круговое движение в комплексной плоскости из новой книги А.М. Петрова "Овладевать знаниями.."
..Итак, приращение импульса (или линейной скорости, в качестве импульса, приведённого к единичной массе) при круговом движении не совпадает с направлением центростремительной силы (центростремительного ускорения). Оно не направлено к центру вращения и не перпендикулярно к вектору линейной скорости, вопреки утверждению Р.В.Поля, которое он иллюстрирует соответствующим расположением векторов на рис.21. На этом рисунке исходный вектор скорости u1 и приращение скорости du представлены катетами прямоугольного треугольника, а их геометрическая сумма, т.е. текущий вектор скорости u2, оказывается гипотенузой, длина которой заведомо превышает длину любого из катетов. А какое же это круговое движение, если модуль линейной скорости не остаётся постоянным?!
Автор учебника не допустил бы ошибки, если бы применил алгебру с векторным делением, каковой для плоскостных движений являются комплексные числа. Опишем круговое движение, применив эйлеров экспоненциальный фазовый множитель вращения.
В комплексных числах круговое движение описывается следующей функцией времени:
х(t)=R exp(iωt),
где R - радиус круга (он же радиус кривизны траектории),
i - единичный вектор оси ординат на комплексной плоскости или единичный вектор оси вращения в экспоненциальной форме,
ω - угловая скорость вращения (обращения по орбите),
t - время.
Линейная скорость кругового движения имеет вид:
v=dx/dt=iωR exp(iωt).
Линейное (центростремительное) ускорение:
d²x/dt²= -ω²R exp(iωt)= -(v²/R) exp(iωt).
Таким образом, круговое движение обеспечивается не только перпендикулярностью скорости и ускорения, как полагает Р.В.Поль, но и соблюдением строгой пропорциональной зависимости между модулями (абсолютными величинами) этих векторов.
Уравнение кругового движения в терминах третьего закона Ньютона, т.е. как баланс центробежного и центростремительного ускорений (или сил, приведённых к единичной массе), выглядит следующим образом:
(-d²x/dt²)+(-ω²х)=0,
где (-d²x/dt²) - центробежное ускорение,
(-ω²х) - центростремительное ускорение.
Переписав это уравнение в виде
dv/dt+ω²х=0
и умножив оба члена уравнения на элементарное приращение координаты dx, получим элементарный баланс кинетической и потенциальной энергии:
(dv/dt)dx+ω²хdx=0, или
(dх/dt)dv+ω²хdx=0, или
d(v²/2)+ω²d(x²/2)=0.
Разделив энергетический баланс на элементарное приращение скорости (dv=iωdх), получим уравнение кругового движения в виде баланса импульсов (приведённых к единичной массе):
dх/dt±iωх=0,
где знак (+) или (-) перед вторым членом выбирается в зависимости от направления вращения, по часовой стрелке х(t)=R exp(-iωt) или против часовой стрелки х(t)=R exp(iωt).
Вектор приращения импульса за конечный промежуток времени Δt (или за бесконечно малый dt), получаем интегрированием центростремительной силы по времени. Результат представляет собой разность импульсов в начальное и конечное время. Начальное время (нижний предел интегрирования) полагаем нулевым, верхним пределом интегрирования назначаем переменное время t. Массу считаем единичной. Обозначив буквой φ приращение фазы вращения (угла поворота) φ=ωΔt, получим величину приращения импульса:
ΔI=Δv=iωR[exp(iφ)-1]=iωR(cosφ-isinφ-1)=iωR[-2sin²(φ/2)-i2sin(φ/2)cos(φ/2)]=
= 2ωRsin(φ/2)[cos(φ/2)-isin(φ/2)]=2ωRsin(φ/2) exp(-iφ/2).
Как видим, при равномерном круговом движении модуль приращения импульса пропорционален синусу половинного угла поворота радиус-вектора (и вектора скорости) от начального положения, а направление вектора приращения импульса (линейной скорости) отстаёт по ходу вращения от направления центростремительного ускорения (перпендикулярного импульсу и скорости) на половину приращения угла поворота радиус-вектора. Так, если фаза вращения (угол поворота радиус-вектора) прирастёт на величину φ=ωdt, то вектор приращения импульса повернётся на половину этого угла, т.е. на угол φ/2=ωdt/2. Для примера возьмём «очень большое» приращение фазы вращения (угла поворота), равное 180º. В этом случае результат интегрирования ускорения окажется вдвое бόльшим исходной величины импульса и противоположно ему направленным. Но, в итоге, сумма импульса и его приращения покажет поворот импульса на 180º.
Итак, мы видим неадекватность применённой к круговому движению методологии, основанной на втором (вместо третьего) законе Ньютона, при котором направления действующей силы и приращения импульса должны совпадать, а заодно убеждаемся в преимуществах использования комплексных чисел вместо тензорной алгебры. Соответственно, для анализа прецессии волчка (гироскопа) вместо комплексных чисел следовало бы применить алгебру кватернионов (с тремя векторными и четвёртым скалярным измерениями). Но Р.В.Поль этого не делает. Он рассматривает прецессию волчка, применяя единые для плоскости и трёхмерного пространства правила «общепринятой» векторно-тензорной алгебры. Однако, в трёхмерном пространстве векторы поворотов-вращений и, соответственно, вращающих моментов, не коммутируют друг с другом и геометрически (по правилу параллелограмма) не складываются.
То, что речь здесь идёт именно о методологической ошибке, приводящей к неадекватному моделированию прецессии волчка, подтверждают рис. 147 и 156 в учебнике Р.В.Поля с его пояснениями к ним.
У Р.В.Поля добавочный вращательный импульс направлен перпендикулярно к первоначальному вращательному импульсу, так что результирующий импульс R становится гипотенузой прямоугольного треугольника и оказывается заведомо больше катета - первоначального вращательного импульса, чего в реальном движении не наблюдается.
К рис. 156 в учебнике даётся такое пояснение:
«Вращательные моменты, возникающие вследствие вынужденной прецессии, играют в технике большую роль. В качестве первого примера назовём дробилку, форму мельницы, известную уже римлянам (рис. 156). При вращении оба бегуна образуют волчок с вынужденной прецессией. Такая прецессия требует вращательного момента, который в этом случае одинаково направлен с моментом, вызываемым весом. Этот момент сильнее прижимает бегуны к “поддону” и увеличивает давление при помоле» (конец цитаты).
Обратите внимание на помещённый рядом с картинкой на рис.156 прямоугольник (или прямоугольный треугольник), состоящий из векторов вращательного импульса и его приращения (т.е. катетов), и геометрической суммы вышеуказанных векторов, показанной толстой стрелкой (т.е. гипотенузы треугольника или диагонали прямоугольника), Согласно рисунку, величина импульса меняется по модулю, чего в прецессионном движении нет.
Вторая ошибка автора учебника связана с трёхмерностью движения. При внешнем контакте двух вращающихся объектов (с произвольным значением угла между их осями вращений) проекции векторов, являющиеся результатом разложения внешних (для каждого из объектов) вращательных моментов по направлениям вдоль и перпендикулярно оси вращения, ведут себя в динамическом процессе по-разному. В двух мнемонических правилах, выведенных учёными-экспериментаторами на основе наблюдений за поведением вращающихся объектов, этот факт зафиксирован достаточно чётко.
Добронравов В.В. Курс теоретической механики (1974 г.)
http://www.fizi.oglib.ru/bgl/1288/265.html:
«Правило прецессии: если к вращающемуся вокруг оси гироскопу приложить внешние силы, создающие момент сил относительно его неподвижной точки, то та часть оси гироскопа, по которой направлен кинетический момент, начнёт прецессировать в направлении векторного момента этих сил…
Правило Жуковского: если быстро-вращающемуся гироскопу сообщают вынужденное прецессионное движение, то возникает гироскопическая пара сил, стремящаяся сделать ось гироскопа параллельной оси прецессии, причём так, что после совпадения направления этих осей оба вращения вокруг них имеют одинаковое направление».
Как видим, оба мнемонических правила говорят только о действии тех составляющих внешних моментов сил, которые перпендикулярны осям вращения объектов, и умалчивают о результатах воздействия тех составляющих внешних моментов сил, которые параллельны осям вращения объектов и должны были бы замедлять или ускорять их собственные вращения вокруг осей симметрии. Будь такое явление в действительности, экспериментаторы непременно обратили бы на него внимание.
«Правило прецессии» и «Правило Жуковского» прослеживают повороты осей вращения взаимодействующих объектов до того момента, пока они не станут параллельны друг другу. При этом векторно-тензорная алгебра не в состоянии адекватно объяснить и математически отобразить факт неучастия в этом процессе проекций вращающих моментов, параллельных осям вращения. Ещё более труден для неё вопрос о том, что происходит после того, как оси вращений объектов становятся параллельными друг другу (или изначально располагаются таким образом).
Учебник Р.В.Поля фиксирует возникающий при этом эффект, но адекватного объяснения ему не даёт. А происходит, действительно, нечто парадоксальное: при встрече механизма дробильной машины с отталкивающим его от себя объектом, вращающийся механизм реагирует на это не отдалением от источника силового воздействия, а увеличением силы притяжения к нему.
Теоретическая механика, взявшая за основу векторно-тензорную алгебру, обходит молчанием такие динамические эффекты. Подобно тому, как в народных сказках любовные сюжетные линии завершаются свадьбами героев (предполагается, что дальше ничего интересного уже не происходит), так и современная теоретическая механика дальше мнемонических правил, устанавливающих факт поворотов осей вращения объектов до совпадения их направлений вращения, не идёт. И она так поступает не потому, что далее ничего интересного не ожидает обнаружить, а потому что её наличный математический аппарат не приспособлен для описания и исследования возникающих в таких ситуациях необычных динамических эффектов. А ведь именно они лежат в основе (пока ещё остающихся загадочными для современной науки) вихревых процессов, порождающих, в частности, и явления гравитации и электромагнетизма."
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,3711.0.html
Автор учебника не допустил бы ошибки, если бы применил алгебру с векторным делением, каковой для плоскостных движений являются комплексные числа. Опишем круговое движение, применив эйлеров экспоненциальный фазовый множитель вращения.
В комплексных числах круговое движение описывается следующей функцией времени:
х(t)=R exp(iωt),
где R - радиус круга (он же радиус кривизны траектории),
i - единичный вектор оси ординат на комплексной плоскости или единичный вектор оси вращения в экспоненциальной форме,
ω - угловая скорость вращения (обращения по орбите),
t - время.
Линейная скорость кругового движения имеет вид:
v=dx/dt=iωR exp(iωt).
Линейное (центростремительное) ускорение:
d²x/dt²= -ω²R exp(iωt)= -(v²/R) exp(iωt).
Таким образом, круговое движение обеспечивается не только перпендикулярностью скорости и ускорения, как полагает Р.В.Поль, но и соблюдением строгой пропорциональной зависимости между модулями (абсолютными величинами) этих векторов.
Уравнение кругового движения в терминах третьего закона Ньютона, т.е. как баланс центробежного и центростремительного ускорений (или сил, приведённых к единичной массе), выглядит следующим образом:
(-d²x/dt²)+(-ω²х)=0,
где (-d²x/dt²) - центробежное ускорение,
(-ω²х) - центростремительное ускорение.
Переписав это уравнение в виде
dv/dt+ω²х=0
и умножив оба члена уравнения на элементарное приращение координаты dx, получим элементарный баланс кинетической и потенциальной энергии:
(dv/dt)dx+ω²хdx=0, или
(dх/dt)dv+ω²хdx=0, или
d(v²/2)+ω²d(x²/2)=0.
Разделив энергетический баланс на элементарное приращение скорости (dv=iωdх), получим уравнение кругового движения в виде баланса импульсов (приведённых к единичной массе):
dх/dt±iωх=0,
где знак (+) или (-) перед вторым членом выбирается в зависимости от направления вращения, по часовой стрелке х(t)=R exp(-iωt) или против часовой стрелки х(t)=R exp(iωt).
Вектор приращения импульса за конечный промежуток времени Δt (или за бесконечно малый dt), получаем интегрированием центростремительной силы по времени. Результат представляет собой разность импульсов в начальное и конечное время. Начальное время (нижний предел интегрирования) полагаем нулевым, верхним пределом интегрирования назначаем переменное время t. Массу считаем единичной. Обозначив буквой φ приращение фазы вращения (угла поворота) φ=ωΔt, получим величину приращения импульса:
ΔI=Δv=iωR[exp(iφ)-1]=iωR(cosφ-isinφ-1)=iωR[-2sin²(φ/2)-i2sin(φ/2)cos(φ/2)]=
= 2ωRsin(φ/2)[cos(φ/2)-isin(φ/2)]=2ωRsin(φ/2) exp(-iφ/2).
Как видим, при равномерном круговом движении модуль приращения импульса пропорционален синусу половинного угла поворота радиус-вектора (и вектора скорости) от начального положения, а направление вектора приращения импульса (линейной скорости) отстаёт по ходу вращения от направления центростремительного ускорения (перпендикулярного импульсу и скорости) на половину приращения угла поворота радиус-вектора. Так, если фаза вращения (угол поворота радиус-вектора) прирастёт на величину φ=ωdt, то вектор приращения импульса повернётся на половину этого угла, т.е. на угол φ/2=ωdt/2. Для примера возьмём «очень большое» приращение фазы вращения (угла поворота), равное 180º. В этом случае результат интегрирования ускорения окажется вдвое бόльшим исходной величины импульса и противоположно ему направленным. Но, в итоге, сумма импульса и его приращения покажет поворот импульса на 180º.
Итак, мы видим неадекватность применённой к круговому движению методологии, основанной на втором (вместо третьего) законе Ньютона, при котором направления действующей силы и приращения импульса должны совпадать, а заодно убеждаемся в преимуществах использования комплексных чисел вместо тензорной алгебры. Соответственно, для анализа прецессии волчка (гироскопа) вместо комплексных чисел следовало бы применить алгебру кватернионов (с тремя векторными и четвёртым скалярным измерениями). Но Р.В.Поль этого не делает. Он рассматривает прецессию волчка, применяя единые для плоскости и трёхмерного пространства правила «общепринятой» векторно-тензорной алгебры. Однако, в трёхмерном пространстве векторы поворотов-вращений и, соответственно, вращающих моментов, не коммутируют друг с другом и геометрически (по правилу параллелограмма) не складываются.
То, что речь здесь идёт именно о методологической ошибке, приводящей к неадекватному моделированию прецессии волчка, подтверждают рис. 147 и 156 в учебнике Р.В.Поля с его пояснениями к ним.
У Р.В.Поля добавочный вращательный импульс направлен перпендикулярно к первоначальному вращательному импульсу, так что результирующий импульс R становится гипотенузой прямоугольного треугольника и оказывается заведомо больше катета - первоначального вращательного импульса, чего в реальном движении не наблюдается.
К рис. 156 в учебнике даётся такое пояснение:
«Вращательные моменты, возникающие вследствие вынужденной прецессии, играют в технике большую роль. В качестве первого примера назовём дробилку, форму мельницы, известную уже римлянам (рис. 156). При вращении оба бегуна образуют волчок с вынужденной прецессией. Такая прецессия требует вращательного момента, который в этом случае одинаково направлен с моментом, вызываемым весом. Этот момент сильнее прижимает бегуны к “поддону” и увеличивает давление при помоле» (конец цитаты).
Обратите внимание на помещённый рядом с картинкой на рис.156 прямоугольник (или прямоугольный треугольник), состоящий из векторов вращательного импульса и его приращения (т.е. катетов), и геометрической суммы вышеуказанных векторов, показанной толстой стрелкой (т.е. гипотенузы треугольника или диагонали прямоугольника), Согласно рисунку, величина импульса меняется по модулю, чего в прецессионном движении нет.
Вторая ошибка автора учебника связана с трёхмерностью движения. При внешнем контакте двух вращающихся объектов (с произвольным значением угла между их осями вращений) проекции векторов, являющиеся результатом разложения внешних (для каждого из объектов) вращательных моментов по направлениям вдоль и перпендикулярно оси вращения, ведут себя в динамическом процессе по-разному. В двух мнемонических правилах, выведенных учёными-экспериментаторами на основе наблюдений за поведением вращающихся объектов, этот факт зафиксирован достаточно чётко.
Добронравов В.В. Курс теоретической механики (1974 г.)
http://www.fizi.oglib.ru/bgl/1288/265.html:
«Правило прецессии: если к вращающемуся вокруг оси гироскопу приложить внешние силы, создающие момент сил относительно его неподвижной точки, то та часть оси гироскопа, по которой направлен кинетический момент, начнёт прецессировать в направлении векторного момента этих сил…
Правило Жуковского: если быстро-вращающемуся гироскопу сообщают вынужденное прецессионное движение, то возникает гироскопическая пара сил, стремящаяся сделать ось гироскопа параллельной оси прецессии, причём так, что после совпадения направления этих осей оба вращения вокруг них имеют одинаковое направление».
Как видим, оба мнемонических правила говорят только о действии тех составляющих внешних моментов сил, которые перпендикулярны осям вращения объектов, и умалчивают о результатах воздействия тех составляющих внешних моментов сил, которые параллельны осям вращения объектов и должны были бы замедлять или ускорять их собственные вращения вокруг осей симметрии. Будь такое явление в действительности, экспериментаторы непременно обратили бы на него внимание.
«Правило прецессии» и «Правило Жуковского» прослеживают повороты осей вращения взаимодействующих объектов до того момента, пока они не станут параллельны друг другу. При этом векторно-тензорная алгебра не в состоянии адекватно объяснить и математически отобразить факт неучастия в этом процессе проекций вращающих моментов, параллельных осям вращения. Ещё более труден для неё вопрос о том, что происходит после того, как оси вращений объектов становятся параллельными друг другу (или изначально располагаются таким образом).
Учебник Р.В.Поля фиксирует возникающий при этом эффект, но адекватного объяснения ему не даёт. А происходит, действительно, нечто парадоксальное: при встрече механизма дробильной машины с отталкивающим его от себя объектом, вращающийся механизм реагирует на это не отдалением от источника силового воздействия, а увеличением силы притяжения к нему.
Теоретическая механика, взявшая за основу векторно-тензорную алгебру, обходит молчанием такие динамические эффекты. Подобно тому, как в народных сказках любовные сюжетные линии завершаются свадьбами героев (предполагается, что дальше ничего интересного уже не происходит), так и современная теоретическая механика дальше мнемонических правил, устанавливающих факт поворотов осей вращения объектов до совпадения их направлений вращения, не идёт. И она так поступает не потому, что далее ничего интересного не ожидает обнаружить, а потому что её наличный математический аппарат не приспособлен для описания и исследования возникающих в таких ситуациях необычных динамических эффектов. А ведь именно они лежат в основе (пока ещё остающихся загадочными для современной науки) вихревых процессов, порождающих, в частности, и явления гравитации и электромагнетизма."
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,3711.0.html