По всей видимости, от слова «ботаник». Предположительно, авторы слова родились в восьмидесятых годах двадцатого столетия. Кто-то один это придумал или это массовое явление, сказать сложно, но последний вариант вполне возможен и связан с труднообъяснимой ассоциацией между ботаникой и занудством, родившейся в умах тех, кто учился в начальных классах школы в девяностых годах. Указанные сроки создания слова, возможно, слишком поздние, но идея массового явления подтверждается тем, что следующие поколения сами приходили к таким же ассоциациям.
Слово длинное, поэтому нет ничего удивительного в том, что появилось и быстро стало распространено сокращение со смещенным на первый слог ударением - «ботан».
Распространение иностранных языков на территории России и СНГ, а также мода на упрощение и просто видоизменение русского языка не могли не привести к появлению слова «ботать», которое, очевидно, образовалось путём отбрасывания «-н» в «ботан» и добавления стандартного для глаголов окончания «-ть». Вполне логично - ботан должен ботать. Полученное слово стало синонимом слов «учиться» и «заниматься» (изучением чего-либо).
«Ботать», однозначно, несовершенного вида (что делать?). Естественно, возникла необходимость в однокоренных глаголах совершенного вида. На помощь пришли приставки «вы-» и «за-», которые также используются в словах «выучить» и «заучить». Собственно, новые слова «выботать» и «заботать» получили приблизительно такие же значения. То есть «выботать» есть синоним к «выучить», а «заботать» - синоним к «заучить». При переходе от «ботать» к «выботать» ударение перемещается на первый слог, как и при переходе от «учить» к «выучить». При переходе же от «ботать» к «заботать» ударение остаётся на той же гласной в корне, аналогично случаю с «учить» и «заучить».
Фраза «Ботан ботает» содержит некоторое (пусть в данном примере и абстрактное) описание действия и объекта, это действие совершающего. Логично предположить дальнейшую эволюцию слова - в сторону образования термина, который можно будет использовать для определения объекта, над которым происходит действие. «Ботва» стало таким термином. Проследить образование (точнее приобретение нового значения) этого слова довольно просто. В «ботать», как описано выше, «-ть» - обычное для русского языка глагольное окончание. Но также было отмечено, что этот глагол несовершенного вида. А в глаголах несовершенного вида, заканчивающихся на «-ать», «а» чаще всего является суффиксом, и, при отсутствии приставок, часть слова до «ать» является корнем. Далее нужно вспомнить моду на видоизменение русского языка, а также учесть массовое неконтролируемое распространение информации о наркотиках. Ведь ботву можно, не только ботать, но и курить. Собственно по той же причине, «курить» иногда используется для обозначения учебного процесса, как и «ботать».