Гёделевское доказательство бытия Бога
Формулировки гёделевского доказательства бытия Бога
Доказательство ведется во второпорядковой модальной логике.
◘ Обозначения:
P(F) - свойство F является позитивным.
&, V, →, ~ - конъюнкция, дизъюнкция, импликация и отрицание соответственно
◊ - возможно (т.е. имеет место хотя бы в одном возможном мире)
□ - необходимо (т.е. имеет место во всех возможных мирах)
∀ - квантор общности
∃ - квантор существования
◘ Определения:
D1. G(x)
∀F(P(F) → F(x))
быть Богом (G) значит обладать всеми позитивными свойствами
D2. F ess x
∀H[H(x) → □∀x(H(x) → F(x))]
для свойства F быть существенным (ess) по отношению к предмету х означает, что любое другое свойство, присущее данному предмету, с необходимостью включается в свойство F; другими словами, если у предмета вообще есть хоть какие-нибудь свойства, то есть и свойство F.
D3. E(x)
∀F(F ess x → □∃xF(x))
Существование (Е) присуще предмету х, когда все существенные свойства х влекут, что необходимо найдется предмет, обладающий этими свойствами
◘ Аксиомы:
А1. P(F) & P(Н) → Р(F&Н)
конъюнкция позитивных свойств является позитивным свойством
А2. ~P(F)
P(~F)
свойство не является позитивным только если позитивно его отрицание
А3. P(F) → □P(F)
позитивное свойство позитивно с необходимостью
А4. Р(E)
существование является позитивным свойством
А5. [P(F) & □∀x(F(x) → Н(x)] → P(Н)
все, что с необходимостью следует из позитивного свойства, является позитивным свойством
(В частности, отсюда следует, что х=х - позитивное свойство, а х≠х - негативное)
◘ Доказательство:
Лемма 1. G(x) → G ess x
быть Богом - свойство, которое может быть присуще лишь существенным образом
Лемма 2. G(x) → □∃yG(y)
если х является Богом, то с необходимостью найдется объект, который является Богом
Теорема: □∃хG(х) Бог необходимо существует