Ещё немного Лакоффа
Ещё немного сумбурных мыслей. Это выжимка из конспекта (ага) первых глав книги "Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics Into Being". Вряд ли вам будет интересно, если вы не такой гик как я :)
Глава 2: роль метафор в мышлении. роль нейропсихологии в математике - для математики (например, доказательство гипотезы Римана) и арифметики задействуются разные участки мозга (как говорят, многие профессора математики, легко управляющиеся с функторами и сложными интегралами, с трудом сложат 54 с 72).
Глава 3: объяснение базовых метафор, на которых основывается математика. Основная идея: математика - одна большая метафора. Рассматриваются "метафоры-основания" и "метафоры связывания". Соответственно, первые соединены вторыми. Метафоры связывания позволяют нам абстрагироваться от метафор основания.
Четыре метафоры основания для арифметики (пока ещё не математики, нет) - это "арифтметика как собирание объектов", "арифметика как конструирование объектов", "... как измерительная палочка", "...как движение".
Собирание объектов: числа - просто наборы физических объектов. Такую метафору непросто расширять, зато легко понять. Можно получить ноль - пустое множество.
Конструирование объектов: набор из двух состоит из одного объекта и ещё одного объекта. Кажоде число может быть разобрано или сконструировано из других. Теперь можно получать дроби.
Измерительная палочка: числа как длины. Теперь можно получить иррациональные числа (например, корень из двух как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длины 1).
Движение: числа как дистанции. Так как двигаться можно в любом направлении, можно получить отрицательные числа (а впоследствии и комплексные).
В общем, тут говорится как разные интерпретации позволяют получить разные действия над числами. Как каждая из метафор интерпретирует сложение, вычитание, умножение и деление. Чтобы выполнять вычисления, нам приходится комбинировать различные метафоры.
Глава 4: полна повторов. Если коротко, тут приводятся доказательства того что четыре основных метафоры существуют, плюс некоторые примеры. Несколько интересных вещей:
- ЭФР (Эквивалентные фреймы результатов). Это набор из трех вещей: желаемого результата, необходимых действий и сущностей, и списка способов выполнить действия над сущностями, чтобы достичь этого результата. Так реализуется ассоциативность в математике (для тех кто забыл математику: A+(B+C) = (A+B)+C). Таким образом, в соответствии с этой теорией, ассоциативность - не аксиома, а следствие. Математикам это почему то нравится.
- Четыре базовых метафоры изоморфны на множестве натуральных чисел. Тут всё непросто, надо будет спросить кого нибудь кто понимает в математике больше меня.
- Оценка (subitizing) и подсчёт. Если коротко - когда мы видим небольшую группу объектов (до четырёх), мы не подсчитываем их в уме, мы сразу видим их количество, это и есть subitizing. Если в группе больше объектов, всё немного сложнее - она разбивается на подгруппы, которые всё равно оцениваются. Так происходит подсчёт.
- Идея о том что символы, представляющие количества объектов - это не сами объекты. На первый взгляд очевидно, но тут главное - последствия. Выбор нотации чрезвычайно важен для простоты расчётов (сравните римские цифры с арабскими, например).