимое колбы, сколько бы ни было в ней толкающих друг друга в разные стороны объектов, всегда весит одинаково, если никакие силы извне колбы, кроме силы тяжести, на тела внутри колбы не действуют. Вес этой системы равен сумме сил тяжести, воздействующих на каждое тело внутри колбы. Все остальные возможные силы, действующие внутри колбы на одни тела со стороны других в конечном счёте сократятся между собой и на колбу будет давить одна и та же сила.
Таким образом, мы корректно вычислили, с какой силой левая колба давит на чашу весов: эта сила - то есть вес колбы - равна сумме силы тяжести, действующей на шарик, силы тяжести, действующей на воду, и силы тяжести, действующей на колбу.
Взглянем теперь на правую колбу.
Шарик в правой колбе тяжелее как шарика в левой, так и воды - ведь шарик в левой надо удерживать снизу (он пытается всплыть), а в правой - сверху (он пытается утонуть).
Мы уже знаем, что к силе тяжести воды и колбы в левом случае добавляется ещё сила тяжести шарика. Что будет в правой?
В правой колбе шарик сила тяжести тянет вниз, архимедова сила - вверх, но сила тяжести больше архимедовой, поэтому состояние покоя ему обеспечивает сила натяжения нити, равная разности между силой тяжести и архимедовой.
При этом на воду он продолжает давить своим объёмом: противодействуя выталкивающей его архимедовой силе. Никакая другая сила со стороны воды на него не действует, а следовательно и с его стороны на воду действует только она.
То есть вес воды равен силе тяжести воды плюс сила противодействия архимедовой силе, выталкивающей шарик. Как и в левом случае.
Однако в отличие от него на колбу уже действует только сила тяжести и вес воды - нить прикреплена не к ней, а потому не может тянуть её вверх.
Итого вес колбы равен силе тяжести колбы, плюс сила тяжести воды, плюс архимедова сила, воздействующая на шарик.
Судя по рисунку, правая колба идентична левой и в ней столько же воды, поскольку мы видим, что объёмы шариков одинаковы, а поверхности воды в каждой колбе находятся на одной и той же высоте.
То есть силы тяжести, воздействующая на колбы и на воду в них идентичны. Они не могут оказать влияния на разницу в весе колб. Неидентичные слагаемые: сила тяжести, действующая на шарик, для левой колбы и архимедова сила - для правой.
Архимедова сила равна произведению плотности жидкости на g и на объём шарика. Объём не указан, поэтому величину архимедовой силы мы определить не можем. Сила тяжести равна произведению массы тела на g, но и массу левого шарика мы тоже не знаем.
Однако вопрос стоит не о числах, а о равновесии. Можем ли мы на него ответить, не зная чисел?
Вообще говоря, можем. Левый шарик, как нам известно, пытается всплыть (чему препятствует прикрепление ниткой к дну колбы). Следовательно, архимедова сила, которая его выталкивает, больше его силы тяжести. Поскольку шарики имеют одинаковый объём, на них должна действовать одинаковая выталкивающая сила. То есть архимедова сила, воздействующая на правый шарик, больше силы тяжести левого.
А раз так, то вес правой колбы больше веса левой и правая чаша весов должна опуститься.
Что, кстати, иллюстрируется вот этим видео. В нём, правда, левый шарик плавает на поверхности, но мы уже знаем, что вес колбы не поменяется от того, где именно в ней находится шарик и соединён ли он с ней нитью - главное, чтобы он не был соединён с чем-то вне колбы.
doc-файл