Вот что я здесь на досуге надумал. Скорее всего кризис в математике проистекает из попытки опереться на геометрию, алгибраизировав её. Я, к сожалению, совсем не историк математики и не могу утверждать, как именно и когда всё происходило, но яркая метафора о том, что (поначалу) рациональные числа можно представить в виде прямой, подобной геометрической, сыграла злую шутку с людьми, которые это образное обобщение приняли близко к сердцу. С Кантором всё сложно, но я со временем разберусь. Я заглянул в его первую статью, и есть такое ощущение, что есть проблема с интепретацией результатов. Дедекинд же явным образом при взятии на прямой иррационального числа опирается на диагональ квадрата. Однако считать такой подход строгим никак невозможно. Такое впечатление, что в сторону уводит как раз декартова координата, которую стали путать с самим объектом. Мне кадется, что если забыть (или, вернее, вспомнить) о координатах и их отличии от самих чисел, то величина рациональных чисел в смысле их нахождения через координаты окажется равной нулю (одна и так де координата) и их сумма в жтом смысле будет суммой нулей, раз уж они точки (и тогда они - пустое множество нулей). А вот для иррациональных чисел их величины не будут нулевыми (всегда две бесконечно сходящиеся координаты), и именно они и составят протяженность у этой прямой. В этом дело, а не в мощности множеств. Мы вполне естественным образом на такой конструкции никогда не смодем проищвольно попасть прямо в не имеющую размеров рациональную точку, а обязательно попадем в длящуюся дыру иррационального числа. И если перестать считать эвклидову геометрию догмой, а лишь некой не вполне нам понятной визуальной реализацией численных соотношений, то и будет нам счастье. Возможно. Ведь в том пресловутом треугольнике две стороны мы строим, а третья, несоизмеримая, является их функцией. Она сама возникает. Откуда мы можем знать так уверенно, что она действительно замыкается на первых двух сторонах, а не тянется к ним, тянется, но так и не дотягивается? Причем, вероятно, по закону, отображаемому последовательностью единица деленная на два в степени n. Скорее всего. А Аллах знает лучше...
Click to view
Reply
Leave a comment