Про равновесие и перетягивание каната
И, конечно, как всегда про рыночную экономику.
И ещё это - задача
Равновесием системы в общем случае называют такое состояние системы, при котором система находится в состоянии покоя. То есть, в ней отсутствуют изменения параметров. В частных случаях термин приобретает несколько иные значения. Так, различают «устойчивое» и «неустойчивое» равновесие. Первое характеризуется тем, что отклонения системы от состояния равновесия (для определённости, назовём такое «точкой равновесия») приводят к возникновению сил, устремляющих систему обратно в это состояние. Под вторым подразумевается, что отклонения системы от точки равновесия наоборот утягивают её ещё дальше от этой точки.
Равновесие может рассматриваться как некоторое явление в системе с жёстко заданной конфигурацией, так и явление в системе, конфигурация которой меняется в результате функционирования системы. Первый случай вполне понятен - это, например, шарик, брошенный в полусферическую ямку. Через некоторое время шарик окажется на самом дне ямки и любые его смещения после того, как он остановится на дне ямке, всё равно в конечном счёте выльются в его возвращение на самое дно.
Случай с изменяемой конфигурацией несколько сложнее. Его иллюстрацией, например, служит бросок тяжёлого шарика в бокал. Под воздействием шарика бокал будет шататься, что приведёт к постоянной смене точки равновесия в системе координат бокала. То есть, в разные моменты времени «слепок» системы будет давать разные точки равновесия в плане рассмотрения слепка системы как её стационарного состояния. Подразумевается, что если бы мы поймали в какой-то момент времени бокал рукой и удержали бы его в том положении, которое он в данный момент времени принял, то через некоторое время шарик бы оказался в некоторой точке, где у него в рамках описанной системы будет устойчивое равновесие.
Конечно, можно подобрать такую конфигурацию бокала, у которой некоторые слепки будут давать не одну точку равновесия, а некоторое их множество.
Собственно, к чему это всё? Это всё к тому, что когда вам говорят про «равновесие», надо внимательно разбираться, которое именно имеется в виду. Поскольку разные равновесия имеют разный физический смысл.
Так, в частности, в ряде случаев приходится встречаться со следующим рассуждением:
Наша система уравновешивает сама себя. Конечно, некоторые действия её составных элементов временами выводят её из равновесия, однако равномерная распределённость таких действий по противоположным направлениям неминуемо возвращает систему в то же состояние, в котором она была. Или даже в ещё более близкое к равновесию - если раньше система была ещё не в нём.
Под элементами системы обычно подразумеваются игроки в некооперативную игру. То есть, конкуренты. Каждый из них стремится изменить систему в свою пользу, однако, - как говорится в рассуждении, - поскольку к такому стремятся все, их усилия уравновешивают друг друга и система пребывает в гармонии.
Вопрос равновесия тут очень тонкий. Поскольку вопрос «уравновешивания» открыт. Неясно, про какое равновесие говорится в таком «уравновешивании». Понимается ли тут переход от одной точки равновесия к другой или же возврат всё время в одну и ту же?
Впрочем, это даже не так существенно как вопрос о поведении системы. Как себя будет такая система вести?
Тут я не буду рассматривать общий случай, а для большей наглядности рассмотрю частный.
Есть две команды, которые перетягивают канат. Цель каждой команды - перетащить центр каната за пределы некоторой окружности, центр которой на старте совмещён с центром каната. Окружность, пипец, огромная. Километр радиусом. А команды равны по силе. То есть, при прочих равных тянут с одной и той же силой в разные стороны.
Однако без флуктуаций никуда. Перетягивают не кто-то там, а люди, поэтому иногда кто-то чихнёт, иногда у кого-то зачешется, иногда рука дрогнет и так далее. В такие моменты противоположная команда получает преимущество и успевает на шаг (полметра) перетащить в свою сторону.
Вопрос: что будет происходить с канатом?
Навскидку хочется ответить: «игроки будут топтаться вокруг центра окружности и так до бесконечности». Логика ведь подсказывает, что матожидание смещения системы по условиям задачи равно нулю, поэтому движения в среднем не будет.
Матожидание (математическое ожидание) это среднее значение некоторой величины при многократных попытках её измерить. Причём, посчитанное теоретически (в отличие от среднего, которое считается для конкретного набора значений). Предполагается, что при каждом измерении прибор будет давать немного отличающиеся значения из-за случайных факторов, присутствующих во время постановки экспериментов. Тогда наилучшей оценкой реального значения будет среднее арифметическое по всем измерениям (то есть, сумма всех измерений, делённая на их количество). Попытка предсказать это самое среднее в рамках построенной модели называется «матожиданием». Если модель соответствует реальности, то при стремлении количества экспериментов к бесконечности, среднее, подсчитанное по результатам эксперементов, будет стремиться к матожиданию.
Эти простые соображения зачастую используются в совершенно неправильном контексте, что приводит к многочисленным ошибкам.
Однако желающие могут запросто провести эксперимент в рамках упрощённой модели: есть точка в центре экрана, на каждой итерации к её координате прибавляется -1, 0 или 1. Или даже для простоты -1 или 1. Итерации, не меняющие координаты мы проигнорируем.
Так вот, матожидание всё тот же ноль. Точка должна вяло болтаться вокруг центра и так всегда. Однако неожиданно для всех в считанные секунды (максимум, минуты) точка улетает за край экрана.
Бытовой здравый смысл от такого обрушивается напрочь. Лично я в свои четырнадцать лет был сильно поражён результатами поставленного мной эксперимента. И сходу объяснить результаты не смог.
Конечно, теперь, когда я вооружён познаниями в области теории вероятности, стало проще. Однако многие другие, как мне кажется, эти познания так и не получили. А познания, они весьма важные.
В общем случае равная нулю равнодействующая сил в каждый момент времени не тождественна нулевому матоожиданию равнодействующей сил.
Разница состоит в том, что тело, на которое действуют уравновешивающие друг друга в каждый момент времени силы, будет покоиться (если оно покоилось в стартовой точке), тело же, на которое действуют силы, матожидание равнодействующей которых равно нулю, с ненулевой вероятностью за достаточно большой промежуток времени выйдет за любой наперёд заданный предел, даже если в стартовой точке оно покоилось.
Причина этого в том, что матожидание - это предел на бесконечном временном (или итерационном) промежутке. При этом на любом конечном оно может от нуля отличаться.
В рамках этого можно сформулировать задачу:
Дана вышеописанная точка в положении «ноль». На каждой итерации к ней либо прибавляется один, либо вычитается один, причём, оба варианта - равновероятны.
Вопрос: какова вероятность того, что за n итераций, точка достигнет заранее заданного положения k (целое число)?
Вероятность, очевидно, ненулевая для n >= k. Подсчитать вероятность - не так просто. Я уже попробовал. Легко только подсчитать вероятность того, что на n-ой итерации точка будет в положении k. Но и такой вариант тоже сойдёт.
Теперь можно и про канат догадаться - с ненулевой вероятностью одна из комманд за наперёд заданный промежуток времени выиграет даже при километровом радиусе соревновательного круга (конечно, есть ограничения этого промежутка, но выше них вероятность уже ненулевая).
Казалось бы, причём тут рыночная экономика?