Задачи олимпиады Эйлера на геометрическом кружке 8 класса
Если вы не знаете, что такое олимпиада Эйлера, то вам сюда.
Отдельная страничка для москвичей.
Несколько наших восьмиклассников прошли в финал олимпиады Эйлера.
Я нашла в интернете подборки геометрических задач.
Замечу, что подборки очень удачные в смысле трудности задач.
Некоторые вторые задачи по силам обычным восьмиклассникам.
Листок вторых и третьих задач Составлен Л.А.Поповым
Листок третьих и четвёртых
Составлен Л.А. Поповым
Подборка задач олимпиады Эйлера Игоря Вячеславович Яковлева
Страницы 68-71
Задачи олимпиады Эйлера на сайте geometry.ru
на сайте problems.ru
Решение одной из задач с листочка
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC такова, что угол ABD - прямой и BC+CD = AD.
Найдите отношение оснований AD : BC.
[Ответ]
AD : BC = 2.
[Первое решение]
. Отложим на стороне AD отрезок AE = BC. Тогда ABCE - параллелограмм, а ED = CD. Поскольку AB || CE, диагональ BD перпендикулярная AB, перпендикулярна и CE. Следовательно, она проходит через середину F основания CE равнобедренного треугольника CDE. Поскольку EF = CF, EFD = BFC и BCF = FED, треугольники CFB и EFD равны. Поэтому ED = BC = AE, откуда и следует ответ.
[Второе решение]
Выберем на стороне AD точку K так, что отрезок BK параллелен CD. Тогда KD = BC, и, значит, AK = CD. Кроме того, BK = CD (KBCD - параллелограмм), поэтому AK = BK и, значит, высота KH треугольника AKB является медианой. Следовательно, KH - средняя линия прямоугольного треугольника ABD. Отсюда AD = 2KD = 2BC.
Решение второй задачи ( на олимпиаде она была номер 6)
Дан остроугольный треугольник ABC. Высота AA1 продолжена за вершину A на отрезок AA2 = BC. Высота CC1 продолжена за вершину C на отрезок CC2 = AB. Найдите углы треугольника A2BC2.
PS Ранее
Открытые задачники в интернете
https://klarissa45.livejournal.com/281030.html
Произволов "Задачи на вырост"
https://klarissa45.livejournal.com/284739.html
Графическая версия информационно-поисковой системы "Задачи по геометрии" Гордина
https://zadachi.mccme.ru/2012/#&page1