Универсальный закон
Продолжая тему универсальности уравнения и единства законов физики, начатую тут в лекции Фейнмана:
Ключевое уравнение (в механике известное как третий закон Ньютона, в электрике как полный закон Ома):
a*d2x/dt2+b*dx/dt+cx=K;
где K - реакция системы на стороннее воздействие, в случае механики это результирующая сила, в случае электрической цепи это опять-таки сила ЭДС, а три слагаемых описывают элементы системы, тем или иным образом отвечающие на это воздействие, необходимо добавить следующее приложение.
Кроме механического, электрического моделирования, существует и малоизвестная (а в русскоязычной литературе, насколько мне известно и вовсе неосвещенная) аналогия, используемая для описания акустических систем, хорошо описанная в монографии Harry F. Olson "Music, Physics and Engineering ".
Олсон вводит понятийный аппарат, который выглядит следующим образом.
Коэфффициенты в уравнении:
K - здесь суммарное акустическое давление, то есть, снова сила, отнесенная к площади излучения.
a - масса в механике, индуктивность в электричестве, и инерционность в акустике.
Инерционность определяется как масса, отнесенная к сечению объекта
M=m/S^2
Инерционное воздействие
p=MdV/dt (Н/м2 в системе СИ)(где dV/dt - изменение объемного потока) моделирует колебание воздуха в относительно узкой трубе различного сечения. Объемный поток по сути аналогичен току в электричестве и скорости в механике.
b - вязкое трение в механике, активное сопротивление r в электричестве, а в акустике - акустическое сопротивление ra
ra=P/V;
p - давление звука;V-объемный поток.
Воздействие моделирует поведение звука в объеме, наполненном вязким поглотителем.Демпфер в механике, резистор в электричестве.
Вообще говоря, как и в прочих случаях, описывает необратимые потери в системе, превращающие акустическую энергию в тепло. Измеряется Н*сек/м4
с жесткость, коэфф Гука в механике, емкость в электричестве,акустическая емкость в акустике.
Емкостное воздействие.
С -пружина в механике, конденсатор в электричестве;
Ca=X/P где X -объемное смещение, P - давление звука. Моделирует пружинистую реакцию акустической системы (жесткость подвеса, центрирующей шайбы в динамике, воздуха в замкнутом объеме без поглотителя и т.д.), измеряется в м2/Н в СИ.
Надо понимать, что акустическая емкость, как и электрическая, имеют давление (потенциал) в знаменателе, поэтому это величины обратные своему механическому аналогу. То есть чем она выше, тем более система податлива и имеет более низкую резонансную частоту. Также очень любопытно, что заряд, обыкновенно не имеющей представимой природы, сопоставляется с объемным смещением среды.
Таким образом, основное уравнение баланса сил в акустике выглядит:
P=MdV/dt+raV+X/Ca
Приводится формула для определения акустического импеданса, полностью аналогичная электрическому и механическому импедансу.
z=ra+jwM+j/wCa;
где w -резонансная частота.
Далее вводится понятие резонатора Гельмгольца и показывается, что он моделируется тремя описанными слагаемыми дифференциального уравнения.
Естественно, что эта универсальность также позволяет создавать взаимозаменяющие модели как и понимать процессы происходящие в звуковоспроизводящих устройствах и музыкальных инструментах, что Олсон немедленно и применяет, создавая электрические модели струны, рупора, трубы гитары и т.д., там же можно найти иллюстрации модели и решения дифференциальных уравнений для того или иного параметра. Фотографии описанной главы привожу внизу.
Ключевое уравнение (в механике известное как третий закон Ньютона, в электрике как полный закон Ома):
a*d2x/dt2+b*dx/dt+cx=K;
где K - реакция системы на стороннее воздействие, в случае механики это результирующая сила, в случае электрической цепи это опять-таки сила ЭДС, а три слагаемых описывают элементы системы, тем или иным образом отвечающие на это воздействие, необходимо добавить следующее приложение.
Кроме механического, электрического моделирования, существует и малоизвестная (а в русскоязычной литературе, насколько мне известно и вовсе неосвещенная) аналогия, используемая для описания акустических систем, хорошо описанная в монографии Harry F. Olson "Music, Physics and Engineering ".
Олсон вводит понятийный аппарат, который выглядит следующим образом.
Коэфффициенты в уравнении:
K - здесь суммарное акустическое давление, то есть, снова сила, отнесенная к площади излучения.
a - масса в механике, индуктивность в электричестве, и инерционность в акустике.
Инерционность определяется как масса, отнесенная к сечению объекта
M=m/S^2
Инерционное воздействие
p=MdV/dt (Н/м2 в системе СИ)(где dV/dt - изменение объемного потока) моделирует колебание воздуха в относительно узкой трубе различного сечения. Объемный поток по сути аналогичен току в электричестве и скорости в механике.
b - вязкое трение в механике, активное сопротивление r в электричестве, а в акустике - акустическое сопротивление ra
ra=P/V;
p - давление звука;V-объемный поток.
Воздействие моделирует поведение звука в объеме, наполненном вязким поглотителем.Демпфер в механике, резистор в электричестве.
Вообще говоря, как и в прочих случаях, описывает необратимые потери в системе, превращающие акустическую энергию в тепло. Измеряется Н*сек/м4
с жесткость, коэфф Гука в механике, емкость в электричестве,акустическая емкость в акустике.
Емкостное воздействие.
С -пружина в механике, конденсатор в электричестве;
Ca=X/P где X -объемное смещение, P - давление звука. Моделирует пружинистую реакцию акустической системы (жесткость подвеса, центрирующей шайбы в динамике, воздуха в замкнутом объеме без поглотителя и т.д.), измеряется в м2/Н в СИ.
Надо понимать, что акустическая емкость, как и электрическая, имеют давление (потенциал) в знаменателе, поэтому это величины обратные своему механическому аналогу. То есть чем она выше, тем более система податлива и имеет более низкую резонансную частоту. Также очень любопытно, что заряд, обыкновенно не имеющей представимой природы, сопоставляется с объемным смещением среды.
Таким образом, основное уравнение баланса сил в акустике выглядит:
P=MdV/dt+raV+X/Ca
Приводится формула для определения акустического импеданса, полностью аналогичная электрическому и механическому импедансу.
z=ra+jwM+j/wCa;
где w -резонансная частота.
Далее вводится понятие резонатора Гельмгольца и показывается, что он моделируется тремя описанными слагаемыми дифференциального уравнения.
Естественно, что эта универсальность также позволяет создавать взаимозаменяющие модели как и понимать процессы происходящие в звуковоспроизводящих устройствах и музыкальных инструментах, что Олсон немедленно и применяет, создавая электрические модели струны, рупора, трубы гитары и т.д., там же можно найти иллюстрации модели и решения дифференциальных уравнений для того или иного параметра. Фотографии описанной главы привожу внизу.