Кружок по геометрии 8 класса: вспомогательные квадраты в качестве дополнительного построения

[klarissa45]

Вчера проходил муниципальный тур ВОШ по математике.
Разбирали с 3 ребятами задачу про четырёхугольник.

Задача 8.8. На диагонали 𝐴𝐶 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑇 так, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝑇. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑇, ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶 = 132∘. Сколько
градусов составляет угол 𝐵𝐶𝐷?

Рисунок

На волне увлечения четырёхугольниками дала им задачу из курсов Сириуса по геометрии.

https://edu.sirius.online/#/course/1685/16366/task_668

В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴𝐵=𝐵𝐶=5
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90∘
𝐴𝐷>𝐶𝐷
Известно, что площадь четырёхугольника равна 16
Найдите длину отрезка 𝐴𝐷

Мальчик составил пару уравнений с помощью теоремы Пифагора и площади прямоугольного треугольника.
А решить их они пока не могут или надо выделять полный квадрат.
Лекция Сириуса на доску по ссылке не выводится.
Нашли старую лекцию Блинкова, она длинная, нет времени слушать всю.

https://youtu.be/33AVe0Ogkdg
Но глазастая девочка заметила в углу картинку.
https://disk.yandex.ru/i/Ei9vC61vvz-S2w
Явно к нашей задаче. Надо достроить одну половину нашего четырёхугольника до квадрата площадью 50, а потом окружить квадрат другими четырьмя половинками площадью 3,5.
Получили квадрат площадью 64 со стороной 8.

https://disk.yandex.ru/i/VhTBE2GTRZagMg

Вершины внутреннего квадрата делят сторону на отрезки 1 и 7.
И вот он, красивый ответ.
Занятие удалось!
Не получается у ребят самим решать задачи Сириуса. Тяжеловато. И я никак не могу закончить с задачами 8 и 9 класса.
В вместе у нас хорошо получается.

PS статья в Кванте

https://geometry.ru/articles/vspom_kvadraty.pdf

Материалы кружка в Хамовниках в 2016-2017 учебном году

https://math.mosolymp.ru/2017_khamovniki_geom_8

PPS и ещё одна задача

Две противолежащие стороны выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, а две другие имеют длины 13
и 7. Найдите его площадь.
Я помню, что когда-то достраивала четырёхугольник до прямоугольного треугольника и решала через три (!) переменные.
Достраивание до квадрата значительно облегчает решение этой задачи.