Задачки для 5-8

[kukina_kat]

В прошлом году к олимпиадам я придумала какое-то довольно большое количество задач. В итоге примерно половина из них пошла в продакшн -- и их можно показать. На показ все равно получилось около 16 задач, я их разобью на две порции. Сегодня -- ваше самое любимое, задачки для 5-8 класса.
Возле каждой задачи -- спойлер, где описываются всякие методические штуки. Для какого класса задача, как именно она предлагалась на олимпиаде и т.п. Если вам интересно самому порешать задачу -- можно туда не читать.

Комменты не буду скрывать. Если кому-то интересно порешать самому -- не читайте комменты.

Задача про тортилью.



Мы с мужем обычно делим тортилью вполне определенным образом. Но однажды муж был так голоден, что съел в полтора раза больше тортильи, чем обычно. Мне при этом досталось в два раза меньше тортильи, чем обычно. Как мы обычно делим тортилью?

[пояснения]

• В приблизительно в этой формулировке задачу предлагали на олимпиаде 7 класса. Только "мы с мужем" заменили на "Катя с Костей" и тортилью на пиццу: решили, что тортилью никто не знает.
  
  Когда я попросила ИИ нарисовать мне картинку к задаче -- он тоже не умеет рисовать тортилью. Пришлось перейти к варианту с пиццей.
• В этой формулировке не нужно (можно, но не нужно) составлять уравнение, задача решается рассуждениями. Задача для 7 класса несложная, но и не супер-легкая, решат не все.
  
• Если что, можно поиграться с пропорциями. Например: муж съел вдвое больше, тогда мне досталось вдвое меньше.
  Скажем, в 11 класс эта задача пошла вот в такой формулировке:
  
  Обычно супруги Ивановы на ужин делят пиццу в определенном отношении. Но однажды муж был голоден, и съел на 20% больше, чем обычно. При этом супруге досталось на 30% меньше, чем обычно. Как обычно Ивановы делят пиццу?
  
  Ясное дело, эта задача очень легкая для 10 класса. Подразумевается, что решат все, кто пробился на олимпиаду. (Такого не случилось! Я вообще не помню ни одной задачи, которую бы действительно решили все участники олимпиады).
  
• Конечно же, с уравнением решение универсальное, и работает с любыми числами. Вдвое больше, втрое меньше -- не беда. Решение однотипное. Но если брать удачные пропорции и использовать как задачу на рассуждения для совсем маленьких (от 2 до 6-7 класса) -- то задачи становятся чуточку разные, рассуждать надо немного по-разному.

Спички детям -- игрушка



Спичками выложено число 508 (см.картинку ниже). Можно ли, переложив всего 2 спички увеличить число более, чем в 11 раз?


[пояснения]

• Задача в такой формулировке предлагалась в 5 классе как легкая.
• В формулировке для старших можно было бы сделать так:
  какое максимальное число можно получить, переложив ровно две спички?",
  но так как вы уже знаете формулировку для младших -- у вас есть мощная подсказка.
• Если честно, я не уверена, что я прямо автор-автор этой задачи. Возможно, идея старая, просто всплыла в голове.

Ограбление по-...



Грабители всегда лгут о преступлениях, в которых замешаны, и говорят чистую правду о преступлениях, в которых не замешаны. Полиция задержала N человек, которых подозревала в ограблении банка (N>1). И спросила каждого, сколько из задержанных участвовало в этом ограблении. Первый ответил: «Один». Второй ответил: «Два», и так далее. N-ый ответил: «N». Кто из задержанных участвовал в ограблении, а кого надо отпустить?

[пояснения]

• В этой формулировке задачу предлагали в 7 классе. Она несложная.
• В пятом классе давали эту же задачу, только при N=4. Решение задачи не будет меняться, но маленьким с N рассуждать сложно.

Еще немножко детективной тематики



Воры всегда лгут о преступлениях, в которых замешаны, и говорят чистую правду о преступлениях, в которых не замешаны. Полиция установила, что в ограблениях банка и ювелира могут быть задействованы только Алекс, Боб и Джон, и никто другой!
Алекс: Боб не грабил банк! А Джон не грабил ювелира!
Боб: Джон участвовал в ограблении банка. А Алекс грабил ювелира!
Джон: Ювелира ограбили в точности те же люди, что и банк.
Кого арестовать и за какое преступление?

[пояснения]

• У этой задачи похожая фабула, но совсем другое условие.
  В этой формулировке задачу предлагали в 6 классе -- хотя можно в любом. Сложность этой конкретной задачи не особенно зависит от количества лет решающего.
  
  По-моему, вообще богатая фабула и забавная. Я бы еще задачек в ней сочинила, а то что все одни лжецы да рыцари.
• На самом деле, в предыдущей задаче, так как ограбление было одно, было довольно скучно: каждый был либо "лжецом", либо "рыцарем", если вы понимаете, о чем я. Но тут ограблений больше. И становится веселее.

Бабушка рядушком с дедушкой



Бабушка и дедушка по очереди изучали фотографию внуков. В очках они могут разглядеть вдвое больше мелких деталей, чем без. Дедушка был в очках, а бабушка - без, и они разглядели в сумме 250 мелких деталей. Потом бабушка забрала у деда очки и вдвоем на той же фотографии они увидели в сумме 320 мелких деталей. Сколько деталей бабушка и дедушка разглядели бы на фотографии, если бы оба были в очках?

[пояснения]

• Понятно, что вы как люди взрослые и испорченные школой срочно кинулись составлять систему уравнений. И, конечно, тогда задача теряет половину прелести.
• Задача предлагалась в 6 классе. Предполагаемое решение не содержит никаких уравнений, только рассуждения.

Прям как в жизни



Несколько членов жюри составляли олимпиаду. И все предложили поровну задач. Потом задачи стали обсуждать. И каждый забобрил одинаковое количество задач. Выяснилось, что каждую задачу забобрили либо дважды, либо только один раз. В итоговый комплект из 5 задач взяли все задачи, которые забобрили один раз. Сколько было членов жюри?

[пояснения]

• В формулировке для 6 класса глагол использовали "критиковали". Но на самом деле, зная внутреннюю кухню подготовки олимпиад, задачи чаще не критикуют, а именно бобрят.
• Если в олимпиаду надо включить не 5, а, например, 10 задач -- решение становится труднее, веселее, и ответ не единственный. Это не плохо, но для 6 класса -- не очень хорошо.

Сапоги-скороходы

Тут будет две задачи с похожей фабулой. К сожалению, задача для 8 класса дает мощную подсказку к задаче для 9 класса. Поэтому сначала будет задача для 9.


У принца семимильные сапоги-скороходы. За 1 минуту они переносят принца на 7 миль. А сняв их, принц может идти со скоростью 1 миля в минуту. До замка принцессы 111 миль. За какое минимальное время принц доберется до принцессы?

А теперь формулировка для 8 класса:
У принца семимильные сапоги-скороходы. За 1 минуту они переносят принца на 7 миль. А сняв их, принц может идти со скоростью 1 миля в минуту. Двигаться он может только по дороге - вокруг заколдованный лес! По дороге до принцессы 111 миль. Успеет ли он добраться за принцессы за 17 минут?

[пояснения]

• Конечно, в 8 классе тоже можно было спрашивать про минимальное время, но тогда задача становится труднее -- а нам нужна была легкая задача.
• Для 9 класса задача тоже несложная, там гораздо легче доказывать минимальность.
• Задачи на "найдите мин" (или "найдите макс") -- всегда задачи из двух частей. Нужно и доказать, что меньше не может быть. И нужно показать, что вот ровно столько-то может быть!
  
  Задачи на "может ли" -- задачи из одной части. Если может -- то надо только показать, как он может. Если не может, то доказать, что не может.
• Если вам интересно, как придумывают такие задачи, я вам расскажу. Из жизни.
  
  Мы жили в Мехико в 13-этажном доме. И лифт в этом доме ходил через 3 этажа. То есть вот лифт на первом, на второй и на третий он не ходит. Он может довезти до четвертого. Потом до седьмого, потом до 10 -- ну, вы поняли. Если тебе надо на второй или третий -- можешь подняться по лестнице, а можешь доехать до 4 и спуститься. Похоже на нашу задачу? Воооот.
  
  Немножко непривычная система, да? В моем детстве встречалось такое, что лифт не ходит на второй этаж. Но вот прямо чтобы через 3 -- я не видела.

Продолжение послезавтра.