חשיבה מתמטית, הרצאות 1-6
שם הקורס: חשיבה מתמטית יצירתית (אקדמי)
תמצית הקורס: הקורס מיועד לסייע לסטודנט לעבור מדפוס-חשיבה המוקנה ע"י מערכת החינוך לשיטת-חשיבה אקדמית; להסתגל ללימודים במוסד אקדמי ולרכוש מיומנויות שתשרתנה אותו בעת לימודיו לתואר ראשון וגם בקריירה המקצועית; לפתח גישה יצירתית-מתמטית לבעיות מדעיות. הסטודנטים ילמדו בניית מודלים מתמטיים והשלכה מתחום לתחום (אנלוגיה), יתרגלו בניית אלגוריתמי-פתרון, יסגלו ראייה רחבה של הֶקְשֵׁר הבעיות, יתנסו בשאלות מתחומים מתמטיים שונים וירכיבו "ארגז כלים" אישי אוניברסלי על סמך נסיונם ונטיותיהם המתמטיות. במסגרת הקורס אנו מסתכלים על בעיות מוכרות מלימודי המתמטיקה בביה"ס מנקודת מבט חדשה ומשתמשים בהן כב"קרש קפיצה" לבעיות הנלמדות בקורסים המקבילים במכללה (חדו"א, אלגברה, מבוא למחשב ופיסיקה).
מטרות הקורס:
1) פיתוח מיומנות הגישה לבעייה, משלב הבנת הנקרא ועד לניסוח הפתרון.
2) הקניית יכולת ראייה רחבה של בעייה בתוך הֶקְשֵׁר כללי.
3) גילוי מוקדם של תסמונת ה"אי-הבנה במסווה של הבנה" בנושאים שנלמדו בביה"ס.
4) קישור בין נושאים הנלמדים בקורסים המקבילים במכללה; התמודדות עם מידוּר קוגניטיבי.
5) עיצוב "ארגז כלים" מתמטי להתמודדות עם בעיות.
6) תרגול בפתרון בעיות אתגריות.
7) למידת נושאים מתמטיים תוך דגש על חשיבה מדעית-יצירתית.
8) הרחבת אופקים במתמטיקה ותולדותיה.
הרצאות 1-6:
הרצאה 1: מהי מתמטיקה? האם המתמטיקה עוסקת במספרים? בעיית האביר/נוכל בצומת (לשאול שאלת "כן/לא" אחת כדי לדעת מה הדרך הנכונה; האביר תמיד דובר אמת, הנוכל תמיד משקר) כהדגמה שהמתמטיקה לאו דווקא עוסקת במספרים. המהנדס כמתמטיקאי: אלגוריתם לפתרון בעיה הנדסית. אוקלידס: "אין דרך למלכים במתמטיקה". מקור השם "מתמטיקה". המוסיאון באלכסנדריה. בעייה מצרית עתיקה: "100 דבן חיטה". סימני משתנים - מורשת דיופנטוס. חידת הקבר של דיופנטוס.
הרצאה 2: מדיופנטוס לאל-ח'ואריזמי. דיופנטוס רואה רציונליות בתוך הגיאומטריה. מציאת פתרון רציונלי ל- x^2+y^2=r^2 ע"י ההצבה y=tx-r. מכאן מסיקים את הנוסחה לשלשות פיתגוריות שלמות! ספרו של דיופנטוס על המדף של פייר פרמה - ההשערה x^n+y^n != z^n ותולדות הוכחתה. חזרה לפיתגורס: הוכחת משפט פיתגורס על גבול האלגברה והגיאומטריה; ההוכחות היפות ביותר מופיעות על הגבול בין תחומים. בית-הספר של פיתגורס, הדת שהקים וגלגוליה. האקדמיה של אפלטון. ממשוואה ריבועית עם שני נעלמים נעבור למשוואה ריבועית רגילה עם נעלם אחד ונפתח את הנוסחה הידועה ע"י שימוש (שלישי להיום!) בזהות (a+b)^2 ובשיטת ההשלמה לריבוע, שהיא "אל-ג'בר" של מחמד אל-ח'ואריזמי, שעל שמו נקראים האלגוריתמים.
הרצאה 3: מאל-ח'ואריזמי לפיבונאצ'י: מיומנות הספירה בשיטת ערך-מקום; השיטה הבבלית שאבדה והשיטה ההודית שעבדה (אצל הערבים). לאונרדו פיבונאצ'י וספרו "ליבר אבאקי" כמשל לשיטה חדשה וקלה שקשה מאד להטמיע אותה (והלקח לגבי דברים חדשים שאנו לומדים בקושי, אף שהם עצמם בכלל אינם קשים!). האינדוקציה ככלי הגיוני ("אם השמש זרחה אתמול, היא תזרח גם מחר" מול "אם לא הבנתי עד עכשיו איך לפתור בעיות כאלה, לא אדע אף פעם").
פיתוח נוסחה לסכום סדרה הנדסית. בעיות משולבות: (א) כמה זה "555555" הכתוב בבסיס 9? (סכום סדרה הנדסית). (ב) באיזה בסיס "135" זה 345? (משוואה ריבועית). איקס בריבוע פחות "13" איקס ועוד ????(טקסט משובש) שווה 0 היא משוואה ריבועית ששורשיה 3,8. באיזה בסיס המשוואה ומה הטקסט המשובש? (ויאטה). (ג) הוכח ש-289 בחזקת 2011 פחות 1 מתחלק ב-8 (סדרה הנדסית).
הרצאה 4: "מאין לנו אינדוקציה?". אינדוקציה סמויה במתמטיקה העתיקה. ה"הדרגה" של הרלב"ג (בשנת 1321). הצורך באקסיומטיקה במאה ה-19 (ג'ורג' בול, דה-מורגן, דודג'סון הוא לואיס קרול). בדיקת אוקלידס, הגיאומטריה של רימן (שבה רוב האקסיומות שונות), הגיאומטריה של לובצ'בסקי המוכיחה שהאקסיומה החמישית היא אכן אקסיומה; רדיפת לובצ'בסקי ברוסיה; פנייתו ל-גאוס והטרגדיה של בוייאי. "נקמתו המתוקה של הטבע" - בחלל מתקיימים... חוקי לובצ'בסקי. ג'וזפה פיאנו מנסח את אקסיומות הטבעיים, בהן האינדוקציה.
אקסיומת האינדוקציה. הוכחות באינדוקציה (דוגמאות: טורים, סכום ריבועים, אי-שויון ברנולי). הוכחה של אקסיומת האינדוקציה (יהי המספר המינימלי שלא מקיים את התכונה...) - איך זה ייתכן? מציאת האקסיומה בה משתמשים באופן סמוי ב"הוכחה" זו.
תוספת - שארית ממשפט פיתגורס: פיתוח משפט הקוסינוסים.
הרצאה 5: אינטואיציה וסדר - שני הכוחות המובילים לפתרון בעיות מתמטיות.
נוסחאות שונות בלוגריתמים והוכחתן. שימוש בהן כדי להוכיח את המשפט
[loga1a2][loga2a3][loga3a4]...[logana1]=1
שיטת הטלסקופ כאינדוקציה סמויה. הוכחת הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית בשיטת הטלסקופ. בניית טלסקופים אלטרנטיביים, כמו זה המסתמך על
[loga1a2][loga2a3]=loga1a3 (והוכחת נוסחה זו). ההבדל בין רישום פורמלי וחצי-פורמלי.
טכניקת בניית הוכחות מהסוף להתחלה (ומדוע בכל זאת אסור להתחיל ממה שנדרש להוכיח).
חייו של ראמאנוג'אן ועבודתו עם הארדי. בכל אחד יש "ראמאנוג'אן פנימי" בעל אינטואיציה ו"הארדי פנימי" היודע איך נראית הוכחה. שיתוף פעולה פנימי המאפשר יצירת פתרונות נכונים.
הרצאה 6: "דברים אין-סופיים והיכן למצוא אותם". סקר שערכו תלמידי הקורס "אין-סוף" גילה שאנשים אינם יודעים מהו אין-סוף. מדוע אין-סוף אינו מספר? מדוע לא ניתן לבצע פעולות חשבוניות עם אין-סוף? הגדרה: התאמה חד-חד-ערכית בין 2 קבוצות (קבוצת זוגות כך שהאיבר הראשון בכל זוג בא מהקבוצה הראשונה, האיבר השני בכל זוג מהקבוצה השנייה, כל אברי שתי הקבוצות מופיעים בזוגות, ובנוסף בכל 2 זוגות נתונים האיברים הראשונים שונים והאיברים השניים שונים). קבוצה נקראת אין-סופית אם ניתן להתאים את איבריה חד-ערכית לאברי תת-קבוצה-ממש שלה.
דוגמה: קב' הטבעיים מתאימה חד-חד-ערכית לקב' הזוגיים, שהיא תת-קבוצה-ממש שלה.
"שאיפה למספר" ו"שאיפה לאין-סוף" מוגדרות בחדו"א באופן שונה - לכן לא תמיד ניתן לבצע אנלוגיה (בעייה זו בסימונים ידועה כ"אונס-סימונים" - "abuse of notation").
האם כל הקבוצות האין-סופיות מתאימות חד-חד-ערכית זו לזו? (כלומר, האם כולן באותו גודל?) עוצמת קב' הרציונליים שווה לעוצמת הטבעיים (הוכחה); אך עוצמת הקטע (0,1] גדולה ממנה, כפי שהוכיח קנטור (ההוכחה עצמה - בהרצאה הבאה). חיי קנטור.
בעיות נוספות: חלוקת שלל בין שודדי-ים - דוגמה לחשיבה באינדוקציה; מציאת מטבע מזוייף מתוך 12 בשלוש שקילות והאם הוא כבד או קל - כדוגמה לחשיבה שיטתית - ואזכור לתורת האינפורמציה (27 תוצאות אפשריות - וצריך 24).