Основы теории динамических систем. Теория хаоса, странные аттракторы и непринятие учёных-ортодоксов
Странный аттрактор
Сторонник теории динамического хаоса Рольф Абрахам в своих работах стремился особенно подчеркнуть, что множество древних мифологий, рассказывающих о самозарождающемся вихре хаоса, из которого появляется вселенная, переживают сейчас второе рождение. Он доказывал, что в последние десятилетия они возвращаются под видом одной из отраслей математики - теории динамических систем,основанной на создании математических моделей динамических процессов в природе. В теории динамических систем хаос уже не рассматривается как «шум», от которого следует очистить математические расчёты, а фрактальные контуры - это и есть Земля.
Теория динамических систем изучает любые объекты или процессы, для которых однозначно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в некоторый момент времени, и задан закон, описывающий эволюцию начального состояния с течением времени. Подробнее остановлюсь на теории хаоса - ответвлении теории динамических систем, и расскажу, почему её так невзлюбили многие представители традиционного научного сообщества.
Отцом данной теории считается Пуанкаре, открывший новые математические системы в 18 в. Далее последовало появление теории катастроф - частного случая теории хаоса, которая занимается как раз стабильностью в динамических процессах.
Теория хаоса занимается процессами, протекающими в природном мире не в идеальных (лабораторных), а в естественных условиях. С помощью компьютерного моделирования удалось обнаружить, что, когда система входит в состояние турбулентности - например, кипение воды, эпилептический припадок, массовые беспорядки, - в действительности она переходит в состояние бесконечно сложной организованности - настолько сложной, что невооружённому глазу это состояние кажется полной энтропией. На самом же деле оно представляет собой состояние полуслучайной активности, управляемое математической геометрией, - хаотическим аттрактором, которая преобразует видимый хаос в состояние порядка высокой сложности. Таким образом, хаос способен к сложной самоорганизации.
В основе теории хаоса лежит изучение поведения аттракторов и бифуркаций.
Бифуркация - термин, обозначающий изменение особого типа на карте динамического поведения сложной системы, где под картой имеется в виду конфигурация аттракторов и бассейнов. В каждом бассейне где-то в центре есть один аттрактор - нечто размытое, похожее на звёздную галактику. Между бассейнами есть границы, которые отделяют один от другого. На этой карте аттракторы - это размытые и сложные фракталы, поэтому, если смотреть на них в микроскоп, наблюдаются рекурсивные репрезентации, которые выглядят точно так же, как и не увеличенное изображение.
Когда лежащее в основе динамической системы правило изменяется, - например, возрастает внешняя сила, или температура, или давление ветра и т.д. - меняется сама карта. Иногда это изменение совсем незначительно, а иногда карта вдруг словно преломляется и перестраивается в систему/карту, существенно отличающуюся от первоначальной. Это и есть бифуркация - когда динамическая система изменяется под действием внешних сил и происходит нечто существенное. Бифуркации подразделяются на 3 основных класса: катастрофические, тонкие и взрывные. Катастрофические бифуркации также известны под просторечным названием «катастрофы».
Аттрактор, в свою очередь - некое пространство/точка, к которому система, стремясь найти равновесие, образно говоря, «притягивается».
Аттракторы делятся на множество подтипов. Для простых систем, таких как маятник, который подтолкнули и который в конце концов останавливается и замирает в одной точке, характерны точечные аттракторы. Системы, совершающие периодические колебания, тяготеют к периодическим аттракторам. А поведение сложных систем - от климата до тенденций на фондовой бирже - обусловлено странными аттракторами. В свою очередь, все аттракторы описываются математикой фрактальной геометрии.
(Подробнее о видах аттракторов можно почитать в статье на habr: "Визуализация хаоса: как представляют аттракторы динамических систем": https://habr.com/ru/company/mailru/blog/513016/).
Странный аттрактор обитает в фазовом пространстве - одном из удивительнейших изобретений современной науки. Фазовое пространство делает возможным превращение чисел в изображения, извлекая даже малую толику существенной информации из движущихся систем, механических или жидкостных, и наглядно демонстрируя все их возможности. Физики уже имели дело с двумя более или менее простыми типами аттракторов - фиксированными точками и замкнутыми кривыми, описывающими поведение таких систем, которые достигли устойчивого состояния или непрерывно себя повторяют.
В фазовом пространстве все известные данные о динамической системе в каждый момент времени концентрируются в одной точке, которая и представляет собой данную систему в кратчайшем временном отрезке. В следующее мгновение система уже претерпит изменения, пусть даже совсем незначительные, и точка изменит свое местонахождение. Всю длительность существования системы можно изобразить на графике, следя за перемещениями точки с течением времени и наблюдая за ее орбитой в фазовом пространстве.
Но как же все данные о сложнейшей системе могут быть представлены лишь в одной точке? Если система характеризуется двумя переменными, найти ответ не составляет труда, он напрямую вытекает из Евклидовой геометрии, преподаваемой в средней школе: одна из переменных располагается на горизонтальной оси x, а другая - на вертикальной оси y.
Если же система представляет собой качающийся маятник, свободный от действия силы трения, то одна из переменных является его положением в пространстве, а другая - скоростью. Они непрерывно меняются, образуя линию из точек, которая изгибается петлей, вновь и вновь повторяющей саму себя. Та же система, но обладающая более высокой энергией, раскачивающаяся быстрее и дальше, образует в фазовом пространстве петлю, схожую с первой, но большую по размерам.
Впрочем, столкнувшись с одним из проявлений реальности -трением, система начинает претерпевать изменения. Чтобы описать поведение маятника, подверженного трению, не нужны уравнения движения: каждое его колебание фактически заканчивается на одном и том же месте, в центре, откуда начиналось движение, и скорость его в эти моменты равна нулю. Данная центральная фиксированная зона как бы «притягивает» колебания. Вместо того чтобы вечно чертить на графике петли, орбита маятника спиралью закручивается внутрь. Трение рассеивает энергию системы, что в фазовом пространстве выглядит как толчок к центру. Наблюдается движение из внешних зон с высокой энергией к внутренним зонам с низкой энергией. Аттрактор - простейший из возможных - подобен магниту величиной с булавочную головку, встроенному в лист резины.
Одним из преимуществ рассмотрения состояний системы как совокупности точек в пространстве является то, что в таком случае легче наблюдать происходящие изменения. Система, в которой переменные непрерывно увеличиваются и уменьшаются, превращается в движущуюся точку, словно муха, летающая по комнате. Если некоторые комбинации переменных никогда не возникают, ученый может просто предположить, что пределы комнаты ограничены и насекомое никогда туда не залетит. При периодическом поведении изучаемой системы, когда она снова и снова возвращается к одному и тому же состоянию, траектория полета мушки образует петлю, и насекомое минует одну и ту же точку в пространстве множество раз. Своеобразные портреты физических систем в фазовом пространстве демонстрировали образцы движения, которые были недоступны наблюдению иным способом. Так фотография природного ландшафта в инфракрасных лучах открывает те мелочи и детали, которые существуют вне досягаемости нашего восприятия. Ученый, взглянув на фазовую картину, мог, призвав на помощь воображение, уяснить сущность самой системы: петля здесь соответствует периодичности там, конкретный изгиб воплощает определенное изменение, а пустота говорит о физической невероятности.
Даже при наличии двух переменных изображения в фазовом пространстве могли еще многим удивить. Даже на мониторах настольных компьютеров можно было построить кое-какие из них, превращая уравнения в красочные траектории. Некоторые физики начали создавать серии движущихся картинок и снимать видеопленки, чтобы продемонстрировать их своим коллегам. Математики из Калифорнии публиковали книги, иллюстрированные множеством красно-сине-зеленых рисунков в стиле анимации, - «комиксы хаоса», как отзывались о них, не без яда, коллеги авторов. Но пара измерений не охватывала всего богатства систем, которые хотели изучать физики, и ученые стремились ввести больше двух переменных, что, естественно, требовало увеличения числа измерений. Каждый фрагмент динамической системы, способный к независимому перемещению, является уже новой переменной, воплощая иную «степень свободы», и для каждой такой степени требуется новое измерение в фазовом пространстве. Иначе нет уверенности, что одна единственная точка содержит достаточно информации для описания состояния системы в каждый конкретный момент времени.
Простые уравнения, изучавшиеся математиком Робертом Мэем, являлись однопространственными. Они позволяли обойтись одним числом -значением температуры или численности популяции, которое определяло местоположение точки на прямой, располагавшейся в одном измерении. Развернутая система метеоролога Эдварда Лоренца, описывавшая конвекцию в жидкостях, имела три измерения, но не потому, что жидкость двигалась в трех пространственных измерениях, а потому, что для описания состояния жидкости в каждый момент времени требовалось три вполне определенных числа. Даже топологу с самой развитой фантазией нелегко представить пространства, обладающее четырьмя, пятью и более измерениями. Однако сложные системы имеют множество независимых переменных, поэтому математикам пришлось смириться с тем, что множество степеней свободы требует фазового пространства, где бесконечно много измерений. Так ничем не ограниченная природа дает о себе знать в бурных струях водопада или в непредсказуемости человеческого мозга. Но кто сумеет справиться с буйным, необоримым чудищем турбулентности, которому присущи многообразие форм, неопределенное число «степеней свободы»,бесконечное количество измерений?
- Таким образом, физики имели вполне вескую причину, чтобы с неприязнью относиться к модели, поведение которой столь неясно. Используя нелинейные уравнения, описывающие движения жидкости, мощнейшие суперкомпьютеры мира не могли точно проследить турбулентный поток даже одного кубического сантиметра жидкости в течение нескольких секунд. Конечно, виновата в этом больше природа, нежели Ландау, тем не менее предложенная советским ученым схема производила эффект «поглаживания против шерсти». Даже не имея сколько-нибудь солидных знаний, физик вполне мог заподозрить, что феномен не поддается интерпретации. Подобное ощущение выразил словами великий теоретик квантовой физики Ричард Филлипс Фейнман: «Меня всегда беспокоило, что согласно законам в их современном понимании вычислительной машине нужно выполнить бесчисленное количество логических операций, чтобы выяснилось, что же происходит в пространстве и времени, независимо от того, насколько малым является это пространство и сколь коротким - время. Как подобное может случаться в таком маленьком пространстве? Почему требуется столько усилий, чтобы выяснить наконец, какова дальнейшая судьба отрезка времени или капельки пространства?»
Метеоролог Эдвард Лоренц внёс очень большой вклад в теорию хаоса. В шестидесятых годах прошлого века он работал над компьютерной программой, моделирующей движение воздушных масс в атмосфере Земли. Все мы знаем, что компьютер (вопреки расхожим слухам) является строго детерминированной системой, и это создаёт известный принцип «garbage in garbage out». Лоренц гонял свою программу и в хвост, и в гриву, получая всякие разные результаты. Некоторые его коллеги даже делали предположения, что эта модель является точным предсказателем погоды, спрашивали, брать ли завтра зонтик. Разумеется, эти выводы были поспешны, вскоре выяснилась одна особенность модели погоды. Один раз для ускорения вычислений, Лоренц запустил программу не сначала, а ввёл в неё данные из предыдущего «прогона», которые были распечатаны на бумаге. Однако результаты такого запуска быстро начали отклоняться от уже полученных, формируя абсолютно другую картину. Немного неожиданно, не так ли? Оказалось, что Лоренц вводил не точные результаты прошлых вычислений, а округлённые перед выводом на печать, эта погрешность просто игнорировалась. Модель Лоренца оказалась сверхчувствительна к начальным условиям. Малейшее различие во входных данных приводило к сильному расхождению результатов с течением времени. Эта зависимость от начальных условий и была названа хаосом. Лоренцом была озвучена знаменитая черта хаоса, именуемая «эффектом бабочки», который предполагает, что в зависимости от того, махнёт ли бабочка крыльями в лесах Бразилии зависит, случится ли в Техасе ураган или нет. Этот же принцип был положен в основу одноимённого фильма с Эштоном Катчером (ненаучное кино).
Вся эта зависимость от начальных условий предполагает, что мы не можем делать долгосрочные прогнозы в нестабильных динамических системах. Любая погрешность в начальных условиях не позволит нам предсказать результат на какой-либо продолжительный отрезок времени. Если, к примеру, взять модель Лоренца, в качестве входных данных для определения скорости ветра нам будет необходимо ввести значения температуры и давления в каждой точке земной атмосферы, только тогда можно будет ожидать достоверный прогноз на длительный срок. Причём, входные данные должны быть абсолютно точными, т. е. с бесконечным числом знаков после запятой. А как известно, совершенно все измерительные приборы на Земле имеют ненулевую погрешность. Как бы точно не была измерена величина, всегда можно (теоретически) измерить точнее. Да и нет таких машин, которые бы позволили вводить бесконечное количество знаков после запятой. Может с приходом квантовых компьютеров что-то и изменится, не знаю.
Вот и выходит, что никуда от хаоса не деться и надо с ним мириться. Но не всё так плохо, на мой взгляд. Если бы все процессы во вселенной были бы полностью детерминированными, без единого намёка на случайность, жить было бы намного скучнее. Некоторые учёные даже склоняются к мысли о том, что хаос придаёт вселенной «стрелу времени», направленное и необратимое движение из прошлого в будущее.
Надо отметить, что теория хаоса - это очень молодая область науки, и поиск, начавшийся с идеи уйти от математической абстракции в сторону практического «создания» хаоса, продолжается по сей день.
Неизменно одно: наш интерес с силой Великого аттрактора притягивают системы, чрезвычайно чувствительные к небольшим отклонениям в описании начального состояния. Мы сталкиваемся с этими системами не из праздного любопытства - мы живем среди них и благодаря им.
В следующей статье приведу примеры, на мой взгляд, интересных хаотических аттракторов и любопытных, хоть и ненаучных , теорий, связанных с ними.