АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД - численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X (над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность n и к-рое определяется однородным идеалом I в кольце k [T1, ..., TN ], арифметический род рa (X) выражается через свободный член φ (I, 0) Гильберта многочлена φ (I, m) идеала I по формуле
323_01.jpg Это классич. определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему:
323_02.jpg где
323_03.jpg - эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке 80.gifX . В такой форме определение А. р. переносится на любые полные алгебраич. многообразия, а также показывает инвариантность рa (Х) относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а k = ℂ есть поле комплексных чисел,
323_04.jpg где gk (X) - размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на X. При n = 1, 2 такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n = 1, то рa (Х) есть род кривой X; если n = 2, то
323_05.jpg где q - иррегулярность поверхности X, a pg - геометрический род поверхности X.
Для любого дивизора D на нормальном многообразии X О. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического родa pa (D) как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка 80.gifX(D), соответствующего дивизору D. Если дивизоры D и D' алгебраически эквивалентны то
Pa (D) = Pa (D').
А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля к нулевой характеристики; в общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности n ≤ 3.
Лит. : [1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД - численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X (над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность n и к-рое определяется однородным идеалом I в кольце k [T1, ..., TN ], арифметический род рa (X) выражается через свободный член φ (I, 0) Гильберта многочлена φ (I, m) идеала I по формуле
323_01.jpg
Это классич. определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему:
323_02.jpg
где
323_03.jpg
- эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке 80.gifX . В такой форме определение А. р. переносится на любые полные алгебраич. многообразия, а также показывает инвариантность рa (Х) относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а k = ℂ есть поле комплексных чисел,
323_04.jpg
где gk (X) - размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на X. При n = 1, 2 такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n = 1, то рa (Х) есть род кривой X; если n = 2, то
323_05.jpg
где q - иррегулярность поверхности X, a pg - геометрический род поверхности X.
Для любого дивизора D на нормальном многообразии X О. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического родa pa (D) как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка 80.gifX(D), соответствующего дивизору D. Если дивизоры D и D' алгебраически эквивалентны то
Pa (D) = Pa (D').
А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля к нулевой характеристики; в общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности n ≤ 3.
Лит. : [1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973.
Reply
Начнём, коллега..🙄
Выводить арифметический род..😂😂😂
Reply
Reply
Leave a comment