Дистанционный кружок по геометрии для семиклассников: неравенства треугольника
1. Неравенство медианы.
Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы двух его сторон, выходящих из той же вершины.
Решение
Отложим на продолжении медианы отрезок АМ=МК, тогда по неравенству треугольника 2AM = AK < AB + BK = AB + AC.
AM < 1/2 (AB + AC)
2.Неравенство резинки.
В треугольнике АВС взята произвольная точка М. Докажите, что
Решение
Пусть M - точка, лежащая внутри треугольника ABC. Докажем, что
MB + MC < AB + AC.
Для этого продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N и применим неравенство треугольника к треугольникам ABN и MNC.
Задачи, решаемые с помощью неравенства резинки
3. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
4.Если внутри треугольника взяты точки М и О, то АМ+ВМ+СМ+ОМ>АО+ВО+СО
Больше задач на http://mmmf.msu.ru/archive/20142015/z7/9.html
Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы двух его сторон, выходящих из той же вершины.
Решение
Отложим на продолжении медианы отрезок АМ=МК, тогда по неравенству треугольника 2AM = AK < AB + BK = AB + AC.
AM < 1/2 (AB + AC)
2.Неравенство резинки.
В треугольнике АВС взята произвольная точка М. Докажите, что
Решение
Пусть M - точка, лежащая внутри треугольника ABC. Докажем, что
MB + MC < AB + AC.
Для этого продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N и применим неравенство треугольника к треугольникам ABN и MNC.
Задачи, решаемые с помощью неравенства резинки
3. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
4.Если внутри треугольника взяты точки М и О, то АМ+ВМ+СМ+ОМ>АО+ВО+СО
Больше задач на http://mmmf.msu.ru/archive/20142015/z7/9.html